講授力學原理統一性
——以彈簧振子為例

劉建林

(中國石油大學(華東)儲運與建筑工程學院，山東 青島 266580)

引言

經典動力學(Dynamics)的主要研究對象為質點和剛體，研究的關注點為其加速度和外力之間的定量關系。首先為了描述質點和剛體的運動，我們引入了位移、速度、加速度、角位移、角速度、角加速度等運動量。而這些運動量與慣性量的組合則可以產生廣義力，包括力、力矩等。通過牛頓第二定律或者由其派生出來的剛體繞定軸轉動的微分方程、剛體作平面運動的微分方程等可以建立廣義力與廣義加速度之間的關系[1]。經過幾百年的發展，牛頓定律日益完善，其在工程領域得到了廣泛應用，例如航天器運動、汽車設計、流體運動、彈性體振動、沖擊和碰撞力學等。

另外一種看待質點和剛體運動的視野即為能量法。如果對于一個保守系統，則應該滿足機械能守恒定律，實際該定律可以等價于其運動方程。而為了進一步研究有眾多自由度的復雜系統，歐拉(1707—1783)和拉格朗日(1736—1813)又引入了拉格朗日方程，其特點在于將廣義位移和廣義速度看作沒有關聯的兩組變量，從而可以推導出系統的運動方程組[2-5]。從建立在能量基礎上的變分法出發，運用最小作用量原理，可以經對哈密頓作用量變分后推導出拉格朗日方程。在此基礎上哈密頓(1805—1865)則引入了廣義動量和廣義坐標進行對應，從而獲得了具有對稱性的哈密頓正則方程[6-9]。實際上哈密頓正則方程也可以通過哈密頓變分原理直接推導得到。從牛頓第二定律，到拉格朗日方程，再到哈密頓變分原理，力學的發展空間不斷拓寬，能夠解決的復雜問題越來越多，例如哈密頓原理可以應用于量子力學領域[10,11]。

由此可見，經典動力學中涉及諸多運動定律，讓初學者不免眼花繚亂，無所適從。本文力圖從如何教與學的角度來對上述原理之間的脈絡關系進行梳理。實際上，為了應付高考，中學物理教學中的大量訓練往往過度刷題，這導致了學生對物理知識理解的支離破碎。指望大學教學來糾正這一點也頗具挑戰性，因為大學也有應試，更糟糕的是大學課時經多輪壓縮后更加劇了課時短缺帶來的教學挑戰性。不僅是很多大學生，即便是有少部分年青老師，由于投入精力不夠，而對物理學內在的邏輯統一性欠缺深度的理解。經典力學是物理教學的重要內容，定理原理繁多，但是它們都是描述同一物理現象，所以本質必然是一致的，但如何使用簡單的教學案例，在盡可能短的時間成本下將這些定理原理的一致性展示出來，也是教學中的一個重要命題。

本文則試圖使用彈簧振子的簡單案例把牛頓第二定律、機械能守恒定律、拉格朗日方程、哈密頓正則方程、哈密頓變分原理五個經典力學原理串起來，理解它們的一致性和各自運用優勢。通過澄清上述原理之間的內在聯系，可以讓學生一通百通，統觀全局，從而能夠熟練掌握其工程應用。

1 牛頓第二定律

由圖1所示，一彈簧振子在水平地面上作無阻尼的自由振動，其中彈簧剛度系數為k，質量塊的質量為m，圖示坐標原點O為質量塊的平衡位置。根據胡克定律，彈簧的拉力，即合外力大小與質量塊離開平衡位置的位移x成正比，但始終與其運動方向相反，如圖2所示。故而由牛頓第二定律可得其運動方程(下述我們直接將運動方程用牛頓第二定律來表達)：

圖2 質量塊受力分析

圖1 彈簧振子示意圖

(1)

亦即

(2)

x=Asinωt+Bcosωt

(3)

其中A和B為待定系數，可根據初始條件來確定。

2 機械能守恒定律

彈簧振子的運動方程，即牛頓第二定律，也可通過機械能守恒定律求得。很顯然，系統的動能為

(4)

彈簧勢能為

(5)

則系統的機械能為

(6)

機械能守恒定律為

(7)

對時間求導則得

(8)

經過化簡后可得到運動方程(2)。

3 拉格朗日方程

彈簧振子的運動微分方程還可以用拉格朗日定理推導出來。其中拉格朗日函數定義為

(9)

則有

將方程(10)和方程(11)代入拉格朗日方程

(12)

整理可得方程(2)。

4 哈密頓正則方程

參照拉格朗日函數的導數方程(10)和方程(11)可以類似定義廣義動量

(13)

則有

(14)

對拉格朗日函數進行勒讓德變換，可以得到哈密頓函數的表達式為

(15)

求導可得哈密頓正則方程

聯立方程(16)和(17)，消去廣義動量p，可得方程(2)。

另外，由方程(6)和方程(15)可見

H=E

(18)

即對于彈簧振子而言，系統的哈密頓函數即其機械能，因而滿足機械能守恒定律

(19)

5 哈密頓原理

上述拉格朗日方程和哈密頓正則方程實際上可以由哈密頓原理推導出來。哈密頓原理又稱為最小作用量原理，是數學家哈密頓1834年發表的一個適用于完整系統的變分原理，即哈密頓作用量的變分為零

δS=0

(20)

其中對于上述彈簧振子，哈密頓作用量定義為

(21)

對方程(21)進行變分，可以得到

(22)

由此可見，對哈密頓作用量進行變分后，在進行分部積分后可以推得拉格朗日方程(12)。

類似，以哈密頓函數表示的哈密頓作用量為

(23)

對上式進行變分可得

(24)

由此可見，對哈密頓作用量進行變分后，經過分部積分處理后，亦可以得到哈密頓正則方程(16)和方程(17)。

若已知拉格朗日函數的顯示表達，則將其直接代入哈密頓作用量可得

(25)

則直接變分可得

(26)

由此可直接推得牛頓第二定律。

6 討論

綜上所述，這五種力學原理之間具有非常強的內在邏輯聯系，但其各種關系縱橫交錯，令初學者感到思路混亂，對提高老師的教學效率和減少學生的學習負擔提出了很大挑戰。故此我們將其相互關系列入圖3之中，使老師和學生能夠更加清晰地梳理其脈絡。

圖3 五個力學定律之間的關系圖

由圖3可見，彈簧振子的振動可以由牛頓第二定律直接建立力與加速度的關系，從而得到其運動微分方程。在此基礎上，對該運動方程進行初積分，即可得到機械能守恒定律。而機械能對時間進行求導，則可得到牛頓第二定律。然后定義拉格朗日函數，則可以運用拉格朗日定理推導出牛頓第二定律。類似地，通過勒讓德變換引入哈密頓函數，也可以根據哈密頓正則方程推導出牛頓第二定律。實則機械能守恒定律，即哈密頓函數對于時間求導為零，正是哈密頓正則方程組的其中一個方程。而哈密頓原理則為比前面四個定理更加具有普遍性，經過對哈密頓作用量進行變分，可以直接推出拉格朗日函數和哈密頓正則方程，也可以直接推導出牛頓第二定律。

7 結語

本文以彈簧振子為例，詳細闡述了牛頓第二定律、機械能守恒定理、拉格朗日方程、哈密頓正則方程、哈密頓變分原理這五種力學原理之間的相互關系。其中牛頓第二定律是從受力角度進行分析，而機械能守恒定理、拉格朗日方程、哈密頓正則方程則是從能量角度出發。哈密頓變分原理則為更為普遍的力學原理，通過對其變分可以推導出拉格朗日方程、哈密頓正則方程以及運動微分方程。

盡管彈簧振子比較簡單，但對上述五種力學原理的統一性可以管中窺豹、略見一斑。實則，對于更為復雜的系統，運用上述定理也可以進行處理，但是對于不同的問題其方便程度不同。例如對于約束較多的復雜系統，運用牛頓第二定律就比較麻煩，但是如果用拉格朗日方程則可以大大減少工作量。再比如，對于彈性結構(梁、桿、板、殼、體等)的變形和運動，運用哈密頓變分原理可以直接推導出其拉格朗日方程，簡化后即為其控制方程，可以進行工程結構優化分析。總之，對于上述定理運用方面的探索是一個永恒的目標，目前正在拓展到更多領域。