測量平差中條件方程類型確定的分析

泥立麗 王永

【摘要】給出了測量平差問題中各類條件方程的確定方法。在測角三角網的平差中，正確無誤地確定各類條件方程是一個難點問題。文中通過精選的四個測角三角網，從如何確定幾何模型的類型、如何確定布網的目的、如何確定起算數據以及如何確定必要觀測數等幾個方面，分步驟地進行了詳細的分析，并給出了思路。文中給出的方法，簡單易行，不容易出錯，適合于大多數的初學者和普通測量工作者。

【關鍵詞】幾何模型;起算數據;必要觀測數;條件方程

在測量平差的教學工作中，對于一個幾何模型，當確定了必要觀測數后，就可以確定多余觀測數并依此列出各種條件方程了。條件方程的類型非常多，包括圖形條件、圓周條件、極條件以及坐標方位角條件等。如何正確地列出相應的條件方程是學生學習的一個難點，本文中，作者結合教學的實際精選了四個測角三角網，并給出了一些分析思路。

1 算例

如圖1至圖4所示，為四個測角三角網，求下列各測角三角網按條件平差時條件方程的總數及各類條件的個數，其中Pi為待定點，i為已知邊，i為已知方位角，i取非負整數。

2 分析思路

2.1大體分析思路

（1）確定幾何模型的類型

即根據三角網的觀測值來確定它是測角三角網、測邊三角網還是邊角網。如圖1至圖4均為測角三角網。

（2）確定布設三角網的目的

即布設三角網是為了確定網的形狀還是待定點的坐標。如圖1中，其已知數據包括兩個已知點坐標、一個已知方位角，可知該網是為了確定待定點的坐標;圖2中，沒有已知點，但包括兩條已知邊長，因此該網是為了確定形狀和大小，由于大小固定的網是形狀不變時的一種特例，因此該網的最終目的是為了確定形狀。圖3中，沒有已知點，僅包括一條已知邊長和兩個坐標方位角，因此該網是為了確定形狀。圖4中，包括3個已知點，因此該網最終目的是為了確定待定點的坐標。

（3）判斷已知數據是否為起算數據

已知數據未必是起算數據。在觀測網中，為了實現布網的最終目的，已知數據是否起作用需要進行判斷。如果起作用，則為起算數據。在圖1中，為了確定待定點坐標，A、B兩點和方位角0都是起作用的，因此它們是起算數據。在圖2中，已知的邊長對于確定該網的形狀不起作用，因此它們不是起算數據。

（4）確定必要觀測數t

在這里給出兩種方案確定必要觀測數t，在分析問題時，要靈活交替使用。

①當測角三角網中已知點個數為兩個或兩個以上時，就可以確定待定點的坐標。當網中的起算數據均為點坐標時，必要觀測數即為待定點個數的二倍，如圖4，必要觀測數t=3×2=6。若起算數據除了點坐標外還包括方位角等，如圖1，為了確定待定點坐標，只需要A、B兩點即可，其中有5個待定點，即有5×2=10個待確定數據。要確定這10個數據，需要10個觀測值;但是題中已有1個起算方位角，利用該方位角和AB邊的方位角可以得到1個水平角值，即在10個數據中減去1個，因此必要觀測數t=10-1=9。

②依據文獻，根據公式t=2p-q-4，其中p是三角網中所有點的個數，q是多余的、獨立、起算數據個數（注意三者的順序，判斷時要依次判斷）。要明確該公式是針對測角三角網的，圖1中共有點個數p=7，q=1，從而可得t=9。

（5）確定各類條件方程

有了必要觀測數t后，即可確定多余觀測數r，進而確定各類型條件方程。

2.2各類條件方程的確定

三角網中，條件方程的類型很多，但具體哪些存在呢？得看一下三角網中都含有哪些基本幾何圖形！下面分別說明。

2.2.1圖形條件

也叫內角和條件，它存在于各種三角網中，只要一個單三角形中的所有內角都觀測了，就可以列出，否則不可以。如圖1中△AP3P4內就有一個內角沒有觀測。

2.2.2圓周條件

也叫水平條件，如果三角網中含有中點多邊形，那么就有可能存在圓周條件;具體能否列出圓周條件，還得看中點多邊形的中心點上所有角度是否存在（不管是直接觀測的還是間接計算得到的，都可以視作存在）;如果存在，就可以列出圓周條件;否則不可以。如圖1中，就有一個以P5點為中心點的中點五邊形或是中點四邊形，所以肯定存在圓周條件。

2.2.3極條件

也叫邊長條件，它通常存在于大地四邊形、中點多邊形和扇形等基本幾何圖形中，如果三角網中含有這幾種圖形，那么就有可能存在極條件;具體能否列出極條件，還得看這些基本幾何圖形中的所觀測的內角個數是否足夠，如果足夠，就可以列出，否則不可以。如圖1中，含有大地四邊形ABP1P5，也含有中點五邊形或中點四邊形，且其內角都進行了觀測，所以肯定存在極條件。

2.2.4方位角（或固定角）條件

如果網中有兩個或兩個以上的起算方位角，則可以列出它們之間的關系式。具體能否列出，也得看兩者之間的連接角個數夠不夠。如圖3中，兩個已知方位角之間就可以列出1個坐標方位角條件。

2.2.5固定邊（或基線）條件

如果三角網中有兩條或兩條以上的已知邊時，則可以列出固定邊條件。如圖2中，就可以列出1個固定邊條件。

2.2.6坐標條件

當三角網中存在被隔開的三個或三個以上已知點時，則產生坐標條件。利用坐標遞推公式，縱橫坐標的推算值等于已知坐標值。如圖4中，利用A、C兩點可以推出B點的縱橫坐標。

3 算例分析

3.1圖1的分析

（1）該幾何模型是一個測角三角網。

（2）已知數據是A、B兩點坐標和一個已知方位角，該網的目的是為了確定待定點的坐標，因此兩個已知點坐標和已知方位角均為起算數據。

（3）依據公式t=2p-q-4，其中q=1，則t=10，r=11。

（4）各類條件的確定：

對于圖1，可以看作是由一個以點P5為中心點、點A-B-P1-P2-P3為外點的中點五邊形和1個單△AP3P4（注意，∠AP3P4沒有觀測）組成，此時先確定5個圖形條件和1個極條件;在此基礎上，連線點P1、P4，從而形成了一個單△AP1P4和一個以點A為極的四點扇形，這樣增加1個圖形條件和1個極條件;又連線點A、P1，形成一個單△ABP1和一個大地四邊形ABP1P4（注意：這個大地四邊形與中點五邊形部分重疊），這樣又增加1個極條件和1個圖形條件。因為有兩個已知方位角，因此又可列出1個方位角條件。

綜上，圖1的分析結果是：n=21，t=9，r=12;共有12個條件方程，其中有7個圖形條件，1個圓周條件，3個極條件，1個方位角條件。

3.2圖2的分析

（1）首先確定該幾何模型是一個測角三角網。

（2）邊P1P2、P3P4的長度已知且沒有已知坐標點，可知該網是為了確定形狀和大小。為了確定大小，只需要一條已知邊就足夠;所以只剩下確定形狀的問題（大小固定的圖形是該圖形形狀不變化的一種特殊情況）。

（3）該網中的已知數據不是起算數據;因為在沒有已知坐標點的測角網中它們對于確定網的形狀不起作用。

（4）確定必要觀測數t

可以采用化整為零的方式，分兩種情況介紹。①確定三角網的形狀，其實就是確定該網中所有內角的大小。一個三角網通常是由許多單三角形互相鄰接、部分重疊等組成;確定了單三角形的兩個內角，就可以確定這個單三角形的形狀，因此只要數一下這個三角網中必要的互相鄰接但不重疊的單三角形的個數，然后再乘以2，就是必要觀測數t，即t=互相鄰接且沒有重疊的單三角形個數×2。圖2可以看作是四個鄰接單△P1P2P3、△P1P3P4、△P1P4P5和△P1P5P6組成（其它不必要的單三角形不作考慮），所以t=4×2=8。②一個三角網有時是由單三角形、中點多邊形等基本幾何圖形之間互相鄰接、部分重疊組成。只要數一下網中必要的單三角形、中點多邊形、大地四邊形或扇形等互相鄰接但不重疊的個數，采用化整為零的方式，也很容易確定必要觀測數t。圖2也可看作是單△P1P2P3和一個以P1點為極、P3-P4-P5-P6為外點的四點扇形鄰接而成;或者可看作是單△P1P5P6和一個以P1點為極、P2-P3-P4-P5為外點的四點扇形組成。單三角形的必要觀測數為2，四點扇形的必要觀測數為6，因此，圖2所示三角網的必要觀測數t=2+6=8。

（5）各類條件的確定

對于圖2，含有單三角形、扇形，因此肯定會有圖形條件和極條件。若將該圖看作是單△P1P2P3和一個以P1點為極、P3-P4-P5-P6為外點的四點扇形組成，則先得出1個極條件和5個圖形條件;在此基礎上，又連線點P2和P5后，新出現了一個以P1為極的四點扇形和一個單△P1P2P5;因此，又多了1個圖形條件和1個極條件。

綜上，圖2的分析結果是：n=16，t=8，r=8;共有8個條件方程，其中有6個圖形條件，2個極條件。

3.3圖3的分析

依據上面的分析，圖3的分析結果是：n=13，t=5，r=8;共有8個條件方程，其中有5個圖形條件，2個極條件，1個方位角條件。

3.4圖4的分析

依據上面的分析，圖4的分析結果是：n=12，t=6，r=6;共有6個條件方程，其中有1個圖形條件，1個圓周條件，2個極條件，2個坐標條件。

4 結論

以上總結了四個測角三角網的各類條件方程的分析思路，簡單易懂，且不易出錯。但需要再強調以下幾點：

（1）要注意起算數據與已知數據的區別，已知數據未必是起算數據，但起算數據是已知數據，詳細情況請參考文獻;

（2）需要強調，對于條件方程之間的獨立性判斷是最難掌握的，也是最容易出錯的地方，本文中提出的一些方法可以很好地解決這個問題。

（3）三角網的目的分為確定網的形狀和大小以及待定點坐標。大小確定的三角網是形狀確定的三角網的一種特例。

（4）該文中的思路也可以用于GNSS網、導線網、水準網等。

參考文獻：

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[7]王永，泥立麗，鐘來星.利用Excel繪制誤差橢圓的方法[J].礦山測量，2008（5）：49-51+4.

基金項目：

泰山學院人才基金項目，項目編號：Y-01-2017001。

者簡介：

泥立麗（1980-），女，山東博興人，博士，講師，泰山學院數學與統計學院，研究方向：數學及數據處理。