淺議滾動摩擦及轎車最大速度的估算

邵 云 竇 瑾

(南京曉莊學院電子工程學院，江蘇 南京 211171)

由于滾動摩擦的原理和機制十分復雜，涉及的因素眾多，且目前尚未形成能被普遍認可的、系統化的理論，因此大多數《力學》教材對此鮮有介紹，即使介紹也只是點到即止。漆安慎《力學》教材[1]是少數給出稍詳細點介紹的教材之一，但也限于篇幅，該教材對于滾動摩擦力矩的等效虛擬力即“滾動摩擦力”的介紹還不夠深入，對該“滾動摩擦力”與靜摩擦力的區別也未能闡述；同時，該教材對于滾動阻力因數與速度的關系以及滾動摩擦的一般物理機制均未能展開闡述；另外，該教材對于汽車最大速度值的估算也稍顯粗略。這些無疑給廣大師生的教與學增添了不小的難度。本文結合圖像與實例，嘗試闡述這些缺失的內容，供大家參考。

1 滾動摩擦力矩、靜摩擦力、“滾動摩擦力”及其關系

當滾動體在支撐面上作無滑動滾動時，由于支撐面的形變(如圖1、圖3、圖5)或滾動體的形變(如圖2、圖4、圖6)，亦或兩者皆發生形變(未畫出)，將使得支撐面對滾動體的支撐合力R(共面力系簡化后的單力)的作用點前移且方向指向平動方向的后上方[1,2]。R在支撐面法線方向的分力為N， 切線方向的分力為f。在接觸部分形變不大時，f可被近似看作靜摩擦力。圖1～圖6分別給出在減速、勻速、加速3種情形下支撐合力R及其分力的示意圖(重力未畫出)，其中R的方向已考慮了角加速度的要求。由圖可見，靜摩擦力f的大小隨加速度的增加而增加。法向支持力N對滾動體質心O的力矩便是滾動摩擦力矩M滾，大小為

圖6 輪胎在剛性路面上加速滾動

圖5 剛性圓柱在軟路面上加速滾動

圖4 輪胎在剛性路面上勻速滾動

圖3 剛性圓柱在軟路面上勻速滾動

圖2 輪胎在剛性路面上減速滾動

圖1 剛性圓柱在軟路面上減速滾動

M滾=Nδ

(1)

其中力臂δ(見圖1)稱為滾動摩擦因數，它與接觸面的材料、粗糙程度、形變程度，以及滾動速度等有關[1,2]。但在速度不很大時，對于給定的滾動體與支撐面，δ隨速度變化很小，可近似視為一常量[2]。也就是說當速度不很大時，圖1、圖3、圖5(或圖2、圖4、圖6)中的滾動摩擦力矩M滾的大小相等，與靜摩擦力f無關。滾動摩擦力矩M滾阻礙著滾動，對滾動體做負功[3]；而靜摩擦力f對滾動體則不做功。為方便計算，人們常常把滾動摩擦力矩對滾動體做負功替換成一個虛擬的“滾動摩擦力”f滾對滾動體的平動做負功，相當于把滾動摩擦等效成滑動摩擦來研究問題[4]，于是有

-f滾·s=-M滾·θ

(2)

其中，s是滾動體的平動路程；θ是滾動體滾過的角度。設滾動體的半徑為r，并設接觸部分的形變不大，則有s≈rθ，于是由式(2)結合式(1)得

(3)

其中δ/r是一無量綱的量，稱作滾動阻力因數，記作μ′。則有

可見，滾動阻力因數μ′類似于滑動摩擦因數μ，f滾同樣正比于正壓力的大小N，從μ′和N便可直接計算出這個等效的“滾動摩擦力”f滾。與滾動摩擦因數δ一樣，滾動阻力因數μ′同樣與接觸面的材料、粗糙程度、形變程度，以及滾動速度等有關[1,2]，在速度不太大且其他條件一定時，μ′可視作一與速度無關的常數[2]。需要注意的是，“滾動摩擦力”f滾與圖1～圖6中的靜摩擦力不是一個概念，它與滾動體的加速度無關，即使它在數值上與圖3或圖4中的靜摩擦力值相等。

為了顯示“滾動摩擦力”f滾與靜摩擦力f的區別和各自用途，現以圖6為例，分別運用角動量定理和動能定理來求解平直路邊上輪胎的運動，假設輪胎上方沒有負載且輪胎的形變不大。該結論可推廣至圖1～圖5。

解法一(角動量定理法)：

如圖6，設輪胎質量為m，半徑為r，繞質心軸的轉動慣量為IC，輪胎向前的加速度為a，滾動的角加速度為α，據純滾動條件有a=rα。設滾動摩擦力矩大小為M滾，輪胎所受靜摩擦力大小為f，輪胎質心受水平外力為F。則由牛頓第二定律和剛體對質心軸的角動量定理得

聯立式(6)、式(7)解得

解法二(動能定理法)：

(10)

將式(10)兩邊同除以時間微分dt并整理即得輪胎的加速度量值

(11)

由f滾=M滾/r可見式(11)與式(8)是一致的，至于求靜摩擦力(約束力)，則還得運用一下牛頓第二定律式(6)。

嚴格說，“滾動摩擦力”f滾只能用于動能定理(即從能量的角度進行推理)，不能用于受力分析，畢竟它是一個虛擬力，無法在真實的受力圖中作出[2]。不過從式(8)和式(9)可以看出，當輪胎勻速運動或輪胎的轉動慣量IC→0時有f=f滾，這就意味著：在此情形下，可以直接用“滾動摩擦力”值f滾=μ′N代替靜摩擦力值f來處理滾動體的平動問題。

在現實生活中，我們遇到的往往是輪胎上方存在負載的情況，例如騎自行車或開汽車等。若圖6中顯示的是有負載的自行車或汽車的從動輪，則經分析可知，以上諸方程式及其結論依然成立，只是此時的滾動摩擦力矩M滾及外力F變得很大，相對來說，輪胎的質量m與轉動慣量IC就變得很小了，于是由式(8)和式(9)取近似后便得M滾/r≈f，即f≈f滾，即此時靜摩擦力也可被“滾動摩擦力”近似替代了。這一點也可從以下角度來理解：因為轉動慣量IC相對很小，所以從動輪受到的滾動摩擦阻力矩要遠大于使之加速(或減速)滾動的合力矩，這就意味著圖6中的支撐力R幾乎通過質心O，于是便得f≈f滾。在用“滾動摩擦力”近似代替靜摩擦力之后，再結合驅動輪的“牽引力”和空氣阻力，我們便可簡單而直觀地計算自行車或汽車的平動加速度、速度及最大速度了，這便是引入f滾這個虛擬力的意義所在。

2 滾動阻力因數與路面類型及車速的關系

前文提到，滾動阻力因數μ′與接觸面的材料、粗糙程度、形變程度，以及滾動速度等有關，因此當汽車在路面上行駛時，μ′應與路面的類型、行車速度、輪胎的材料與構造、胎內氣壓等因素有關。表1給出汽車在某些路面上以中低速行駛時μ′的

表1 不同路面上汽車中低速行駛時的μ′值

大致數值[2]，所給范圍是考慮到實際路況、車速等因素后的結果。

實際上，汽車的行駛速度對滾動阻力因數μ′的影響也是很大的[2]。由圖7可見，當車速在100km·h-1以下時μ′值隨車速增加緩慢，可近似看作一常數，但其后μ′值隨車速增加得越來越快，汽車所受滾動摩擦阻力(矩)則越來越大，直至在200km·h-1以上時因輪胎邊緣產生駐波形變而爆胎。

圖7 良好的瀝青路面上滾動阻力因數與車速的關系

需要說明的是，由于目前的滾動摩擦理論尚不夠成熟，故以上的數據只能通過實驗測得。

3 轎車最大速度的估算

圖8 以最大速度勻速行駛時轎車的受力

圖8中N1為前輪所受地面豎直向上的支持力，G為(兩)車輪自重，F1為車身對前輪軸向下的壓力，f1為前輪受到地面朝前的靜摩擦力，F′為前輪軸受到車身向后的拖拽力。后輪即從動輪所受諸力與前輪類似。由于車輪均作勻速平動，故有N1=G+F1，f1=F′，N2=G+F2，F″=f2?？梢娺@些力在前、后輪分別形成兩個力偶矩，前輪的方向相同，后輪的相反。其中N1對前輪軸心的力矩便是前輪的滾動摩擦力矩，后輪的N2亦然。設前后輪完全相同，滾動阻力因數μ′也相同(實際前輪胎承壓更大，μ′值略大)，則δ=rμ′相等，即N1、N2到各自輪軸的距離也即力臂相等。

對于后輪即從動輪，由于作勻速滾動，所以有力矩平衡方程式

f2r=N2δ

成立。于是得

(12)

即后輪所受靜摩擦力等于后輪的“滾動摩擦力”。該結論在第1節已經提及。

對于前輪(即驅動輪)，同理也有力矩平衡方程式

f1r+N1δ=M驅

成立。兩邊同除以車輪半徑r得

f1+f1滾=f牽

(13)

可見前輪所受朝前的靜摩擦力并非“牽引力”[2,5]，有f1

由于轎車整體做勻速運動，水平方向受力平衡，故有

f1-F風阻-f2=0

(14)

將式(12)、式(13)代入式(14)即得

f牽-f1滾-F風阻-f2滾=0

(15)

其實在第1節已經分析過：當車輪上方存在較重的負載時，其轉動慣量可被忽略，即使車輪加速滾動，也可認為它所受的力矩是平衡的。即式(12)、式(13)對于轎車總是成立的。于是我們便可參照式(15)寫出轎車(或載人自行車)的整體運動方程如下：

f牽-f1滾-F風阻-f2滾=ma

其中，m為轎車(或載人自行車)的質量；a為其加速度。

下面利用式(15)估算普通桑塔納轎車的最大速度[1]。

轎車所受空氣阻力F風阻的表達式為

(16)

其中，CD是轎車的空氣阻力系數；ρ是空氣密度；S是轎車迎風面橫截面積；v是車速。對于普通桑塔納轎車而言，CD≈0.425，S=1.89m2。常溫(15 ℃)下空氣的密度為ρ=1.226kg·m-3。設轎車滿載總質量M=1.52×103kg，發動機的有效驅動功率P有效=54kW，則“牽引力”為

(17)

其中ω為車輪角速度。考慮到普桑轎車的實際速度可達150km·h-1以上，參考圖7后可設此時的滾動阻力因數μ′=0.02(子午線輪胎)，那么該轎車受到總的“滾動摩擦力”為

f1滾+f2滾=μ′Mg

(18)

將式(16)、式(17)、式(18)代入式(15)得

(19)

將諸數據代入式(19)并整理得

0.4924v3+298v-54000=0

(20)

解得

v=43.7m·s-1=157km·h-1=vmax

(21)

此即普桑轎車在有效功率P有效=54kW的驅動下，在良好的公路上行駛時的最大速度值估計。

如果忽略滾動摩擦，即在方程式(19)、式(20)中刪除左邊的第二項，則求得文獻[1]中的結果：v′max=172km·h-1。可見文獻[1]中的近似處理所帶來的誤差其實還是不小的。另外，文獻[1]將滾動阻力因數取作μ′=0.01也不夠精確，μ′=0.01只能適用于中低速情形，對于150km·h-1以上的高速情形顯然是不適用的。

需要說明的是，vmax=157km·h-1是普桑轎車滿載即M=1.52×103kg時的最大速度。而普桑的裝配質量在1100～1200kg之間，從式(19)、式(20)也可算出它空載(1200kg)時的最大速度約為160km·h-1?？梢娯撦d和滾動摩擦對于轎車最大速度的影響遠小于空氣阻力。此結論與文獻[1]是一致的。另外，目前一般轎車的空氣阻力系數在0.28～0.4之間[2]，最大有效功率不少都在100kW以上。假設某轎車的CD=0.3，P有效=100kW，μ′=0.04(參見圖7)，其他條件與前面滿載的普桑相當，則從式(19)、式(20)可估算出此轎車的最大速度為207km·h-1。

4 滾動摩擦的一般物理機制分析

滾動摩擦的物理機制十分復雜，涉及的因素眾多。對于滾動體而言，任何導致能量衰減的因素都將導致滾動摩擦力矩或“滾動摩擦力”的增加。一般來說，滾動摩擦產生于以下4個方面的因素[6]。

1) 微觀滑動

當一滾動體在另一物體表面滾動時，由于切向應力(包括靜摩擦力)的存在使得兩接觸面上的分子層各自產生不同的切向位移，于是產生微觀滑動。其中較柔軟的接觸面產生的切向位移更大。微觀滑動將導致動能的損耗，其機理與滑動摩擦相同(類似于宏觀的“輪胎打滑”)，這個損耗將對滾動摩擦力矩產生貢獻。

2) 塑性變形

在滾動過程中，當垂直于接觸面的應力達到一定大小時，在距離表面的一定深度處將產生塑性變形，該塑性變形區域隨應力的增大而擴大。塑性變形將消耗滾動體的動能，表現為滾動摩擦阻力矩。

3) 彈性滯后

當滾動體在路面上滾動時，滾動體與路面間的彈力在加壓時的數值總是略大于減壓時的數值的現象稱為彈性滯后現象，其壓力回線類似于軟磁體的磁滯回線[2]。也就是說，當滾動體與路面擠壓時所消耗的動能在接觸消除時并沒有被全部收回，而是消耗掉一小部分轉化為熱能。輪胎的彈性滯后效應直接導致與硬質路面接觸的輪胎皮的前半部分壓力明顯大于后半部分，這使得地面對輪胎總的支撐力的作用點前移并形成阻力矩。

4) 黏著效應

滾動表面相互緊壓形成黏著結點，這些黏著結點在滾動過程中又將沿垂直于接觸面的方向彼此分離，產生阻力矩。

人們一般認為：彈塑性固體的滾動摩擦主要歸因于固體接觸過程中的變形損失和滯后損失，即塑性變形和彈性滯后是通常彈塑性材料滾動摩擦的主要原因[7]。對于在良好的路面上行駛的汽車而言，輪胎的彈性滯后效應則是滾動摩擦的最主要原因[2]。

5 總結

本文從滾動摩擦力矩的等效功引入等效的“滾動摩擦力”的概念，闡述了它與靜摩擦力的本質差別以及在通常的負載下它與從動輪靜摩擦力的可替代性；介紹了滾動阻力因數與路面及車速的關系；利用“滾動摩擦力”和“牽引力”重新估算了普通轎車在良好路面上行駛時的最大速度，并指出傳統教材[1]中的一些不足；最后簡要介紹了滾動摩擦的一般物理機制以形成一個相對完整的知識體系。限于筆者的知識水平，本文也只是筆者關于滾動摩擦基礎知識的一點零星的學習心得，權當對文獻[1]中相關內容的補充說明，謹供大家教學參考，不當之處還望批評指正。