例談基于“四個(gè)理解”的高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)*

程 堅(jiān)

解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要課型，解題教學(xué)能力是教師的基本能力。數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)中，最重要的是解題能力和解題教學(xué)能力；而學(xué)生解題能力提升的關(guān)鍵是課堂教學(xué)，特別是課堂教學(xué)中的例題和習(xí)題教學(xué)。下面結(jié)合筆者對(duì)解題教學(xué)的認(rèn)識(shí)和典型的解題教學(xué)案例，談?wù)勗鯓犹嵘忸}教學(xué)的效果。

一、目前解題教學(xué)存在的問題

筆者認(rèn)為目前解題教學(xué)存在的問題如下：（1）過于強(qiáng)調(diào)模仿練習(xí)，導(dǎo)致學(xué)生知其然，不知其所以然；（2）采用“題海”戰(zhàn)術(shù)，經(jīng)常出現(xiàn)反復(fù)練習(xí)、過度練習(xí)的狀況；（3）學(xué)生沒有參與解題探究的過程，只是通過記憶、模仿形成模糊的解題經(jīng)驗(yàn)和解題感悟，導(dǎo)致他們沒有真正掌握方法、形成能力。這樣的解題教學(xué)，不能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和激情，教學(xué)效果較差。如何提升解題教學(xué)的有效性，是需要我們一直關(guān)注并深入思考的話題。

二、“四個(gè)理解”與解題教學(xué)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》明確指出：通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得進(jìn)一步學(xué)習(xí)以及未來(lái)發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)（簡(jiǎn)稱“四基”）；提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡(jiǎn)稱“四能”）；引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界、數(shù)學(xué)的思維思考世界、數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界（簡(jiǎn)稱“三會(huì)”）。在此基礎(chǔ)上提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

“四個(gè)理解”是由人教社編審章建躍提出的，包含理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生、理解技術(shù)。理解數(shù)學(xué)，就是要把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，特別是對(duì)內(nèi)容所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法要有深入理解。理解教學(xué)，就是要把握教學(xué)的基本規(guī)律，按教學(xué)規(guī)律辦事。理解學(xué)生，就是要全面了解學(xué)生的思維規(guī)律，把握學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。理解技術(shù)，就是要懂得如何有效利用技術(shù)幫助學(xué)生的學(xué)和教師的教。“四個(gè)理解”是落實(shí)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵，是教師專業(yè)水平和育人能力的集中體現(xiàn)，是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量和效果的決定性因素，也是有效提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的必備條件。

具體到解題教學(xué)中，筆者認(rèn)為：（1）理解數(shù)學(xué)就是高瞻遠(yuǎn)矚地認(rèn)識(shí)所需求解的數(shù)學(xué)問題，它從哪里來(lái)，可以到哪里去，可以怎樣變化引申，解決這個(gè)問題需要利用哪些數(shù)學(xué)知識(shí)，需要利用什么方法，問題解決后可以積累什么經(jīng)驗(yàn)。（2）理解教學(xué)就是通過“情境—問題—活動(dòng)—結(jié)果”來(lái)組織教學(xué)，例如在解題反思和解題引申的環(huán)節(jié)，可以引導(dǎo)學(xué)生利用情境提出問題，對(duì)于現(xiàn)成的問題，可以利用元認(rèn)知的提示語(yǔ)提示學(xué)生思考，讓學(xué)生參與解題探究的過程，總結(jié)解題經(jīng)驗(yàn)和解題感悟。（3）理解學(xué)生就是要清楚學(xué)生在解決這個(gè)問題時(shí)會(huì)存在或出現(xiàn)什么問題，主要有審題會(huì)出現(xiàn)什么問題，計(jì)算會(huì)出現(xiàn)什么問題，哪一個(gè)關(guān)鍵步驟學(xué)生想不到，教師要知道怎樣突破這些難點(diǎn)。（4）理解技術(shù)就是靈活地利用信息技術(shù)輔助教學(xué)，主要有怎樣展示解題過程，教師要知道怎樣利用計(jì)算機(jī)畫圖幫助學(xué)生解決問題，怎樣利用計(jì)算機(jī)提出問題、探究問題。把抽象內(nèi)容可視化，復(fù)雜內(nèi)容簡(jiǎn)單化，靜態(tài)內(nèi)容動(dòng)態(tài)化，利用人工智能，改變課堂教學(xué)，提升教學(xué)效果。

基于課程標(biāo)準(zhǔn)的要求和對(duì)解題教學(xué)中“四個(gè)理解”的認(rèn)識(shí)，用“四個(gè)理解”指導(dǎo)解題教學(xué)，是提升解題教學(xué)效果的關(guān)鍵。下面用具體案例談?wù)劰P者的實(shí)踐。

三、教學(xué)案例及其分析

（1）求橢圓C的方程；

（2）如圖1所示，直線y=kx（k ＞0）與橢圓C交于A，B 兩點(diǎn)，連接AF2，BF2并延長(zhǎng)交橢圓C于D，E，連接DE。探索直線AB，DE 的斜率之比是否為定值，并說(shuō)明理由。

（圖1）

以下從“四個(gè)理解”的角度做對(duì)應(yīng)分析。

1.從理解數(shù)學(xué)的角度。

本題主要考查橢圓的性質(zhì)，考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，理解方程組的解（數(shù)）和曲線的交點(diǎn)（形）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，以此為基礎(chǔ)利用根與系數(shù)的關(guān)系求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，優(yōu)化解題過程。

在求交點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，根據(jù)觀察，許多教師是重新演算一遍，也有的教師寫“同理可得”（其實(shí)，“同理可得”的計(jì)算量沒有減少，只是書寫過程省略而已），這里反映出部分教師數(shù)學(xué)功底不夠扎實(shí)，不理解數(shù)的對(duì)稱輪換。考慮數(shù)的對(duì)稱，本題用對(duì)稱輪換代入求解E 點(diǎn)坐標(biāo)更為合理。教師可結(jié)合具體的運(yùn)算問題讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)運(yùn)算，其主要表現(xiàn)為：理解運(yùn)算對(duì)象，掌握運(yùn)算法則，探究運(yùn)算思路，求得運(yùn)算結(jié)果；理解數(shù)學(xué)運(yùn)算是演繹推理，以此提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

2.從理解教學(xué)和理解學(xué)生的角度。

教師首先要根據(jù)自己總結(jié)的解題教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，預(yù)測(cè)學(xué)生可能存在的問題，然后讓學(xué)生獨(dú)立思考，主動(dòng)探究，教師巡視，觀察發(fā)現(xiàn)學(xué)生出現(xiàn)的問題，分析其中的原因并根據(jù)實(shí)際情況采取針對(duì)性的策略。在具體教學(xué)中，結(jié)合案例的解題教學(xué)過程和教學(xué)感悟，具體說(shuō)明如下：

此外，還可以根據(jù)學(xué)力做出分層教學(xué)，提供如下變式，供學(xué)生研討。

3.從理解技術(shù)的角度。

在解題教學(xué)時(shí)，對(duì)于交流展示的環(huán)節(jié)，利用實(shí)物投影展示學(xué)生的解題過程，主要展示利用斜率參數(shù)和點(diǎn)參數(shù)求解的解題過程，利用不同直線方程求解的解題過程，通過比較、鑒別，自然強(qiáng)化教學(xué)效果。在提出問題的環(huán)節(jié)，利用幾何畫板軟件動(dòng)態(tài)演示運(yùn)動(dòng)過程，讓學(xué)生感知斜率的比值為定值，再結(jié)合提示語(yǔ)，啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)提出問題，使學(xué)生經(jīng)歷在運(yùn)動(dòng)與變化的過程中發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣。

綜上，“四個(gè)理解”既互相區(qū)別，又是密切聯(lián)系的一個(gè)整體。利用“四個(gè)理解”指導(dǎo)解題教學(xué)時(shí)，既要分析比較它們的區(qū)別，分別對(duì)待，有所側(cè)重，又要知道它們是統(tǒng)一的、密切聯(lián)系的整體，從而進(jìn)一步提升解題教學(xué)的有效性。