例談基于“四個理解”的高中數學解題教學*

程 堅

解題教學是數學教學的重要課型，解題教學能力是教師的基本能力。數學教師的數學素養中，最重要的是解題能力和解題教學能力；而學生解題能力提升的關鍵是課堂教學，特別是課堂教學中的例題和習題教學。下面結合筆者對解題教學的認識和典型的解題教學案例，談談怎樣提升解題教學的效果。

一、目前解題教學存在的問題

筆者認為目前解題教學存在的問題如下：（1）過于強調模仿練習，導致學生知其然，不知其所以然；（2）采用“題海”戰術，經常出現反復練習、過度練習的狀況；（3）學生沒有參與解題探究的過程，只是通過記憶、模仿形成模糊的解題經驗和解題感悟，導致他們沒有真正掌握方法、形成能力。這樣的解題教學，不能激發學生學習數學的興趣和激情，教學效果較差。如何提升解題教學的有效性，是需要我們一直關注并深入思考的話題。

二、“四個理解”與解題教學

《普通高中數學課程標準（2017 年版）》明確指出：通過高中數學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗（簡稱“四基”）；提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”）；引導學生會用數學的眼光觀察世界、數學的思維思考世界、數學的語言表達世界（簡稱“三會”）。在此基礎上提升學生的核心素養。

“四個理解”是由人教社編審章建躍提出的，包含理解數學、理解教學、理解學生、理解技術。理解數學，就是要把握數學內容的本質，特別是對內容所蘊含的數學思想和方法要有深入理解。理解教學，就是要把握教學的基本規律，按教學規律辦事。理解學生，就是要全面了解學生的思維規律，把握學生的認知特點。理解技術，就是要懂得如何有效利用技術幫助學生的學和教師的教。“四個理解”是落實核心素養的關鍵，是教師專業水平和育人能力的集中體現，是提高數學教學質量和效果的決定性因素，也是有效提升學生數學學科核心素養的必備條件。

具體到解題教學中，筆者認為：（1）理解數學就是高瞻遠矚地認識所需求解的數學問題，它從哪里來，可以到哪里去，可以怎樣變化引申，解決這個問題需要利用哪些數學知識，需要利用什么方法，問題解決后可以積累什么經驗。（2）理解教學就是通過“情境—問題—活動—結果”來組織教學，例如在解題反思和解題引申的環節，可以引導學生利用情境提出問題，對于現成的問題，可以利用元認知的提示語提示學生思考，讓學生參與解題探究的過程，總結解題經驗和解題感悟。（3）理解學生就是要清楚學生在解決這個問題時會存在或出現什么問題，主要有審題會出現什么問題，計算會出現什么問題，哪一個關鍵步驟學生想不到，教師要知道怎樣突破這些難點。（4）理解技術就是靈活地利用信息技術輔助教學，主要有怎樣展示解題過程，教師要知道怎樣利用計算機畫圖幫助學生解決問題，怎樣利用計算機提出問題、探究問題。把抽象內容可視化，復雜內容簡單化，靜態內容動態化，利用人工智能，改變課堂教學，提升教學效果。

基于課程標準的要求和對解題教學中“四個理解”的認識，用“四個理解”指導解題教學，是提升解題教學效果的關鍵。下面用具體案例談談筆者的實踐。

三、教學案例及其分析

（1）求橢圓C的方程；

（2）如圖1所示，直線y=kx（k ＞0）與橢圓C交于A，B 兩點，連接AF2，BF2并延長交橢圓C于D，E，連接DE。探索直線AB，DE 的斜率之比是否為定值，并說明理由。

（圖1）

以下從“四個理解”的角度做對應分析。

1.從理解數學的角度。

本題主要考查橢圓的性質，考查直線和圓錐曲線的位置關系，理解方程組的解（數）和曲線的交點（形）之間的對應關系，以此為基礎利用根與系數的關系求出交點的坐標，優化解題過程。

在求交點的坐標時，根據觀察，許多教師是重新演算一遍，也有的教師寫“同理可得”（其實，“同理可得”的計算量沒有減少，只是書寫過程省略而已），這里反映出部分教師數學功底不夠扎實，不理解數的對稱輪換。考慮數的對稱，本題用對稱輪換代入求解E 點坐標更為合理。教師可結合具體的運算問題讓學生理解數學運算，其主要表現為：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結果；理解數學運算是演繹推理，以此提升學生的數學運算素養。

2.從理解教學和理解學生的角度。

教師首先要根據自己總結的解題教學經驗，預測學生可能存在的問題，然后讓學生獨立思考，主動探究，教師巡視，觀察發現學生出現的問題，分析其中的原因并根據實際情況采取針對性的策略。在具體教學中，結合案例的解題教學過程和教學感悟，具體說明如下：

此外，還可以根據學力做出分層教學，提供如下變式，供學生研討。

3.從理解技術的角度。

在解題教學時，對于交流展示的環節，利用實物投影展示學生的解題過程，主要展示利用斜率參數和點參數求解的解題過程，利用不同直線方程求解的解題過程，通過比較、鑒別，自然強化教學效果。在提出問題的環節，利用幾何畫板軟件動態演示運動過程，讓學生感知斜率的比值為定值，再結合提示語，啟發學生主動提出問題，使學生經歷在運動與變化的過程中發現和提出問題、分析和解決問題的過程，體驗數學學習的樂趣。

綜上，“四個理解”既互相區別，又是密切聯系的一個整體。利用“四個理解”指導解題教學時，既要分析比較它們的區別，分別對待，有所側重，又要知道它們是統一的、密切聯系的整體，從而進一步提升解題教學的有效性。