高等數學中三重積分“計算方法的選擇”問題研究

摘? 要：在高等數學三重積分的學習中會涉及到“方法的選擇”問題，如何正確選擇方法關系到能不能解答出題目以及計算量的繁簡問題，需要深入分析研究。本文通過對高等數學中三重積分方法的不同選擇，強調既要遵循一般的選擇規律也要靈活處理。

關鍵詞：高等數學;三重積分;截面法，投影法

高等數學三重積分的學習中會涉及到“方法的選擇”的問題，這是解決三重積分首先要明晰的問題，是高等數學教學中一個非常重要的內容，也是一個難點所在。首先要明確選擇哪種坐標系，然后采用不同的方法解決，方法選擇不合適會導致不能夠解出答案，以及計算的難易不同。通過下面這個例題兩種不同方法的選擇，讓學生明確靈活處理問題的重要性，能幫助學生突破這個難點。

一、三重積分的計算步驟：

（1）畫出積分域的圖形，知道邊界面的方程，從而正確定出上下限;

（2）根據積分域特征及被積函數的特點，確定是選用切條法（投影法），還是用切片法（截面法）;

（3）根據上述結果，化三重積分為累次積分并計算。

（4）一般情況下：投影法用得更多，某些特殊情況下截面法更簡便。

（5）運用“截面法”的一般要求： ;且截面為圓、橢圓、三角形、正方形等，面積容易求出。

二、關于不絕對使用截面法的說明，就是說有時候按照常規思維應該用投影法，但是我們用截面法也可以解決，下面舉例說明這一點。

分析：①作圖：W是上半球體，它在xy面上的投影區域Dxy是單位圓x2+y2 ≦ 1. ② 選法：切條法（投影法），切片法（截面法），都可用。③定限

方法一：分析：截面法做題2個要點（先二后一，不需要知道三個上下限）

1.通過過z點去截面可得知截面的形狀;從而知道面積該怎么算（一定要把Dz 的方程求出來）;

2..知道z的取值范圍，才能知道單積分的上下限。

解：截面法：

當0?z?1時，過（0，0，z）作平行于xOy面的平面，截得立體W的截面為圓。

方法二：分析：投影法做題要點（分成三次積分來完成）

不畫立體圖明確上頂、下底、投影區域（需要知道三個上下限）

1.找出上頂、下底：找含z的兩個方程;

2.找出投影區域：不含z的方程，且由1-3條線圍成;

3.畫出投影區域圖Dxy（要考慮選法：直角坐標有X，Y型，極坐標先r后q）。

解：投影法：W是上半球體，它在xy面上的投影區域Dxy是單位圓x2+y2 ≦ 1，選擇柱面坐標計算三重積分

令 x=rcosq，y=rsin q，z=z

平面 z = 0 的柱面坐標方程為z=0

綜上：選擇投影法或者截面法既要遵循一般選擇規律也要根據題目靈活應用。

參考文獻

[1]? 同濟大學數學教研室主編.高等數學[M] .北京：高等教育出版社，1992.

[2]? 楊晉浩，張勇，羅釗.高等數學（上冊）[M] .北京：科學出版社，2010.

[3]? 羅釗，韓天勇，王偉鈞.高等數學（下冊）[M] .北京：科學出版社，2010.

作者簡介：吳文前，成都大學信息科學與工程學院副教授，碩士，研究方向：數學教育。