基于蒙特卡羅方法的速率分布函數演化過程研究

尹增謙 武麗姣

(華北電力大學數理系， 河北 保定 071003)

理論和實驗研究表明，氣體系統處于平衡態時，其分子數按速率的分布函數為麥克斯韋分布函數[1]

(1)

分子間的碰撞是使氣體系統從非平衡態弛豫到達平衡態的重要物理過程，研究在這個弛豫過程中速率分布函數的演化具有重要意義[2-5]，而蒙特卡羅方法是研究具有隨機性質的物理過程的有效方法[2,3,6]。

本工作利用蒙特卡羅方法，用獨立隨機數分別抽樣得到碰撞分子對以及碰撞前速度的方向，建立了對方均根速率進行修正的計算方案，獲得了分子間碰撞對分子速率分布函數演化影響的規律。研究結果表明，當全體分子的初始速率為一定分布(如分布在一個或兩個數值上)時，隨著碰撞次數的增多，其速率分布函數逐漸趨向于麥克斯韋分布函數。在分布函數的演化過程中，分子的方均根速率基本保持不變，而平均速率發生明顯變化并趨近于一個確定值。

1 理論分析

按照理想氣體模型，分子與器壁之間以及分子與分子之間發生的碰撞為彈性碰撞，而分子與器壁之間的碰撞不會改變分子的速率大小，從而不影響速率分布函數，所以不考慮分子與器壁之間的碰撞。

1.1 分子間的彈性碰撞分析

如果兩個同種分子發生彈性碰撞，不失一般性，假設其作用力的方向為x軸方向，則碰撞后兩個分子各自的x軸方向速度分量vx互換，而其他速度分量vy、vz不變。亦即，若參與碰撞的兩個分子A、B碰撞前的速度分量分別為vAx、vAy、vAz和vBx、vBy、vBz，碰撞后速度分量分別為v′Ax、v′Ay、v′Az和v′Bx、v′By、v′Bz，則有

(2)

顯然，碰撞后兩個分子的速率分別為

(3)

如果假設碰撞作用力的方向為y軸或z軸方向，則應有

(3a)

或

(3b)

根據上述分析結果，由碰撞前兩個分子A、B的各速度分量vAx、vAy、vAz和vBx、vBy、vBz，就可以根據式(3)或式(3a)、(3b)計算出碰撞后分子A、B的速率v′A、v′B。

為了便于對氣體系統中分子碰撞的數值模擬，用描述速度大小的速率以及描述速度方向的夾角來代替各速度分量。如果分子A、B的速度方向與z軸的夾角分別為θA、θB，速度矢量在xoy平面上的投影與x軸的夾角分別為φA、φB，如圖1所示，則分子速度在x、y、z軸上的分量分別為

圖1 分子速度方向及分量示意圖

(4)

所以，根據碰撞前兩個分子A、B的速率vA、vB以及描述其速度方向的角度θA、φA、θB、φB，就可以根據式(3)和式(4)得到碰撞后的速率v′A、v′B。

1.2 抽樣方法

假設氣體系統中，分子速度的方向是均勻分布的，即θ與φ分別在(0，π)和(0，2π)之間均勻隨機分布。所以，我們就可以利用隨機數得到描述參與碰撞的兩個分子A、B速度方向的角度θA、φA、θB、φB。碰撞前分子A、B的速率vA、vB為上一次碰撞后的結果，啟動數值模擬時，vA、vB為給定初始速率值或者由給定的速率分布函數抽樣得到。

1.3 方均根速率修正方案

如果沒有計算誤差，基于式(3)或式(3a)、(3b)計算得到的碰撞后分子速率，滿足碰撞后動能之和等于碰撞前動能之和，即經過多次碰撞后氣體系統的分子動能之和即方均根速率保持不變。然而，由于數值計算中不可避免的計算誤差，有可能隨著碰撞次數的逐漸增多而逐漸累積，即分子動能之和可能發生較大的變化。鑒于這種情況，我們在計算程序中加入修正，即在每經過一定次數(比如50000次)的碰撞后，計算系統分子的方均根速率，求得其與初始設定值的差值，然后按比例修正當前每個分子的速率，使分子方均根速率與初始設定值相等。

2 數值模擬計算結果

在本工作的數值計算中，假設所有分子的初始速率為一個值，或者一半分子具有一個值而另一半分子具有另外一個值。

圖2 速率分布函數曲線的演化(實線為數值模擬結果，虛線為T=300K的麥克斯韋速率分布函數曲線)(a) 105個分子，碰撞次數105； (b) 105個分子，碰撞次數2×105； (c) 105個分子，碰撞次數5×105； (d) 105個分子，碰撞次數109。

圖3 方均根速率、平均速率隨碰撞次數的演化

圖4 速率分布函數曲線的演化(實線為數值模擬結果，虛線為T=300K的麥克斯韋速率分布函數曲線)(a) 105個分子，碰撞次數105； (b) 105個分子，碰撞次數2×105； (c) 105個分子，碰撞次數5×105； (d) 105個分子，碰撞次數109

圖5 方均根速率、平均速率隨碰撞次數的演化

總之，無論是分子的初始速率為一個值還是兩個值，氣體系統都不是處于平衡態，通過分子間碰撞，速率分布函數發生變化，隨著碰撞次數的增大，速率分布函數逐漸趨向于相應的麥克斯韋分布函數。

為了檢驗碰撞方向的選取對速率分布函數的影響，我們計算了碰撞分別發生在x軸、y軸以及z軸方向時，速率分布函數的演化情況，即在模擬程序中分別執行式(3) 、式(3a)以及式(3b)，圖6給出了一個典型的模擬結果。結果表明，無論采用式(3) 、式(3a)還是式(3b)，隨著碰撞次數的增多，速率分布函數總是逐漸地趨向于麥克斯韋分布函數，但是，以z軸為碰撞方向的計算結果與以x軸、y軸為碰撞方向的計算結果有較明顯的差別，其原因也許是抽樣時vz是由一個隨機數產生的，而vx、vy是由兩個隨機數產生的。

圖6 選取不同碰撞方向的模擬結果(105個分子，碰撞次數5×106)(a) 碰撞方向為x軸； (b) 碰撞方向為y軸； (c) 碰撞方向為z軸

需要指出的是，本文工作中計算的碰撞次數所對應的真實物理過程的時間是很短暫的，分子的個數也是很少的，而且局限于同種分子。例如，標準狀況下，空氣分子的平均碰撞頻率為6.5×109[1]，即平均每個分子在一秒時間內發生6.5×109次的碰撞，而本文工作中105個分子最多才發生了109次碰撞，即相當于大約10-4秒的物理過程。另外，105的分子個數也顯得很小，與真實的氣體系統差別很大。如何實現對大分子數、多種類分子氣體系統、更長時間碰撞過程的精確模擬，以及研究碰撞方向的選取對結果的影響等是具有重要意義的工作，我們正在深入研究。

3 結語

利用蒙特卡羅方法和我們建立的方均根速率修正方案，對分子速率分布函數以及分子平均速率的演化進行了數值模擬。結果表明，隨著碰撞次數的增大，速率分布函數逐漸趨向于相應的麥克斯韋分布函數，分子的平均速率也逐漸趨向于相應的確定值。