一個超混沌Lorenz系統(tǒng)的全局指數吸引集及應用

胥紅星

(鄭州航空工業(yè)管理學院，鄭州 450046)

混沌是一種非常普遍的非線性現(xiàn)象，廣泛地存在于自然界中。自從Lorenz［1］發(fā)現(xiàn)了第一個混沌吸引子以來，許多新的自治混沌系統(tǒng)也相繼被提出，如 Rossler系統(tǒng)［2］、Chen 系統(tǒng)［3］、Lü 系統(tǒng)［4］、統(tǒng)一混沌系統(tǒng)［5］、Chua 系統(tǒng)［6］等。在過去的幾十年里，混沌理論得到了深入的研究，并被廣泛應用到各個領域。

混沌系統(tǒng)是有界的，這在混沌的定性分析中發(fā)揮著重要作用。可以斷定在一個混沌的有界集合之外不會存在該系統(tǒng)其他的平衡位置、周期解、概周期解、游蕩回復解和其他任何吸引子，這為從數學理論上嚴格證明混沌吸引子的存在性提供了進一步的可能性。然而對于一個混沌的界的估計往往是很困難的，目前混沌系統(tǒng)所得到界的范圍絕大部分局限于數值模擬結果，從理論上是很有限的。對于著名的Lorenz系統(tǒng)，文獻［7-8］研究了其界所在的范圍，且解決了包含典型吸引子的情況。秦文新［9］給出Chen系統(tǒng)的一個界，但條件較強，且參數范圍沒有包括典型吸引子的參數。文獻［10-13］研究了其他一些混沌系統(tǒng)的有界性。對于著名的Lü系統(tǒng)，其混沌吸引子所在的范圍還沒有得到解決。與三維混沌系統(tǒng)相比，四維超混沌系統(tǒng)含有2個正Lyapunov指數，具有更為復雜的動力學行為，其界的研究將更為困難，目前僅有 Lorenz-Haken 系統(tǒng)［14］和 Lorenz-Stenflo系統(tǒng)［15］得以研究。本文考慮超混沌系統(tǒng)［16］:

1 超Lorenz混沌系統(tǒng)的全局指數吸引集

記 X∈R4，X= (x1，x2，x3，x4)為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，t0＞ 0 為初始時刻，X(t，t0，X0)表示滿足X( t0，t0，X0)=X0系統(tǒng)的解。

圖1 混沌系統(tǒng)的吸引

圖2 當d∈［-2，-0.5］時系統(tǒng)(1)的分岔

圖3 當d∈ [ -2，-0.5]時系統(tǒng)(1)的Lyapuno指數

定義1［10］若在 R4內存在一個緊集 Ω，使得對于?X0∈R4，當 t→ + ∞ ，恒有

成立，則稱Ω為系統(tǒng)(1)的一個全局吸引集，即系統(tǒng)(1)是最終有界的。若對?X0∈Ω，當t≥t0時，恒有 X( t ，t0，X0)?Ω，則稱 Ω 為系統(tǒng)(1)的一個正向不變集。

定義2［10］若有一個廣義正定、徑向無界的Lyapunov函數V( X)，且存在α ＞0，L＞0，對于?X0∈R4，當 V( X0)＞L，V ( X( t))＞L時，存在指數估計式

則稱 Ω:= {X V( t)≤L，t≥t0}為系統(tǒng)(1)的一個全局指數吸引集。

定理1 設 a＞1，b＞0，c＞0，d＜ -0.5，則

為系統(tǒng)(1)的全局指數吸引集和正向不變集，其中

證明

令g( z)= ( 1 -b)z2+c( b -2)z+c2，下面估計g( z)在區(qū)間I=[0，c]上的最大值。

3)當 0＜b＜1時，類似可得 maxg(z)=g(0)=c2，而當b=1和b=2時，易證maxg( z)=c2。

對系統(tǒng)(1)的第2、3個方程選取廣義正定徑向無界的Lyapunov函數:

沿著系統(tǒng)(1)的軌線有

根據式(2)可得:

利用比較定理對式(3)兩邊積分有

從而當V( X0)＞L，V( X( t))＞L時，有全局指數估計式

對式(4)兩邊去上極限可得:

對系統(tǒng)(1)的第4個方程作徑向無界的正定Lyapunov函數:

同樣利用比較定理對兩邊積分有

最后，對系統(tǒng)(1)的第1個方程作徑向無界的正定Lyapunov函數:

類似可得

綜上可得，Ω為系統(tǒng)(1)的全局指數吸引集和正向不變集。

2 在同步中的應用

令系統(tǒng)(1)為驅動系統(tǒng)，響應系統(tǒng)為

令 e( t)= ( e1，e2，e3，e4)T=(x1-x，y1-y，z1-z，w1-w)T，則誤差系統(tǒng)為

其中 ui(t)，i=1，2，3，4 為反饋控制器。

定理2 設，選取如下控制器設計

證明選取廣義Lyapunov函數

其中ρ＞0，則V沿著系統(tǒng)(6)的軌線對時間t求導得:

其中

易得，當

時，矩陣P正定。

如果M2、M3能夠得到，那么反饋控制量就可相應的被確定。然而對于一般的混混系統(tǒng)很難得到M2，M3的精確值，通常在實際操作中可以通過數值模擬給出一個估計值，但數值模擬只能模擬有限的時間內變量y、z的所在的范圍，嚴格講并不是變量y、z真正的界的范圍。本文中可以通過準確計算得出y、z的界M2、M3。從而可以找到精確的反饋系數k。由定理1得

所以

式(7)表示式(6)的零解是指數穩(wěn)定的，從而系統(tǒng)(1)與系統(tǒng)(5)是全局指數同步的。

3 數值模擬

為了驗證理論結果，用Matlab程序進行數值仿真。在仿真過程中驅動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)初值為(1 ，1，1，1)和 ( -1，4，0，2.5 )，選取參數 a=10，b=根據定理 2 可選擇 k=131，則驅動系統(tǒng)(1)和響應系統(tǒng)(5)是全局同步的。圖4表示在控制器1)下系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(5)的同步效果，圖5表示在控制器2)下系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(5)的同步效果。

圖4 反饋控制1)下的同步誤差

圖5 反饋控制2)下的同步誤差

4 結束語

本文借助于廣義Lyapunov函數理論，采用分區(qū)域的方法研究了一個超混沌系統(tǒng)在a＞1，b＞0，c＞0，d＜-0.5的全局指數吸引集，也即是混沌的解的范圍，包含了典型吸引子的情況。利用得到的界，設計了2個簡單的反饋控制器，實現(xiàn)了系統(tǒng)的同步。最后通過數值仿真驗證了設計控制器的可行性。

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