MIMO雷達(dá)中OFD-LFM-PC波形空時(shí)優(yōu)化設(shè)計(jì)

洪 升， 董延燾， 艾 煜， 趙志欣

(南昌大學(xué)信息工程學(xué)院， 江西南昌 330031)

0 引言

MIMO雷達(dá)是一種采用多天線發(fā)射正交波形信號(hào)集，并利用多接收天線進(jìn)行特定匹配濾波處理的新型雷達(dá)體制[1-2]。正交波形是獲得MIMO雷達(dá)分集增益的重要前提。頻分正交是實(shí)現(xiàn)波形正交的常用技術(shù)。頻分正交技術(shù)的典型應(yīng)用是正交頻分線性調(diào)頻(Orthogonal Frequency Division-Linear Frequency Modulation, OFD-LFM)波形[3]。為了確保波形正交性，OFD-LFM波形規(guī)定頻分正交條件為載頻間隔等于脈寬時(shí)間倒數(shù)的整數(shù)倍。通常載波間隔越大，波形互相關(guān)越小，但是由于實(shí)際可用頻譜的限制，OFD-LFM在每個(gè)載波上的信號(hào)頻譜會(huì)存在重疊(并不影響正交性)；此時(shí)，OFD-LFM波形空域合成信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)出現(xiàn)和主瓣同高的離散柵瓣，會(huì)嚴(yán)重惡化雷達(dá)目標(biāo)檢測(cè)。

為解決該問(wèn)題，已有的研究對(duì)OFD-LFM波形結(jié)構(gòu)進(jìn)行了改進(jìn)和優(yōu)化。文獻(xiàn)[4]給出了使得互相關(guān)最小的載頻間隔。文獻(xiàn)[5]提出各載波調(diào)制非均勻帶寬的方法，有效地消除了離散旁瓣。文獻(xiàn)[6]提出在OFD-LFM波形中采用非均勻載頻間隔的方法，使其空域合成信號(hào)在保證發(fā)射功率方向圖近似全向的情況下盡可能降低自相關(guān)旁瓣水平。文獻(xiàn)[7]表明聯(lián)合優(yōu)化載波頻率編碼序列和載波初始相位可以降低OFD-LFM波形柵瓣，但無(wú)法消除柵瓣。已有的方法雖然能夠消除或降低波形柵瓣，但也存在一些不足之處。非均勻載頻間隔的方法破壞了頻分正交的條件，波形正交性損失較大。非均勻載波帶寬的方法會(huì)破壞OFD-LFM波形的頻譜對(duì)稱性，雖然能消除柵瓣，但總體旁瓣水平較高。

針對(duì)已有方法的不足，本文提出了一種全新的解決方法，即在OFD-LFM波形的載波上調(diào)制相位編碼序列，以消除空域合成信號(hào)的自相關(guān)柵瓣。將改進(jìn)的波形結(jié)構(gòu)定義為正交頻分線性調(diào)頻-相位編碼(Orthogonal Frequency Division-Linear Frequency Modulation-Phase Coded, OFD-LFM-PC)波形。該波形結(jié)構(gòu)保證了正交頻分條件以及頻譜的對(duì)稱性。而將相位編碼序列調(diào)制在OFD-LFM波形上，在消除柵瓣的同時(shí)，既保留了調(diào)頻信號(hào)的高分辨率和高多普勒容限等優(yōu)點(diǎn)，又兼?zhèn)湎辔痪幋a的良好相關(guān)特性和抗干擾、低截獲特性。

在本文中，首先通過(guò)分析OFD-LFM-PC波形的空時(shí)特性，揭示了該波形消除OFD-LFM波形柵瓣的原因。然后，對(duì)OFD-LFM-PC波形的載波頻率編碼序列和相位編碼矩陣進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化，進(jìn)一步降低空域合成信號(hào)的整體旁瓣水平，并且保證發(fā)射功率方向圖的近似全向。最后，建立了雙變量的非線性優(yōu)化模型，并提出一種嵌套遺傳算法的粒子群算法來(lái)求解。仿真結(jié)果表明，所優(yōu)化設(shè)計(jì)的波形具備良好的時(shí)域特性和空域特性，為MIMO雷達(dá)中弱小目標(biāo)的檢測(cè)提供了有效保證。

1 OFD-LFM-PC波形信號(hào)空時(shí)特性分析及優(yōu)化建模

1.1 波形信號(hào)模型

假設(shè)MIMO雷達(dá)中發(fā)射陣列為包含M個(gè)天線的均勻線陣，陣元間距d=λ/2，λ表示發(fā)射波長(zhǎng)。將相位編碼序列調(diào)制在OFD-LFM波形的不同載波上，構(gòu)造出OFD-LFM-PC波形，其波形結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 OFD-LFM-PC波形結(jié)構(gòu)示意圖

在圖1中，第m個(gè)天線上發(fā)射的波形信號(hào)為

ej2π(f0+cmΔf)tejπμt2

(1)

其中碼元波形函數(shù)為

(2)

f0為中心載頻，載頻間隔Δf=n/T(n為正整數(shù))，調(diào)頻斜率為μ。每個(gè)載波脈沖上調(diào)制碼元寬度為tb，編碼長(zhǎng)度為Q的相位編碼序列，則脈沖時(shí)間寬度T=tb·Q。定義cm=m-(M+1)/2，(m=1,2,…,M)，則c0=[c1,c2,…,cM]T表示順序載波頻率編碼序列。am,q表示第m個(gè)天線(或載波)上調(diào)制的相位編碼序列的第q個(gè)碼元，可表示為am,q=ejφm,q，其中φm,q表示相應(yīng)的調(diào)制相位。若φm,q為零相位，則調(diào)制的相位編碼序列為全1序列，此時(shí)式(1)所表示的OFD-LFM-PC波形退化為傳統(tǒng)的OFD-LFM波形。本文考慮離散相位編碼的情況，則調(diào)制在M個(gè)天線上的長(zhǎng)度為Q的相位編碼序列可以寫成如下矩陣形式：

(3)

Φ決定了調(diào)制在OFD-LFM-PC上的相位編碼序列集，稱其為相位編碼矩陣。Φ的選擇對(duì)最終OFD-LFM-PC波形的性質(zhì)起著重要作用。

若Bs為單個(gè)載波上混合線性調(diào)頻和相位編碼的調(diào)制帶寬，則OFD-LFM-PC空域合成信號(hào)的總帶寬為B=Bs+(M-1)·Δf。信號(hào)處理結(jié)構(gòu)采用接收波束形成后進(jìn)行空時(shí)匹配濾波，則脈沖壓縮結(jié)果可等效為波形空域合成信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)。不考慮信號(hào)在傳播中的衰減，位于遠(yuǎn)場(chǎng)方向θ處目標(biāo)在t時(shí)刻被照射的空域合成信號(hào)為

(4)

式中，at(θ)=[ej2πc1dsinθ/λ,ej2πc2dsinθ/λ,…,ej2πcMdsinθ/λ]T表示選取陣列中心為參考點(diǎn)的發(fā)射陣列導(dǎo)向矢量，s(t)=[s1(t),s2(t),…,sM(t)]T表示發(fā)射波形集矢量。

1.2 OFD-LFM-PC波形時(shí)域分析

根據(jù)式(4)，波形在θ方向空域合成信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)可以表示為

(5)

(6)

(7)

其加權(quán)函數(shù)定義為Wv(τ)，可寫為

(8)

圖2給出了OFD-LFM波形和OFD-LFM-PC波形空域合成信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)。圖中OFD-LFM-PC波形所調(diào)制的相位編碼序列為M個(gè)不同初始值的混沌序列所產(chǎn)生的相位編碼序列。由圖2可知，OFD-LFM波形存在周期性的距離柵瓣，而OFD-LFM-PC波形消除了周期性出現(xiàn)的距離柵瓣，但整體旁瓣卻仍然較高。因此，有必要對(duì)OFD-LFM-PC波形進(jìn)一步優(yōu)化以降低其空域合成信號(hào)的自相關(guān)旁瓣水平。

圖2 波形自相關(guān)函數(shù)對(duì)比

1.3 OFD-LFM-PC波形空域分析

根據(jù)式(4)可得合成信號(hào)在總脈沖寬度T內(nèi)的平均功率為

(9)

式中：(·)*，(·)H和(·)T分別表示共軛、共軛轉(zhuǎn)置以及轉(zhuǎn)置；R表示發(fā)射波形信號(hào)的協(xié)方差矩陣，可寫為

(10)

pE(θ)反映雷達(dá)在空間θ處輻射的平均電磁能量情況，稱為發(fā)射功率方向圖。由式(9)和式(10)可知，當(dāng)發(fā)射波形嚴(yán)格正交時(shí)，R是一個(gè)M×M維單位矩陣IM，發(fā)射功率方向圖全向。對(duì)于OFD-LFM波形來(lái)說(shuō)，只要T·Δf為整數(shù)，頻分正交條件得到滿足，發(fā)射功率方向圖pE(θ)便為全向。在OFD-LFM-PC波形中，T·Δf仍然為整數(shù)，但是各天線上調(diào)制的相位編碼序列會(huì)一定程度上破壞波形的正交性，使得R不再是一個(gè)單位陣，發(fā)射功率方向圖出現(xiàn)全向波動(dòng)。圖3分別給出了OFD-LFM和OFD-LFM-PC波形的發(fā)射功率方向圖(相位編碼序列同圖2)。顯然，OFD-LFM-PC波形的發(fā)射功率方向圖在全向方向圖基礎(chǔ)上有所波動(dòng)。因此，對(duì)OFD-LFM-PC波形的進(jìn)一步優(yōu)化需要保證發(fā)射功率方向圖逼近全向。

圖3 發(fā)射功率方向圖對(duì)比

1.4 波形優(yōu)化建模

由以上分析可知，對(duì)于OFD-LFM-PC波形，其時(shí)域特性要求空域合成信號(hào)的自相關(guān)旁瓣較低以提高對(duì)弱小目標(biāo)的探測(cè)能力；其空域特性要求發(fā)射功率方向圖全向以實(shí)現(xiàn)對(duì)全空間范圍目標(biāo)的搜索探測(cè)。分析表明，影響OFD-LFM-PC波形時(shí)域特性和空域特性的一個(gè)重要因素是所調(diào)制的相位編碼序列集。此外，根據(jù)已有文獻(xiàn)，調(diào)整載波頻率編碼序列可降低OFD-LFM波形空域合成信號(hào)的自相關(guān)柵瓣。因此，不同于已有方法，本文在OFD-LFM-PC波形基礎(chǔ)上固定載波信號(hào)帶寬和載頻間隔，通過(guò)改變載波頻率編碼序列增加波形的多樣性來(lái)降低并消除柵瓣。這樣既可盡量保全波形結(jié)構(gòu)的頻譜對(duì)稱性及發(fā)射功率方向圖的全向性，又可減少硬件設(shè)計(jì)的復(fù)雜性及接收信號(hào)處理時(shí)間。

為此，本文以發(fā)射波形載波頻率編碼序列和相位編碼矩陣作為優(yōu)化變量，將OFD-LFM-PC波形的空域合成信號(hào)自相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣電平以及發(fā)射功率方向圖對(duì)全向發(fā)射方向圖的逼近程度加權(quán)構(gòu)造為一個(gè)代價(jià)函數(shù)，建立如下優(yōu)化模型：

s.t.c∈Perms{[c1,c2,…,cM]}

(11)

m=1,2,…,M,q=1,2,…,Q

式中,‖·‖F(xiàn)表示Frobenous范數(shù)，c表示載波頻率編碼序列,Perms(·)表示對(duì)載波頻率編碼序列[c1,c2,…,cM]的全排列。式中用發(fā)射波形相關(guān)矩陣R與單位矩陣IM的逼近程度來(lái)等效代替發(fā)射功率方向圖與全向發(fā)射功率方向圖的逼近程度。ω表示代價(jià)函數(shù)中自相關(guān)代價(jià)函數(shù)和方向圖代價(jià)函數(shù)的權(quán)重。值得注意的是，式(11)中φm,q選用五相碼，僅作舉例，采用其他相位數(shù)碼，本文算法依然適用。

該模型表示一個(gè)雙變量的非線性優(yōu)化問(wèn)題。作為優(yōu)化模型中的兩個(gè)優(yōu)化變量，載波頻率編碼序列c和相位編碼矩陣Φ的取值共同決定了代價(jià)函數(shù)的取值。然而，它們的取值區(qū)間及數(shù)值維度是不同的，c∈CM×1的取值區(qū)間是排列組合集合，而Φ∈CM×Q中元素的取值屬于一個(gè)離散相位編碼集合。因此，載波頻率編碼序列c的優(yōu)化是一個(gè)排列組合的優(yōu)化問(wèn)題，而相位編碼矩陣Φ的優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)高維離散取值矩陣優(yōu)化問(wèn)題，這兩個(gè)問(wèn)題需要不同的方法來(lái)解決。

2 優(yōu)化算法設(shè)計(jì)

2.1 載波頻率編碼序列優(yōu)化

本文中的載波頻率編碼序列優(yōu)化是一個(gè)排列組合優(yōu)化問(wèn)題，可歸類為經(jīng)典的旅行商問(wèn)題，該問(wèn)題通?？刹捎眠z傳算法來(lái)解決[9]。為此，本文通過(guò)遺傳算法優(yōu)化載波頻率編碼序列。針對(duì)本文所研究的問(wèn)題，遺傳算法在編解碼、交叉及變異等方面具有一定的特殊性。首先，需要對(duì)優(yōu)化的載波頻率編碼序列進(jìn)行編碼和解碼。本文的載波頻率編碼和解碼方式如式(12)所示:

(12)

其次，在優(yōu)化過(guò)程中，交叉操作之前要對(duì)選中交叉的兩組基因進(jìn)行判斷，判斷能否進(jìn)行交叉。最后，變異操作只能將選中的基因序列上隨機(jī)兩個(gè)位置進(jìn)行交換而實(shí)現(xiàn)變異。

2.2 相位編碼矩陣優(yōu)化

本文中的相位編碼矩陣優(yōu)化問(wèn)題是一個(gè)高維離散取值矩陣優(yōu)化問(wèn)題，可采用統(tǒng)計(jì)優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化。為了將載波頻率編碼序列優(yōu)化與相位編碼矩陣優(yōu)化區(qū)分開來(lái)，這里選擇粒子群算法[10]優(yōu)化相位編碼矩陣。相對(duì)于其他的統(tǒng)計(jì)優(yōu)化方法，粒子群算法速度快、參數(shù)設(shè)計(jì)較少、效率高。然而，經(jīng)典粒子群算法一般用于對(duì)連續(xù)變量的優(yōu)化。為實(shí)現(xiàn)對(duì)相位編碼矩陣中離散相位的優(yōu)化，本文對(duì)粒子群算法進(jìn)行改進(jìn)，以適合本文中的相位編碼優(yōu)化問(wèn)題。經(jīng)典粒子群算法的速度和位置更新公式為

(13)

(14)

1) 通過(guò)式(14)中的速度公式計(jì)算出速度之后，將速度矩陣中的隨機(jī)位置上的值置零。

2) 得到的速度矩陣中所有元素都屬于{2π/5,4π/5,6π/5,8π/5,0,-2π/5,-4π/5,-6π/5， -8π/5,0}集合。將速度矩陣中的所有非零速度值都變成最小步進(jìn)值，零值速度不變。即按照下式的映射將速度矩陣中的所有元素進(jìn)行重新賦值：

(15)

上述修改后的粒子群算法沒(méi)有考慮粒子群中粒子的歷史最優(yōu)位置和原始速度，只通過(guò)全局最優(yōu)位置計(jì)算粒子運(yùn)行的方向和速度。其主要原因是為了滿足離散相位優(yōu)化；同時(shí)，若優(yōu)化過(guò)程中考慮粒子歷史最優(yōu)位置和原始速度會(huì)造成該粒子前進(jìn)方向出現(xiàn)博弈的過(guò)程，該博弈過(guò)程對(duì)優(yōu)化方向存在一定的干擾而降低粒子群算法的收斂速度。

2.3 載波頻率編碼序列和相位編碼矩陣聯(lián)合優(yōu)化

本文提出一種嵌套遺傳算法的粒子群算法，將優(yōu)化變量{c,Φ}作為算法中的一個(gè)粒子。與已有問(wèn)題不同的是，該粒子包含基因序列和位置雙重屬性。被搜索的最優(yōu)粒子需要同時(shí)具備最優(yōu)基因序列及最優(yōu)位置。所提算法的搜索過(guò)程如圖4所示。

圖4中載波頻率編碼序列c表示某個(gè)粒子的基因序列，相位編碼矩陣Φ表示某個(gè)粒子的位置。在該優(yōu)化過(guò)程中，采用改進(jìn)的粒子群算法優(yōu)化粒子的位置Φ，并在每一次迭代中嵌套遺傳算法來(lái)優(yōu)化粒子的基因序列c。

圖4 嵌套遺傳算法的粒子群算法示意圖

聯(lián)合優(yōu)化具體步驟如下：

1) 初始化粒子種群。通過(guò)混沌映射產(chǎn)生50個(gè)隨機(jī)位置(隨機(jī)相位編碼矩陣Φ)和50個(gè)隨機(jī)基因序列(載波頻率編碼c)賦給50個(gè)粒子，構(gòu)成一個(gè)初始化粒子種群{c,Φ}。

2) 遺傳算法優(yōu)化基因序列。針對(duì)步驟1)中的每個(gè)粒子，隨機(jī)產(chǎn)生另外19個(gè)不同的基因序列(載波頻率編碼序列c)，對(duì)這20個(gè)不同的基因序列進(jìn)行20代的交叉和變異，選擇20代交叉變異后的最優(yōu)基因序列(載波頻率編碼序列c)，于是每個(gè)粒子在位置Φ處尋找到一個(gè)較優(yōu)的基因序列c。通過(guò)步驟2)得到的50個(gè)雙重屬性的粒子種群，這50個(gè)粒子的位置是隨機(jī)產(chǎn)生的，但是基因序列是進(jìn)行了一定優(yōu)化的。

3) 保留當(dāng)前最優(yōu)粒子。在步驟2)產(chǎn)生的種群中選擇并保留最優(yōu)粒子，即將粒子基因和位置帶入代價(jià)函數(shù)，以求取具備最優(yōu)基因序列和位置組合的最優(yōu)粒子{cg,Φg}k，k表示第k次迭代。

4) 計(jì)算種群粒子速度并更新種群粒子位置。用步驟3)中選擇的最優(yōu)粒子通過(guò)式(14)計(jì)算并更新各粒子速度和位置得到{cg,Φ}k+1。

5) 更新并保留最優(yōu)粒子。步驟4)之后，種群中的每個(gè)粒子位置都得到了更新，即種群的位置屬性都得到了更新。在更新的種群中尋找最優(yōu)粒子{cg,Φg}k+1，并保留。

6) 局部尋優(yōu)結(jié)束判斷。判斷種群中50個(gè)粒子的速度矩陣中平均零值個(gè)數(shù)是否超過(guò)閾值。若超過(guò)閾值則意味著大部分粒子都達(dá)到局部最優(yōu)位置，此時(shí)跳出本次粒子群進(jìn)化，并跳至步驟7)，否則繼續(xù)執(zhí)行步驟2)～6)。

7) 全局尋優(yōu)結(jié)束判斷。將局部尋優(yōu)的最優(yōu)粒子(對(duì)應(yīng)著最優(yōu)相位編碼矩陣和載波頻率編碼序列組合)作為下一代種群中的一個(gè)粒子，并重復(fù)步驟1)～6)。達(dá)到迭代次數(shù)閾值(如50代)后停止迭代。

最終算法的流程圖如圖5所示。

圖5 聯(lián)合優(yōu)化算法流程圖

從圖5可以看出，該嵌套遺傳算法的粒子群算法包含內(nèi)外兩層迭代。內(nèi)部迭代實(shí)際上為局部尋優(yōu)，主要包含優(yōu)化步驟中的2)～6)，該過(guò)程主要是在局部搜索空間對(duì)載波頻率編碼序列和相位編碼矩陣進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化。外部迭代實(shí)際上為全局尋優(yōu)，包含優(yōu)化步驟中的1)～7)，該過(guò)程主要是在全局搜索空間對(duì)載波頻率編碼序列和相位編碼矩陣進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化。本文中算法主要是基于統(tǒng)計(jì)優(yōu)化算法的一種尋優(yōu)過(guò)程，由式(11)及優(yōu)化步驟可知所提算法主要的時(shí)間和空間消耗來(lái)自于對(duì)代價(jià)函數(shù)的計(jì)算。由于計(jì)算機(jī)硬件的不同，代碼執(zhí)行情況會(huì)有所差異，因此本文將代價(jià)函數(shù)的計(jì)算量作為時(shí)間復(fù)雜度和空間復(fù)雜度的基礎(chǔ)描述指標(biāo)。對(duì)時(shí)間復(fù)雜度來(lái)說(shuō)：假設(shè)代價(jià)函數(shù)計(jì)算一次的時(shí)間復(fù)雜度記為Ot(1)，則第2)步的時(shí)間復(fù)雜度為Ot(2 000)，第3)～6)步的時(shí)間復(fù)雜度為Ot(50)，內(nèi)迭代的迭代次數(shù)和速度矩陣中的“零”值個(gè)數(shù)有關(guān)系，根據(jù)尋優(yōu)結(jié)果的不同迭代的次數(shù)也不相同。假設(shè)迭代n次跳出內(nèi)迭代，則內(nèi)迭代的時(shí)間復(fù)雜度為Ot(2 050n)，外層迭代中除去2)～6)步中的代價(jià)函數(shù)計(jì)算，第1)步計(jì)算的時(shí)間復(fù)雜度為Ot(50)，假設(shè)外層迭代循環(huán)m次，則整個(gè)循環(huán)的時(shí)間復(fù)雜度記為Ot(2 050n×m+50×m)。對(duì)空間復(fù)雜度來(lái)說(shuō)：空間復(fù)雜度是對(duì)算法在運(yùn)行過(guò)程中臨時(shí)占用存儲(chǔ)空間大小的一個(gè)量度，因此假設(shè)該算法中每保存一個(gè)粒子所需要的空間復(fù)雜度為Os(1)，則第2)步中儲(chǔ)存的粒子最多，空間復(fù)雜度為Os(50×40)，將儲(chǔ)存最多粒子時(shí)刻的空間復(fù)雜度作為該算法的空間復(fù)雜度。

3 算法仿真

為驗(yàn)證本文算法的有效性，進(jìn)行如下仿真實(shí)驗(yàn)。在以下仿真中，假定發(fā)射陣元個(gè)數(shù)M=7，脈沖寬度T=400 μs，相位編碼長(zhǎng)度Q=63，載頻間隔Δf=40 kHz，總帶寬B=500 kHz，單載頻帶寬Bs=260 kHz，調(diào)頻斜率μ=5.15×108。在優(yōu)化求解過(guò)程中選擇權(quán)重系數(shù)ω=0.5。基于所設(shè)定的仿真參數(shù)，粒子速度矩陣為7×63的矩陣，總共包含441個(gè)元素。本文假定50個(gè)粒子對(duì)應(yīng)的速度矩陣中的平均零值個(gè)數(shù)超過(guò)440個(gè)時(shí)，認(rèn)為局部尋優(yōu)已經(jīng)達(dá)到最優(yōu)。本文進(jìn)行了50次全局優(yōu)化，以實(shí)現(xiàn)全局范圍內(nèi)的最優(yōu)粒子搜索。最終，OFD-LFM-PC波形的優(yōu)化仿真結(jié)果如圖6所示。

(a) 自相關(guān)對(duì)比

圖6(a)給出了50次外迭代結(jié)束之后OFD-LFM-PC波形空域合成信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)。由圖可知，OFD-LFM波形空域合成信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)存在較高的柵瓣，而OFD-LFM-PC波形可以消除柵瓣；并且優(yōu)化之后的OFD-LFM-PC波形相對(duì)于未優(yōu)化的OFD-LFM-PC波形合成信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的旁瓣得到了較大程度的降低。圖6(b)給出了50次外迭代結(jié)束之后OFD-LFM-PC波形的空域發(fā)射功率方向圖。顯然相對(duì)于未優(yōu)化的情況，優(yōu)化后的OFD-LFM-PC波形的功率方向圖波動(dòng)幾乎可以忽略不計(jì)，逼近全向。圖6(c)給出了代價(jià)函數(shù)隨著迭代次數(shù)的變化曲線。圖中，代價(jià)函數(shù)隨著迭代次數(shù)的增加逐步下降，表明采用多次外迭代擴(kuò)大全局搜索范圍是有效的。擴(kuò)大搜索范圍是因?yàn)榱Ｗ尤核惴ㄗ鳛橐环N統(tǒng)計(jì)優(yōu)化算法不能保證算法的快速收斂度，但是本文中改進(jìn)的粒子群算法繼承了一部分傳統(tǒng)粒子群算法線性搜索的方向性，相比其他的統(tǒng)計(jì)優(yōu)化算法收斂速度更快、參數(shù)設(shè)計(jì)較少、效率更高。

為了更清楚地展現(xiàn)OFD-LFM-PC波形的優(yōu)化效果，將優(yōu)化波形空域合成信號(hào)自相關(guān)函數(shù)峰值旁瓣電平(Peak Sidelobe Level, PSL)和方向圖波動(dòng)幅度(最大峰值和最小峰值之差)歸納在表1中。

表1 PSL和方向圖波動(dòng)幅度對(duì)比

表1中，初始化OFD-LFM-PC波形空域合成信號(hào)自相關(guān)函數(shù)PSL為-16.87 dB，經(jīng)過(guò)一次外迭代即局部搜索之后，PSL降低了約2 dB；經(jīng)過(guò)50次外迭代即全局搜索之后，PSL降低了約5 dB。而方向圖波動(dòng)幅度在第一次外迭代之后，相比未優(yōu)化的發(fā)射功率方向圖，波動(dòng)幅度降低了0.320 3 dB；經(jīng)過(guò)50次迭代之后，相比未優(yōu)化的發(fā)射功率方向圖，波動(dòng)幅度降低了1.570 6 dB。最終的方向圖波動(dòng)幅度降低為0.158 5 dB，即在50次迭代之后，其方向圖波動(dòng)幅度可以忽略不計(jì)，方向圖近似全向。

為進(jìn)一步體現(xiàn)本文所提波形及優(yōu)化方法的優(yōu)異性，將所優(yōu)化得到的波形與文獻(xiàn)[5]、文獻(xiàn)[6]所提出的波形在空域合成信號(hào)自相關(guān)函數(shù)以及發(fā)射方向圖兩方面進(jìn)行比較，比較結(jié)果如圖7所示。

(a) 自相關(guān)函數(shù)對(duì)比

圖7給出了本文方法和文獻(xiàn)[5]、文獻(xiàn)[6]在相同參數(shù)下的波形空域合成信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)和發(fā)射功率方向圖。從圖7(a)可以看出，三種方法都消除了傳統(tǒng)OFD-LFM波形空域合成信號(hào)自相關(guān)柵瓣。從圖7(b)可以看出，本文方法和文獻(xiàn)[6]的發(fā)射功率方向圖基本保持全向，文獻(xiàn)[5]出現(xiàn)較大的發(fā)射功率方向圖抖動(dòng)。文獻(xiàn)[5]中的方法雖然消除了波形空域合成信號(hào)的自相關(guān)柵瓣，但是相對(duì)于本文所提算法，自相關(guān)近區(qū)旁瓣水平較高并且發(fā)射功率方向圖抖動(dòng)較大。文獻(xiàn)[6]中的方法在保證發(fā)射功率方向圖全向性的同時(shí)消除了空域合成信號(hào)的自相關(guān)柵瓣，但是通過(guò)優(yōu)化之后的自相關(guān)旁瓣整體水平相比本文中的方法依然較高。顯然本文所提方法，使得優(yōu)化后波形的自相關(guān)旁瓣水平較文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]更低，并且基本保證了波形發(fā)射功率方向圖的全向性。

4 結(jié)束語(yǔ)

為消除OFD-LFM波形空域合成信號(hào)的自相關(guān)柵瓣，本文對(duì)OFD-LFM波形結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)，構(gòu)建了全新的OFD-LFM-PC波形。通過(guò)對(duì)OFD-LFM-PC波形空時(shí)特性分析，給出了OFD-LFM-PC空域合成信號(hào)不存在自相關(guān)柵瓣的原因，并指出有必要對(duì)OFD-LFM-PC波形進(jìn)一步優(yōu)化以降低空域合成信號(hào)自相關(guān)旁瓣并保證方向圖全向。為此，本文建立了相應(yīng)的空時(shí)優(yōu)化模型，提出了一種嵌套遺傳算法的粒子群算法進(jìn)行求解。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文所提波形及方法的優(yōu)越性。