低空小型無人機貝葉斯學習超分辨ISAR成像

劉明昊， 徐 久， 趙付成龍， 程凱飛， 楊 磊

(中國民航大學電子信息與自動化學院， 天津 300300)

0 引言

低空小型無人機(Unmanned Aerial Vehicle,UAV)的商用普及化以及相關的監管盲區，使得機場附近“黑飛”事件的發生呈上升態勢，給公共安全帶來隱患。無監管的無人機容易和民航飛機相撞引起飛行事故，造成嚴重的次生危害。故治理“黑飛”已成為民航業發展的一個不容回避的話題[1]。需要運用一系列高科技手段，對“黑飛”無人機進行監視和管控[2]。

與紅外和光學探測[3]相比，雷達探測具有全天候、全天時的工作能力。傳統的低空防御雷達[4]無法對低空小型無人機進行高精度成像，其原因是小型無人機目標雷達散射截面積(Radar Cross-Section,RCS)小，回波信噪比低，數據誤差大。故可以采用逆合成孔徑雷達(Inverse Synthetic Aperture Radar,ISAR)成像技術[5-9]。ISAR可以利用相干積累的方法獲取非合作目標的高分辨率圖像，能夠獲得目標形狀的細節特征，同時其成像原理和傳統雷達相比有著更強的抗干擾能力。

由于微/小型無人機目標RCS小，造成回波信噪比較低，其ISAR成像結果通常具有較寬的主瓣和較高的旁瓣，不利于分辨和識別。傳統的ISAR距離多普勒算法(Range-Doppler, RD)必須滿足奈奎斯特采樣定理，若要求實現高分辨圖像，則需要較長的相干積累時間，使得非勻速轉動下積累的平動誤差增大。目前針對該問題的超分辨ISAR成像方法如ESPRIT[10]使數據大大增多，處理速度緩慢，且超分辨能力有限。故需要選擇有限CPI下的超分辨成像方法對無人機目標進行成像。

由于無人機相對空域背景具有固有稀疏特征，故可以選擇利用壓縮感知(Compressed Sensing, CS)[11]的方法，CS突破傳統的奈奎斯特采樣定理，可利用少量的觀測值通過重構算法準確地獲取信號，可通過低維觀測恢復高維信號稀疏特征。針對低空無人機的高維信號，ISAR超分辨CS成像方法例如貪婪算法[12]、凸優化算法[13]等的誤差敏感度尤其是乘性誤差敏感度較高，稀疏成像恢復精度有限。

針對上述問題，本文提出了一種基于貝葉斯統計學習[14]的低空小型無人機超分辨ISAR成像方法。貝葉斯統計學習靈活性高, 適用范圍廣；相比于傳統的CS重構算法，貝葉斯統計學習在恢復精度上有一定的優越性。該方法通過對ISAR成像目標建立Laplace先驗概率分布，針對目標的Laplace先驗分布與觀測數據的高斯分布不共軛的問題，建立層級貝葉斯模型，可實現對目標ISAR圖像后驗概率密度函數的求解，從而有效利用統計學習理論優勢，增強目標超分辨成像的精度和穩健性。最終實現目標的超分辨壓縮感知ISAR成像，仿真實驗結果證明可以解決對低空小型無人機監測的問題。

1 ISAR成像信號模型

無人機ISAR成像幾何模型如圖1所示，平面目標為雷達照射區域內的一個三維目標在雷達視線距離向和方位向二維平面上的投影。經過平動補償后，目標轉動等效為X-O-Y平面關于參考點O的角速度為ω的幾何模型。

圖1 ISAR成像原理示意圖

設O點為無人機旋轉中心，雷達與旋轉中心距離為R0，無人機目標上任一點p與參考點距離為Rp。目標上某一點p到雷達的距離R表示為

(1)

當R0遠大于Rp，式(1)可菲涅爾近似為

R(t)≈R0+ypcos(ωt)+xpsin(ωt)

(2)

當觀測時間內轉角ωt較小時

R(t)≈R0+yp+xpωt

(3)

此時，散射點p的回波信號可表示成

(4)

(5)

再對方位慢時間變量t進行逆傅里葉變換，可得

sinc[y-(R0+yp)]

(6)

(7)

式中，λ為雷達波長。當ωt較小時

(8)

由式(6)，目標圖像可表示為

(9)

由式(5)、式(6)、式(9)，多個散射的回波信號用矩陣表示為

Y=AX

(10)

式中，A表示方位傅里葉字典，可由下式構造：

(11)

2 稀疏貝葉斯模型

2.1 壓縮感知

由傳統的采樣定理可知，要從采樣信號對原始信號不失真的恢復，必須滿足奈奎斯特采樣定理。CS是將信號的壓縮和編碼合并在一起，利用非線性相關測量采樣率遠小于奈奎斯特采樣率。當信號具有稀疏性或可壓縮性時，可用少量的觀測值通過重構算法準確地獲取信號。CS將信號的獲取和壓縮過程一起實現，解決了大量數據存儲傳輸困難的問題。

針對低空小型無人機ISAR回波固有的稀疏性，CS可以很好地通過非線性重建算法重建信號。CS當中主要應用的貪婪算法、凸優化算法，貪婪算法需要的測量數據較多、重構精準度較低、求解速度方面有一定的局限性；凸優化算法存在一定的誤差敏感性、稀疏成像恢復精度有限、收斂速度較慢。故本文采用基于CS理論的貝葉斯統計學習成像技術來進行低空小型無人機的超分辨成像。

2.2 貝葉斯模型

在平動補償后還有殘留的平動誤差，進一步考慮相位誤差和噪聲因素，由式(10)假設觀測模型為

Y=EAX+N

(12)

式中：Y∈CM×N表示觀測數據；E為對角矩陣，表示相位誤差；X為目標圖像；N為噪聲模型，其均值為0，方差為σ2。

高斯觀測噪聲情況下，回波數據似然函數模型為

(13)

式中，β=[β1,…,βM]，βm表示第m個距離單元的加性誤差精度參數，對應高斯模型方差的倒數。

為了實現對運動目標圖像X的后驗概率密度函數估計，需要對X施以合適的先驗假設。低空小型無人機的響應相對于背景存在固有的稀疏性先驗知識，對目標圖像X引入稀疏先驗分布。通常情況下，稀疏先驗分布均屬于重尾分布，如Laplace分布、學生t(Student-t)分布等，本文將采用Laplace分布作為稀疏先驗概率分布。由貝葉斯推論，即

(14)

考慮到Laplace先驗分布p(X)與式(13)相應的觀測數據高斯概率分布p(Y|X)非共軛，將導致無法直接應用貝葉斯推論求解X的后驗概率密度函數閉合解。進一步針對Laplace分布建立層級貝葉斯模型，通過引入中間超變量(Hyper-parameters)分層建立貝葉斯模型。將p(X)進行分層處理為

p(X)=p(X|α)p(α|λ)p(λ)

(15)

式中，p(α|λ)和p(λ)服從Gamma分布。

層級貝葉斯模型中，第一層首先對動目標ISAR圖像建立多變量聯合高斯分布：

(16)

式中，Λm=diag(α：m)，可以看作是超參數矩陣α中第m列構成的對角矩陣，表示式(16)所示高斯分布的協方差矩陣。

第二層引入關于α的條件概率分布，即服從參數為η和λ的Gamma分布

(17)

為了減少超參數的數目，第三層引入針對超參數λ和β的Gamma分布

(18)

式中，a，b，c，d可設置為常數參數，根據經驗值取10-6。

式(12)～式(18)表征的貝葉斯概率模型如圖2所示。

圖2 貝葉斯概率模型

2.3 小型無人機ISAR貝葉斯機器學習成像算法

根據2.2節給出的層級貝葉斯建模結果，直接應用貝葉斯推論計算ISAR圖像X和超參數α，λ，β的聯合后驗概率密度函數，如

p(X,α,λ,β|Y)=

(19)

令Θ={X,α,λ,β}，根據變分貝葉斯原理，采用如下因式分解進行近似：

q(Θ)≈q(X)q(α)q(λ)q(β)

(20)

可結合期望最大算法在求解期望的步驟分別計算相應變量的后驗概率密度函數，然后在期望最大化的過程中計算相應的參數。針對SAR-GMTIm應用[16]，在計算期望的步驟，可根據

(21)

根據式(21)可得動目標ISAR圖像X的后驗概率密度函數估計為

(22)

將式(13)、式(16)代入式(22)可得

(23)

其中

(24)

由式(23)～式(24)可見，動目標ISAR圖像X的后驗概率密度函數估計服從復高斯分布，對應的期望μ可用來表示X的均值，對應的方差Σm可用來表示第m個距離單元的協方差矩陣。

根據式(21)可得超參數α的后驗概率密度函數估計為

(25)

將式(16)、式(17)代入式(25)可得每個元素αnm的第l階矩為

(26)

根據式(21)可得超參數λ的后驗概率密度函數估計為

(27)

將式(17)、式(18)代入式(27)可得每個元素λm的平均值為

(28)

由式(28)可知，超參數λ的后驗概率密度函數估計服從Gamma分布。

根據式(21)可得超參數β的后驗概率密度函數估計為

(29)

將式(13)、式(16)～式(18)代入式(29)可得超參數β的每個元素βm的平均值為

(30)

式中，|·|F代表矩陣的F范數，Tr(·)代表求矩陣的跡。

由式(30)可知，超參數β的后驗概率密度函數估計服從Gamma分布。從而通過式(23)、式(25)、式(27)和式(29)的迭代更新，獲得了運動目標的ISAR圖像。因為Θ中的隨機變量都相互依賴，迭代過程大大降低了誤差傳播的干擾，提高了成像的精度。又因為對β進行了推斷，從而又進一步抑制了殘差雜波和提高了去噪能力。

(31)

(32)

可知{X,α,λ,β}的取值相互依賴，利用期望最大化算法對超參數進行估計，進而求出后驗概率的均值以及方差，對噪聲方差進行估計獲得超參數的初始值，判斷期望向量是否符合終止迭代條件，若符合則停止迭代，直到滿足收斂條件，獲得了運動目標的ISAR圖像。應用變分貝葉斯期望最大算法，可解析求解無人機目標后驗概率密度函數，并同時校正目標非系統性平動誤差造成的成像散焦問題。貝葉斯壓縮感知算法恢復的信號符合稀疏性，且不需要重構誤差正則化參數，減少重構參數對結果的影響，可校正目標非系統性平動誤差造成的成像散焦問題。

3 實驗仿真及分析

本節給出仿真數據處理結果以驗證所提方法的有效性。在仿真中，如圖3(a)所示，目標為微小型四旋翼，其標準尺寸為0.78 m×0.78 m×0.24 m。仿真采用標準雷達參數，引入等信噪比雷達模型，雷達的中心頻率為9.6 GHz，發射信號的總帶寬為5 GHz，所以方位向分辨率每單元為0.03 m。脈沖重復頻率為500 Hz,相干積累時間為1.02 s，目標的轉動速度為28.10 °/s，總旋轉角為28.657°，所以距離分辨率每單元為0.03 m。圖3(b)為它的俯視投影圖，其投影的方向與雷達觀測的方向一致。

(a) 四旋翼三維物理模型

圖4(a)給出了采用傳統多普勒算法得出的成像結果，可以看出ISAR可以利用相干積累的方法獲取非合作目標的高分辨率圖像，能夠獲得目標形狀的細節特征。

圖4(c)、(e)、(g)給出了當降采樣率分別達到1/2，1/4和1/8時，采用多普勒算法得出的成像結果。由圖4(a)、(c)、(e)和(g)之間的對比可以看出，隨著降采樣的程度不斷加深，對于多普勒算法得出的成像結果，成像結果的旁瓣越來越高，成像效果越來越差。

為了驗證貝葉斯算法可以有效校正目標非系統性平動誤差造成的成像散焦問題，圖4(b)給出了對圖4(a)的成像結果進一步進行貝葉斯算法優化的成像結果。通過圖4(a)與(b)的對比可以看出，相較于處理之前的成像結果，該算法實現更好的信號恢復效果。

為了驗證該算法可以有效地抑制旁瓣的影響，實現超分辨處理，增強目標超分辨成像的精度和穩健性。圖4(d)、(f)、(h)給出了當降采樣率分別達到1/2，1/4和1/8時，經過貝葉斯算法優化之后得出的成像結果。由圖4(c)與(d)、(e)與(f)、(g)與(h)的對比可以看出，隨著降采樣的程度不斷加深，即使降采樣率高達1/8，采用貝葉斯算法優化處理后的圖像依舊清晰。

(a) 未降采樣時ISAR成像

4 結束語

本文提出了一種基于貝葉斯統計學習的超分辨無人機ISAR成像方法，并給出了相應的成像處理方法。該方法通過分層建立復數Laplace先驗分布的貝葉斯模型，應用變分貝葉斯期望最大算法求解無人機目標ISAR后驗概率密度函數，最后基于后驗概率密度函數計算目標ISAR目標成像結果及其置信區間。有效解決了無人機目標RCS較小導致的目標成像信噪比偏低問題以及相干積累時間較短導致的成像分辨率較低問題。對仿真的低空小型無人機數據的處理驗證了本文所提方法的有效性。