高中數學數列問題的解題技巧

北京師范大學（珠海）附屬高級中學 王洋洋

開展高中數學教學時，培養學生的解題技巧一直以來都是教師教學的重點所在。學生只有掌握了解題技巧，把握解題規律，才能更好地理解數學問題的本質，提高解題的正確率和效率。數列是高中生學習數學知識的重點和難點，該知識點本身相對更加抽象，學生學習難度比較大。在對數列問題進行解決時，如果遇到難度稍大的問題，很多學生便無從下手。在高考等考試中，數列都是重中之重。因此，教師開展數列教學，有必要對學生解答該問題的方法和技巧進行培養，強化學生學習這方面知識的自信，有效提升學生學習數學知識的整體水平。

一、運用基礎概念解答數列問題

最近幾年，在各省市高考中，數列問題都占據了非常重要的地位，也是教師教學與考核非常關鍵的內容。學生學習樹立基礎概念的情況，決定了其能否高效地運用概念，解答相應的數列問題。為更加靈活地應用數列概念解決數列問題，要求學生必須要對基本概念和性質熟練掌握，最為關鍵的是要能夠對數列的求和公式和通項公式等熟練運用，在遇到此類問題時，不僅可以更加準確地運用解題技巧，而且也能深化對基礎性質的理解和認識。

比如，對于一個等差數列而言，通常都是將其前n項和記作Sn，n為正整數。如數列{an}中，a2=10 且S20=30，求Sn。就此類問題來說，在數列知識中考查的就是學生對數列基礎概念和性質的掌握程度。如果學生未能認識到該問題考查的本質，很有可能在解題過程中走彎路，大大降低解題的效率。教師教學時，可以要求學生把該題主干中所涉及的依次列舉出來，如，求和算法、公差和首項等。在明晰上述問題之后，教師可以引導學生把數據代入到公式中，進而對問題進行求解。由此可以看出，該題主要是對學生掌握基礎知識的能力進行考查，要求學生根據已知條件，選擇合適的方法進行計算。要想準確高效地解決該問題，要求學生基礎概念必須扎實。

二、運用整體思想解答數列問題

在開展數列知識教學時，教師對學生的解題技巧進行培養，可以運用等差或者等比數列的性質，對一些數列方面的題目進行求解。然而，對于部分數列問題來說，如果僅僅運用數列的性質，照搬公式進行解題，很有可能增大解題的難度。運用整體思想，對數列性質進行靈活巧妙的運用，對于培養學生解題技巧非常重要。不管是等差數列還是等比數列，其涉及的量都非常多，在實際解答題目時并不需要逐一求出所有量，可以從整體視角出發，應用數列公式等進行解題，不僅有助于提升解題的正確率，而且能夠顯著增強學生解答數列問題的效率。

比 如，“等 差 數 列{an} 的 前n項 和Sn，S5＜S7＜S6，求 解 使SkSk+1＜0 的正整數k的值是多少？”在解答本題時，題干所給的信息相對比較簡單，一些學生在解題時不知道從何處切入。但是如果從整體視角來看，結合等差數列的基本概念，可以發現S6-S5=a6＞0，S7-S6=a7＜0，而a6+a7＞0。學生可以從整體視角出發，驗證出S11、S12和S13的值的正負性，可以發現S11和S12均大于0，而S13小于0，由此得出k的值是12。可以看出，本題同一些傳統的題目類型并不相同，需要掌握一定的解題技巧，靈活運用數列知識，突破傳統思維限制，無需對具體值進行求解，而是可以從整體思想出發進行代換，進而降低解題難度，提升解題的正確率和效率。

三、解決數列與不等式結合問題的技巧

在學習數列知識時，可以發現通常將數列與不等式相結合，把其作為壓軸題對學生進行考查，而且在各類考試中占據非常大的比重。所以，應高度重視培養學生綜合解決數列與不等式問題的策略。在對數列中最值問題進行求解時，也通常與不等式相結合達到求解目的。通過構建目標函數的方法，對最值進行求解，進而把數列問題向函數問題轉化，也可以運用題干中給出的條件明確不等式的最值。

在開展數列知識教學時，教師應引導學生充分認識數列的重要性，以此激發學生學習解答數列問題技巧的動力。總體來看，在學習數列知識時，教師要教會學生歸納總結各種解答數列問題的技巧，掌握判斷使用何種解題方法的關鍵點，同時為學生設置不同類型的習題，要求學生能夠正確選擇解題方法，靈活運用數列知識的性質，以此助力學生數學學科成績的提升。