把“理解性教學”貫穿復習課的每一環(huán)節(jié)
——對一堂七年級期末數學復習課的教學思考

王華民 丁 潔

一、問題提出

英國教育家馬莎·斯通·威斯克認為，理解是指能夠在給定的資訊以外有所超越，并且能夠創(chuàng)造性地運用自己的知識。如果某人能夠證明自己可以把知識正確、恰當地應用到新的情境中，而他又是在未得到任何特別指導的情況下自發(fā)地完成這項行動，那么我們就可以認為這個人已經達到了真正的理解。[1]可見“理解”的含義不僅是“明白、懂”的意思，也包含應用知識的能力，是創(chuàng)新的基礎和前提，所以理解是教學的核心目標。本文的“理解性教學”強調通過教師的合理設計，讓學生不是停留在知識的記憶與技能的操作層面，而是從聯系、發(fā)展的觀點，明晰知識的形成過程，并能把所學知識運用于新知并解決問題。

數學是一門抽象的學科，知識的獲得與應用都是以理解為基礎的，學習是在理解基礎上不斷深化的過程。因此，有必要從初一甚至從小學開始，加強“理解性教學”，不僅在新授課讓學生理解知識形成和發(fā)展的過程，而且習題課、復習課也要讓“理解”貫穿于教學的每一環(huán)節(jié)。下面以蘇教版七年級下“二元一次方程組”和“一元一次不等式”兩章的復習教學為例，談談筆者的實踐。

二、教學內容摘錄

1.介紹兩章概況。

（1）弄清知識來源。上課伊始，教師引導學生回顧“二元一次方程組”和“一元一次不等式”兩章教材的開頭，讓學生明晰生活中存在大量的等量和不等量關系，學習方程、不等式模型都是研究問題的需要。補充說明，我國航天技術的飛速發(fā)展，高鐵的精密計算，其基礎是方程和不等式，基礎運算離不開等式、不等式。

（2）明晰兩章知識對應著兩個重要模型。引導學生回顧方程的概念：它是表達數量關系的“天平”，是解決實際問題的有效模型，它包括一元一次方程、二元一次方程（組）、一元二次方程、三元一次方程（組）等。不等式則是刻畫客觀世界不等關系的一個重要工具，它包括一元一次不等式（組）、一元二次不等式（組）等。從前面的學習，學生也能體會到這兩個模型是思維訓練的有效載體，所以需要認真復習，加強理解，掌握相關知識。

2.構建知識網絡。

教師引導學生回顧兩章的知識框圖，可先由學生回憶，教師再逐步投影，并簡要說明，具體內容如下圖1、2。

（圖1）

（圖2）

3.方法回顧與問題解決。

期末復習課一般要在回顧舊知、構建知識網絡的基礎上強化重點，運用數學思想方法解決問題，并注重知識、方法的前后聯系，實施有效遷移。

（1）類比、對比復習。首先是類比方程（組）與不等式（組）的定義，在其中引導學生學會抓住關鍵詞——“元”“次”。

其次是類比解題步驟，參見表1。

最后，類比解題方法（依據）。在教學時提供兩組練習題讓學生解答，引導學生歸納方程組與不等式組在解法上的異同點。

表1 解題步驟類比

相同點是從結果上看，方程組的解是兩個方程的公共解，不等式組的解集也是兩個（或幾個）不等式的公共部分。

不同點是解方程組是從兩式的關系，從一個式子代入另一個式子消元，或對兩個式子進行加減消元；而解不等式組則需要各自解一個不等式，再求解的公共部分。

（2）注重聯系、緊扣概念解決問題。

例1：已知關于x，y 的方程4x3m+2n-7+5x2m+3n-11=3 是二元一次方程，求m+n 的值。

此題的解法有兩種，一是加減消元法，二是整體法。兩種解法還可對應下面兩個變式。

變式1：條件不變，求m-n 的值。

變式2：條件不變，求4m+n 的值。

之后引導學生反思回顧：一道看似二元一次方程的問題，利用一次方程的概念列式，構成了一道二元一次方程組的問題。可見方程、方程組之間，方程與不等式之間，還有解方程（組）、不等式應用題一般步驟之間，解決問題的方法之間都是有聯系的。

解二元一次方程組和一元一次不等式組小結：①緊扣概念、把握基本方法有益于解題；②注重聯系，利用方程、不等式的相近聯系分析解決問題，有益于我們提升對知識內在規(guī)律的認識，解決問題時要注意觀察，學習方法的選擇與取舍。

（3）適度變式，注意運用數學思想方法解決問題。

提供如下例題和變式供學生思考、解決。

變式：條件不變，若2＜x-y＜4，求k 的取值范圍。

變式1：把“無解”改為“有解”，則a 的取值范圍是____________。

（4）強化知識的應用。

例5：小明用100 元錢去購買筆記本和鋼筆共25 件，已知每本筆記本3 元，每支鋼筆5元，那么小明最多能買多少支鋼筆？

拓展題：制作某產品有兩種方案，方案1 用4 塊A 型鋼板，8 塊B 型鋼板；方案2 用3 塊A型鋼板，9 塊B 型鋼板.若A 型鋼板的面積比B型鋼板大。從省料角度看，應選哪種方案？

本環(huán)節(jié)的設置，一方面是引導學生運用所學，解決實際應用題；另一方面，讓學生解決不等式與其他內容結合的一些問題，從而提升解決綜合問題的能力。拓展題是為學優(yōu)生設計的，學生列式后能發(fā)現，關鍵是要比較4x+8y 與3x+9y 大小，可運用作差比較大小的方法解決。

三、教學反思

復習課內容確定后，如何有序呈現呢？因為數學是一門邏輯性強的學科，呈現要按一定的邏輯順序。由此，本堂復習課以“注重理解”為主線，讓學生理解“為何學”“學什么”“怎樣學”。

1.“為何學”：促學生理解知識的來龍去脈。

第一部分“介紹兩章概況”，旨在讓學生理解“為何學”，教師帶學生回顧知識是從生活、科技發(fā)展中來，明晰兩個模型的重要性，在于讓學生理解知識的形成過程。

因方程與不等式、方程組與不等式組都是相近概念。教師設計了從舊知到新知概念的類比學習。類比是根據兩類對象的某些相同或相似的性質，推出它們的其他相同或相似屬性的思維形式，類比是由此及彼的活動。類比學習可以在體系中構建更多的新知，事半而功倍，是一種創(chuàng)造性活動，也更有利于學生對相關知識的進一步理解與認識。

2.“學什么”：幫學生理清知識脈絡和方法要點。

第二部分“構建知識網絡”是讓學生理解“學什么”，教師按著知識發(fā)生、形成的順序，讓學生依次回憶所學內容，教師投影知識結構圖，一方面是在幫學生厘清知識的脈絡，留給學生清晰的印象，以加深對知識結構整體的理解；另一方面則利于從整體結構中認識兩章，再一次讓學生理解知識的前因后果。在反思小結環(huán)節(jié)，引導學生歸納解決問題的方法與步驟，都是從解決問題的過程中抽象而來，既促進了學生的理解，也有益于提升復習的有效性。

3.“怎樣學”：讓學生進行類比、遷移與運用。

第三部分“方法回顧與問題解決”是讓學生理解“怎樣學”，從以下幾個維度闡述。

（1）對解題方法與步驟進行類比復習、對比呈現。本課教師不僅設計了方程、不等式相關概念的類比復習，對其解題方法和步驟也進行了類比復習，對比呈現，還指出解方程組、不等式組的異同點，讓學生在知識系統中復習、體會，獲得一次再理解的過程，也帶動了相關知識的復習。教師不停留于表面，還注意追問解題方法背后的依據是什么，讓學生知其然，也知其所以然，給學生思考、練習與表達的機會。讓學生學會遷移運用，以真正理解相關知識。

（2）注重選編有聯系、適度變式的問題。精選問題是復習教學的重點之一，從理解性教學的角度，要重點關注如下兩點：

其一，注重聯系，由于世界的普遍聯系性，數學學科的各部分內容、內容的不同方面都存在著聯系，所以選編例題有所側重，例1 看似是一道二元一次方程的問題，但依據二元一次方程的概念列式，構成了一道二元一次方程組的問題。通過兩種方法的對比，讓學生體會知識的前后聯系，體會整體求解的優(yōu)越性；例2 反映的是方程與不等式之間的聯系。解方程和解不等式的應用題，一般步驟非常類似，關鍵點是找“等量關系”或“不等量關系”。在解應用題時，要重視審題，緊扣概念。可見，從聯系發(fā)展的觀點審視知識本身，在體系中復習，不僅能鞏固舊知，更能深化對問題的理解，增強復習的效果。

其二，注意適度變式。變式教學于數學教學的重要性顯而易見，它是在初步理解知識后，通過變換問題的表現形式，獲得其本質屬性，在“變”中求“定”，達到舉一反三、深化理解的目的。通過例1 的兩個變式，讓學生注意解題方法的選擇與取舍，例4 及兩個變式涉及不等式組含字母的無解、有解以及正向、逆向等問題，通過問題解決，強化借助數軸判斷的意識，給學生一個較全面的認識。

（3）有意識地運用數學思想方法解決問題。由于數學思想方法蘊含在知識背后且在數學學習中發(fā)揮著重要的作用，所以在復習課中，要注意運用數學思想方法解決問題，這不僅是進一步理解問題的需要，也是提升教學有效性的需要。例如，例2 體現了轉化思想，不同解法的對比，體現了整體思想的優(yōu)越性；例3 是一道含字母的解不等式組的問題，由于是不確定問題，則運用了分類討論的思想；例4 及其變式的成功解決，是借助數軸、運用了數形結合思想，而且借助數軸、關注端點取值、判斷得解，既突出了重點，也突破了這類問題的難點。運用數學思想方法解題，也使學生對這類問題理解得更深刻、更全面。

為理解而教，是對某些缺乏理解與充滿誤解的教學的修正。復習教學的設計必須從注重鞏固性教學的模式向以理解為目標的教學設計轉變。本課精心設計教學過程，把"理解"貫穿復習課導入、構建知識網絡和問題解決等每一環(huán)節(jié)，當學生明晰了要學什么、為什么要學、怎么學以及會運用所學解決新問題時，就是真正地理解數學（包含知識、方法等）。這樣有助于學生產生自覺學習的行動，并提升其自主學習、類比學習的能力。