用于振動采收的有果有葉果樹振動模型構建

許林云，劉冠華，周 杰，周宏平，蔣雪松，宣 言

（南京林業大學機械電子工程學院，南京 210037）

0 引 言

現有林果采收的主要方式為通過林果采收設備對果樹主干或側枝處施加振動激勵，振動經過樹枝傳遞到果實并引起果實振動響應，當果實的慣性力大于果實的果柄結合力時果實脫落[1]。研究果樹的振動采收機理有助于開發林果振動采收裝備。在針對果樹的動態響應研究中，最常見的研究方法為動力學建模[2-5]和試驗研究分析[6-10]。果樹動力學建模方面，Miller[11]將樹體簡化為集中質量-連桿模型，并將杜芬方程與樹木振動模型結合起來，對樹木的非線性響應進行分析。Kenneth 等[12]通過多自由度的質量-彈簧-阻尼系統構建果樹振動模型，將一級側枝模型與主干模型相連接，二級側枝模型與對應的一級側枝模型相連接，研究了多級樹枝振動。Murphy 等[13]構建了多級連桿模型，將多連桿模型果樹振動方程在振動平衡位置附近簡化為線性方程，求解出了多連桿果樹振動模型的固有頻率和振型，并利用模態分析方法計算了果樹的響應。王琳[14]根據云杉的生態特性將其簡化為一端固定、一端自由的變截面彈性桿模型，將樹干的部分質量與樹冠質量看作一個集中質量球固定在桿的頂端，求得了云杉的自由振動響應形式。翁凌云等[15]把Y 型果樹簡化為變截面楔形梁，將梁頂端施加一個分段樹干質量與樹冠質量的等效質量塊，求得了其受迫振動下的響應。

近年來許多學者利用三維建模與有限元法對果樹進行模態和振動響應分析[16-19]。Bentaher 等[20]通過對樹木的樹形結構測量，利用COSMOSM-(Geostar)數值模擬軟件對果樹進行了三維重構，并求解了果樹在不平衡偏心塊式激振下的響應情況。Peng 等[21]用三維軟件構建了冬棗果樹的三維模型，實測了冬棗樹的密度、彈性模量和剪切模量，利用ANSYS 軟件對冬棗果樹模型進行了模態分析和諧響應分析。Burt 等[22]通過QSM 點云處理軟件對威薩姆森林的點云進行處理，利用Abaqus軟件構建樹木風振有限元模型，通過數值模擬得到了在風振時樹木的應力分布。賀磊盈[23]采用2 張不同角度的核桃樹圖像對核桃樹進行了三維重建，并對重建的三維模型模擬果樹側枝修剪，用有限元軟件對不同程度修剪的果樹進行模態計算，結果發現隨著側枝樹木數量的增加，固有頻率出現下降趨勢。王冬等[24]通過Pro/E 軟件建立了3 種常見形態的果樹有限元模型，計算了3 種不同激勵下的果樹響應，確定了3 種樹型最合適的激振采收方式。

綜上所述，傳統的建模方式只適合將復雜多形態的果樹極大簡化后建模，有限元建模方法雖可構建與復雜形態果樹的模型，但現有的建模方法均忽略了樹葉和果實對果樹的影響，而理論模型應對與實際復雜形態果樹較一致的有果有葉果樹建模才有實際應用價值及指導意義。本研究提出了將激光點云信息與有限元相結合，提取果樹的骨架點及節點樹枝半徑，構建果樹空間有限元模型。基于同種果樹在其收獲期間果實與樹葉的分布規律基本一致的假設，通過對果實和樹葉在果樹上的分布進行統計分析，確定果實和樹葉在果樹上的分布規律，繼而對模型節點上附加果實質量和樹葉質量構建有果有葉的果樹空間振動理論模型，并用銀杏樹對模型進行試驗驗證及分析。

1 果樹空間有限元振動模型

1.1 有果有葉果樹振動模型構建方法

將樹枝看作空間圓柱梁，采用空間6 自由度圓柱梁進行三維建模。假設果樹在小變形振動下為線性振動，可將果樹的振動視為空間剛體振動，并將機械振動理論中的三維空間圓柱梁結構有阻尼一般振動微分方程應用于果樹，形成果樹振動微分方程如式（1）所示

式中K、C 和M 分別為果樹的剛度矩陣、阻尼矩陣和質量矩陣，其中質量矩陣M 由樹枝質量矩陣Mz、樹葉質量矩陣My和果實質量矩陣Mg三部分構成，果樹剛度矩陣K 由樹枝剛度構成；、和u 分別為節點加速度向量、速度向量和位移向量；p(t)為激勵力向量。

依據有限元理論[25]可知6 自由度空間圓柱梁單元的質量矩陣和剛度矩陣分別如對稱矩陣（2）和對稱矩陣（3）所示

式中r 為對應節點圓柱梁的半徑，mm，其所對應單元的截面積為A=πr2，mm2；m 為對應單元的單元質量，kg； L 是單元長度，mm；梁的拉伸剛度Hm=EA，N，其中E為果樹的彈性模量，MPa；梁的扭轉剛度為Ht=Gmr2/2，N·m2，其中G 為果樹的剪切模量，MPa；繞Y 軸的抗彎剛度 Hy=Em(3r2+L2)/12，N·m2；繞 Z 軸的抗彎剛度Hz=Em(3r2+L2)/12，N·m2；Sym 表示省略部分關于對角線對稱。

通過果樹激光點云提取果樹的骨架節點構建的果樹振動模型，較人工測量手繪模型可以更好地重現果樹的枝桿姿態。以激光掃描提取的骨架點為基礎，將2個具有相鄰拓撲關系的骨架點作為空間梁單元的2 個節點構成一個空間梁單元，樹枝振動模型由已構建的單個單元按照拓撲關系依次連接而成，連接關系如圖1所示。

圖1 果樹骨架模型示意圖 Fig.1 Schematic diagram of fruit tree skeleton model

實際的果實采收期間，果樹枝桿上有大量的樹葉和果實，樹葉和果實的質量會影響果樹整體的質量分布，只使用果樹枝干模型計算得到的模態參數與有果有葉的果樹模型計算的結果存在很大差異。本研究提出根據果樹的果實和樹葉分布規律構建果樹有果有葉振動模型。現有的研究中，已經有部分學者采用統計的方式對植物的生態特性進行了研究[26-27]。本研究設單位長度的樹枝上果實和樹葉的平均數量分別為ng和ny。單個果實的平均質量為mg，kg；單個樹葉的平均質量為my，kg。則附加果實與樹葉質量矩陣Mg和My如式（4）和式（5）所示

附加樹葉與果實質量后的總質量矩陣如式（6）所示

式（1）中的阻尼矩陣表達了樹對運動能量的耗散，樹木的阻尼是由樹木振動過程中樹木內部和外部摩擦共同作用的結果。Milne[28]對云杉的阻尼進行了分析，其發現樹冠與鄰近樹木的碰撞占總阻尼的50%，其次為葉子運動時對應的空氣阻尼占總阻尼的40%，樹體自身的黏塑性阻尼占總阻尼的10%。Sellier 等[29]在研究樹木風振時采用瑞利阻尼構建果樹有阻尼振動模型。Moore[30]認為樹體阻尼與枝條和樹葉在樹枝上的分布有關，且枝條和樹葉實際上影響了果樹樹枝的質量分布，因此采用瑞利阻尼進行計算是合理的。綜上所述，本研究采用瑞利阻尼構建果樹振動模型。瑞利阻尼C 一般式如式（7）所示

式中α 為質量阻尼系數，β 為剛度阻尼系數。果樹的瑞利阻尼系數可通過實測獲取果樹的多階固有頻率及對應的黏性阻尼系數，采用最小二乘法進行擬合，即可由式（8）確定α、β。

式中ωi為第i 階固有圓頻率，rad/s；ξi為第i 階固有圓頻率對應的黏性阻尼系數。

則第i 階固有頻率如式（9）所示

式中fi表示第i 階固有頻率，Hz。

1.2 計算有果有葉果樹固有頻率

由機械振動原理可知，系統有阻尼固有頻率ωd和無阻尼固有頻率ωn的關系如式（10）所示

式中ωd為有阻尼固有圓頻率，rad/s；ωn為無阻尼固有頻率，rad/s；ξ 為黏性阻尼系數。

許多學者的試驗研究表明樹木的阻尼比大約在0.2左右[28,31]在低頻區有阻尼固有頻率與無阻尼固有頻率十分接近。由于果樹實際阻尼很小，在計算果樹固有頻率時，可以忽略果樹的阻尼項，在不施加外部激勵時，則式（1）可簡化為果樹無阻尼自由振動微分方程如式（11）所示

根據線性振動理論中的模態振型定義，當果樹處于某一模態振型? 時，果樹各點的振幅之比是唯一的。設果樹在某一模態振型下振動時各點的位移振動響應如式（12）所示

式中ω 表示響應頻率，rad/s；θ 表示響應與激勵之間的相位差，rad；t 表示響應時間，s。

將式（12）帶入式（11）中約去共同因子后得到式（13）

求解式（13）需給定邊界條件，果樹的邊界條件主要為根部對果樹的約束。Láng[32]在進行果樹有限元分析時對樹木的根部簡化為彈簧-阻尼系統。Dupuy 等[33]構建了包括樹根在內的有限元模型，要構建此類模型需要根部的幾何形狀，要將樹根挖掘出來并進行測量，這樣獲取根部的形狀是很困難的。Sillier 等[29]將根部簡化為2 個扭轉彈簧，保證果樹能夠繞水平面的2 個坐標軸轉動。Wood 等[34]認為根部雖不能使樹木非常牢固地固定在地面上，但這些學者認為這種現象對樹木的固有頻率影響不大。綜上所述，構建樹根的約束需在根部節點施加對應的約束條件，本研究考慮了Wood 等[34]的結論與實際計算的便捷性后，將根部約束簡化為固定端約束。消去果樹底部節點的6 個自由度后求解式（13）的特征行列式即可得到6 自由度三維空間梁單元構建的果樹模型的固有頻率。

2 銀杏樹三維模型構建

為驗證上節所構建的果樹振動模型的準確性，本研究以銀杏樹為研究對象，在南京林業大學校園內采伐一棵有果有葉的適用于室內試驗的小型銀杏樹（圖2a）進行模型構建及相關試驗測試，采伐時間為2019 年9 月，正值果實成熟時期。采伐后的果樹用地鉗將果樹根部固定在地面上。為研究有果有葉、無果有葉和無果無葉不同狀態果樹的頻譜特性，采用人工干預的方式，先從有果有葉狀態時的果樹進行測試，然后人為摘去果實形成無果有葉果樹，最后摘去樹葉形成無果無葉果樹（圖2b）進行各項試驗測試，所有室內試驗在果樹采伐后的3 d 內完成。

要精準確定果樹骨架點，構建果樹骨架振動模型，只能先對無果無葉銀杏樹通過激光掃描獲取骨架點云，然后再在骨架振動模型基礎上，通過分別添加果實與樹葉分布陣，獲得有果有葉的果樹振動模型。

2.1 銀杏樹樹枝點云處理及模型構建

本研究采用二維激光雷達掃描圖2b 所示的果樹，獲取果樹骨架點云數據，點云采集系統（圖3a）包括二維激 光 傳 感 器（ UTM-30LX ） 、 2.5 m 絲 杠 滑 臺（FLS40L100010C7）、步進電機及驅動器、STC51 單片機、24 V 直流電源和PC 電腦。通過單片機控制滑臺以3 mm/s 帶動激光掃描儀，將絲杠導軌放置在距果樹中心5 m 的圓周上，以120°夾角分3 次對果樹進行掃描，可全面獲取果樹枝桿的形態信息。此外，在距果樹中心1 m范圍內還需將3 個直徑不同的靶標球布置在3 個不同高度的位置上，且要求放置各靶標球時對掃描不會產生遮擋果樹或相互遮擋問題。

圖2 固定于室內地鉗上的銀杏樹 Fig.2 Ginkgo tree fixed on indoor ground clamp

圖3 點云掃描裝置及掃描方法 Fig.3 Point cloud scanning device and scanning method

3 個位置點3 次掃描果樹樹枝點云圖可通過3 個靶標球進行拼接，拼接后的原始點云通過半徑法對果樹原始點云進行去噪處理，對去噪后的點云采用基于點云主方向移動圓柱體的方法獲取果樹的骨架點，由于受拼接精度和激光掃描精度的影響，通過點云提取的果樹骨架點截面半徑會存在某些粗大誤差，對誤差較大的數據采用人工測量實際果樹的方式進行修正，最終構建果樹空間梁單元振動模型（圖4）。

圖4 果樹建模過程 Fig.4 Fruit tree modeling process

2.2 銀杏樹果實分布特性

銀杏樹的果實和樹葉只會生長在腋芽處，本研究對室內試驗銀杏樹上的樹葉和果實進行統計分析，樹葉、果實及腋芽分布狀態如圖5 所示。

圖5 樹葉、果實及腋芽局部分布圖 Fig.5 Distribution of leaves, fruits and axillary buds

果樹上共計335 個腋芽，其中長果實的腋芽共有242個，約占腋芽總數的72.2%。由于構建有果的果樹模型需要獲得單位長度樹枝上的果實的平均質量與平均數量，因此統計內容包括相鄰長果的腋芽分布間距、同一長果腋芽處果實生長的數量和同一腋芽上果實的平均質量。并對統計出的各參量分布規律用正態分布進行擬合，擬合公式如式（14）所示

式中a 和b 為擬合常系數，u 為分布期望值即均值，σ 為分布標準差。對應各參數分布如圖6 所示。

生長果實的腋芽間距分布如圖6a 所示，生長果實的腋芽間距主要集中在3～6 cm 之間，占比為81.4%，整體的分布規律為均值4.24 cm，標準差1.93 cm 的正態分布。由圖6b 可知，腋芽處生長的果實數量主要集中在4～10個之間，其中生長有4、6 和8 個果實的腋芽數量明顯高于其他果實個數的腋芽數量，其原因是絕大多數銀杏果在一個果柄上會并列生長出2 個果實，所以果實數量出現雙數的概率明顯大于奇數，因此總體分布規律擬合曲線相決定系數較低，只有0.757，單個腋芽處生長果實數量的分布為均值5.69 個，標準差為4.84 個的正態分布。由圖6c 可知，生長果實的腋芽主要集中在直徑為3～10 mm 的樹枝上，占比為93.0%，總體分布規律為均值為6.09 mm，標準差4.09 mm 的正態分布。由圖6d 可以發現腋芽處的果實質量主要集中在5.9～6.5 g 之間，占比為81.4%，其分布為均值6.15 g，標準差0.45 g 的正態分布。除了腋芽處生長的果實數量擬合正態曲線的相關系數較低，其余3 種情況擬合正態曲線時的決定系數均高達0.922 以上，說明各分布規律均較好地符合正態分布。

圖6 果實分布規律 Fig.6 Fruits distribution law

2.3 樹葉分布特性

對試驗銀杏樹上的樹葉分布進行研究，共計317 個腋芽處生長樹葉，約占腋芽總數的94.6%。對生長樹葉腋芽的腋芽相鄰間距、同一腋芽處生長樹葉的數量、同一腋芽處生長樹葉的平均重量和生長樹葉腋芽處的樹枝直徑進行統計，各參數分布如圖7 所示。

圖7 樹葉分布規律 Fig.7 Leaves distribution law

由圖7a 可知，生長樹葉的腋芽間距主要分布在2～6 cm 之間，占比為86.1%，腋芽間距分布規律為均值4.04 cm，標準差2.26 cm 的正態分布。由圖7b 可知，腋芽處的樹葉數量主要集中在3～7 片之間，數量分布最多的為5 片，樹葉數量分布符合均值為4.85，標準差為2.84的正態分布。由圖7c 可以看出，能夠生長出樹葉的腋芽主要分布在直徑2～10 mm 的樹枝上，占比為85.8%，有極少數的直徑為2 mm 以下、10 mm 以上的樹枝也存在少量的樹葉，其分布總體符合均值4.95 mm，標準差4.18 mm的正態分布。根據圖7d 所示，葉片的平均質量主要分布在0.3～0.6 g，占比為84.9%，其分布符合均值0.40 g，標準差0.28 g 的正態分布。總體來說，腋芽處樹枝直徑按正態分布曲線進行擬合時的決定系數最低，但也達到0.852，其他3 種參數擬合時的決定系數均高達0.969 以上，說明具有較好的正態分布規律。

2.4 有果有葉模型

為驗證上述果實與樹葉分布規律的準確性。本研究將上述對果實、樹葉所獲得的各分布規律，與在南京林業大學校園內生長的10 a 以上的5 棵大型銀杏樹上隨機選取的共計150 個腋芽處的樹葉與果實分布規律進行對比，各項分布中誤差最大為樹葉分布中的腋芽處樹枝直徑，相對誤差為7.6%，其主要原因可能為室外果樹具有較多生長有樹葉的末端細枝，導致室外果樹分布均值偏小。其余各分布的均值相對誤差均<5%，對比結果均滿足以上的各自正態分布規律，說明采用這些分布規律對果樹進行構建有果有葉的動力學模型是可行的。

應用上述獲取的銀杏樹果實和樹葉的分布規律，對銀杏樹枝桿模型按以下規律添加果實質量：生長果實的腋芽間距為4.2 cm，并結合實際果實生長雙數居多的現象，單個腋芽生長果實數量為6 個，單個腋芽上生長果實的平均質量為6 g，則對應1 cm 長度的樹枝上果實數量密度ng=1.43 個，應用在果實質量矩陣中的單個果實平均質量mg=6×10-3kg。依據生長果實的腋芽處樹枝直徑分布可知，實際果實大多生長在直徑3～10 mm 的樹枝上，因此不能對果樹整體枝干上進行附加果實質量，而只能在直徑符合特定條件的枝干上附加果實質量。因此只在銀杏樹樹枝模型中直徑≤10 mm 的單元，應用式（4）計算附加果實質量矩陣Mg。

基于樹葉的分布規律，在銀杏樹枝桿模型上按以下規律添加樹葉質量：生長樹葉的腋芽間距為4 cm，單個腋芽生長葉片數量為5 個，單個腋芽上生長樹葉的平均質量為0.4 g。則按1 cm 長度樹枝上樹葉密度ny=1.32 個，應用在樹葉質量矩陣中的單個樹葉平均質量my=4×10-4kg，且只對枝桿模型中直徑≤12 mm 的單元，應用式（5）計算附加樹葉質量矩陣My。

通過果實和樹葉的分布特征可以看出，銀杏的樹葉質量明顯小于果實的質量，對銀杏樹進行建模時，可進一步簡化即忽略銀杏樹的樹葉質量。但本研究為全面體現有果有葉的建模方法，并不忽略樹葉的質量，依然根據有果有葉的質量矩陣進行計算。對其他樹種來說，特別是果實與樹葉質量均對果樹質量分布有明顯影響的樹種，在進行果實建模時同時附加果實和樹葉質量矩陣是十分有必要的。

應用式（6）即可計算得到銀杏樹有果有葉振動模型的質量矩陣，結合式（13）即可計算銀杏樹有果有葉模型的固有頻率。

3 銀杏樹的頻譜特性試驗與仿真分析

銀杏樹頻譜特性測試方法采用沖擊力錘法，具體測試方法為在果樹主干上布置一個加速度傳感器測點（測點0），在6 個主要側枝上布置6 個加速度傳感器測點（測點1～6）。為減小傳感器質量對測試結果的影響，本研究選取的側枝測點位置均盡可能距離主干較近即具有較好的剛性，同時又能測試出反映該側枝的頻譜特性，具體布點如圖2 所示。通過在測點0 處施加沖擊信號，測得0～6 測點的加速度響應信號，即可由式（15）計算果樹各個測點的的傳遞函數。

式中H(f)為果樹的傳遞函數；Y(f)為加速度信號的傅里葉變換；F(f)為力錘沖擊信號的傅里葉變換。

頻譜測試裝置包括沖擊力錘（LC-02A）、三向壓電式加速度傳感器（CA-YD-141）、電荷放大器（YE5853A）、數據采集系統（NI cDAQ-9174）和測試分析軟件（CRAS V7.1）。振動采收應用最多的為偏心塊式激振方式，偏心塊式激振的工作頻率區間主要為15～25 Hz[35]，因此本研究對果樹頻譜特性的頻率關注范圍設定在0～30 Hz。

3.1 銀杏樹的頻譜特性試驗分析

通過測試及數據處理可獲取各測點傳遞函數對應的頻譜曲線，如圖8 所示為有果有葉頻譜曲線，由于果樹存在較多固有頻率，圖中僅標識較為明顯波峰對應的頻率即各固有頻率。各測點頻譜曲線中的基頻均為0.39 Hz，在0～5 Hz 內存在大量的低矮密集波峰，即果樹在低頻階段聚集大量的固有頻率，這與De Langre[36]的研究結果是一致的，即在低頻區出現大量峰點是由于植物的材料柔性大，導致存在多數固有頻率集中在10 Hz 以下。在5 Hz 以下的各峰點單位力引起的加速度幅值基本處于1 mm/(s2·N)左右且峰寬較窄；高于5 Hz后頻譜曲線的波峰開始變得稀疏、峰寬變寬，即在有果有葉的情況下果樹的高頻振動加速度幅值變大且對應阻尼也增大。

圖8 三種狀態下的果樹頻譜曲線 Fig.8 Spectrum of fruit tree in three states

去掉果實后，各測點頻譜曲線較去除果實前有了一定變化。果樹在無果有葉狀態下的基頻為 0.46 Hz，比有果實時的基頻略大，且在0～3 Hz 內密集波峰基本消失，而在5～10 Hz 內由原平緩上升狀態變為出現多峰點。各測點頻譜曲線在10～30 Hz 的波峰突出較為明顯，但單位沖擊力引起的加速度幅值并無明顯變化趨勢。

在無果無葉狀態下，果樹的基頻明顯增大為2.03 Hz。在低頻0～5 Hz 內波峰較少，但在5～10 Hz 內出現了較多小型波峰，在10～30 Hz 出現大量明顯的較高波峰。與有果有葉和無果有葉狀態下相比較，無果無葉狀態下的各測點頻響函數的單位力激發的加速度幅值顯著增加，這主要是由于去除樹葉后，果樹的阻尼系數明顯下降。

綜上所述，隨著逐漸去除掉果樹的果實和樹葉，果樹的低頻固有頻率集中出現的區域由0～5 Hz 向5～10 Hz 區域逐步變化，這是由于隨著果實和樹葉的去除，果樹的整體質量在下降，但樹枝的整體剛度基本沒有變化。從固有頻率的基本定義可知，其值會隨著剛度與質量比的增大逐漸增大，這與上述測試結果相一致。此外，各測點頻譜曲線幅值在去掉果實和樹葉后有了明顯的提升，尤其在去掉樹葉后增加特別明顯，說明樹葉是影響果樹振動幅值的主要因素，即樹葉的阻尼效應明顯大于果樹果實和自身材料的阻尼效應。說明樹葉和果實的質量分布對果樹的頻譜特性分布有明顯影響，在研究林果采收時不能忽略果實與樹葉附加質量的影響，因此構建有果有葉的振動模型才能有效反映實際果樹。

3.2 仿真結果分析

基于第2 節構建的銀杏樹有果有葉有限元模型，利用MATLAB2017 計算該模型的固有頻率。為確定計算模型的所需果樹的密度、彈性模量和剪切模量參數，本研究通過在校園內其他銀杏樹上進行隨機取樣，將樣本木材加工成27 個300 mm×20 mm×20 mm 的木條樣本，測量木條質量并計算得銀杏樹的密度為1 250 kg/m3。使用電子萬能試驗機（CMT6104）測試材料的彈性模量，取27 個樣本的平均彈性模量4 713.9 MPa 作為有限元分析模型的彈性模量，取泊松比為0.3，計算可知剪切模量為1 813.0 MPa。由于仿真計算結果和試驗測試結果所得固有頻率較多，為方便比較試驗結果與仿真結果，通過2個頻率區域進行驗證模型的準確性：1）將低頻區域前15階固有頻率的計算值與實測值進行比對，是為驗證基頻及低階頻率區域所構建模型的仿真計算準確性；2）在中高頻15～25 Hz 區域內將兩者進行比對，主要是驗證在常用振動采收頻率范圍15～25 Hz 內的仿真模型的計算準確性。

針對果樹有限元模型計算所得的固有頻率出現成對現象，即連續出現相鄰2 個固有頻率值十分接近，這是由于仿真模型采用圓柱梁單元，而對稱的圓柱梁會在同一固有頻率或稱模態頻率下沿軸向截面2 個正交方向上產生2 個相互垂直的彎曲振型，但由于實際樹枝上存在著各種小側枝且樹枝本身很難軸向對稱分布，從而會出現一對對的非常接近的固有頻率值。因此，本研究將成對出現的固有頻率以較高值作為同一階固有頻率。一般仿真計算的固有頻率要多于實測的固有頻率，將實測頻率與仿真計算頻率比對，與仿真計算頻率接近的實測頻率作為同一階頻率。仿真果樹模型密度與實際密度存在的差異會導致質量矩陣的誤差，枝桿模型的彈性模量與剪切模量與實際的差異會導致剛度矩陣的誤差，因此實際計算出的固有頻率存在一定誤差，Siller 等[29]采用修改模型的彈性模型與等效剛度使基頻誤差從20%相對誤差下降到1%以內，本研究采用類似方法將實際樹木密度和彈性模量分別提升了15%和降低了10%，3 種模型的原基頻計算精度及調整后的計算精度如表1 所示。仿真模型經過調整后，無果無葉狀態下從最大的相對誤差14.8%，明顯降低為0.5%，且其余2 種狀態下的仿真基頻與實測基頻完全吻合，即相對誤差為0。

表1 仿真基頻與調整仿真基頻表 Table 1 Simulated fundamental frequency and adjusted simulated fundamental frequency

將調整后的前15 階固有頻率的仿真與實測結果列入表2 中，將15～25 Hz 范圍內固有頻率的仿真與實測結果列于表3 中。實測中的主要固有頻率已在圖8 中表示出來。

由表2 可知，無果無葉果樹模型仿真前15 階固有頻率主要集中在10 Hz 以下，基本呈現均布分隔狀態；與實測結果相比對，實測中未出現第2、5、6 階頻率，其余12 階仿真值與實測值非常接近；仿真計算最大相對誤差為6.67%，平均相對誤差為2.03%，且其中4.69、5.54、7.81 Hz 在實測頻譜曲線中幾乎為各個測點均出現的共同固有頻率點。4.69、5.54 和7.81 Hz 振型圖如圖9 所示。可以看出這3 個振型圖中大部分側枝均有較明顯的振幅，但不同頻率下各枝的振型與振動幅值不同。無果有葉狀態下，各階仿真頻率與無果無葉模型相比出現明顯下降，致使各階頻率間隔明顯縮小，即前15 階固有頻率集中在3 Hz 以下；仿真前15 階固有頻率中只有9 階固有頻率在實測中出現，仿真計算最大誤差只有3.85%。有果有葉狀態下，前15 階仿真固有頻率進一步降低，密集處于1.12 Hz 以下，絕大多數仿真頻率在實測頻譜曲線中未能出現，只出現了5 階固有頻率，因較低頻率區內激振力引起的加速度響應靈敏度較低，有些固有頻率較難激發起來，即在頻譜曲線中難以體現出來，能在實測中體現出來的各階固有頻率最大相對誤差為2.75%，平均相對誤差為1.36%。

表2 前15 階仿真與實測固有頻率 Table 2 Top 15 steps of simulated and measured natural frequency

圖9 部分振型圖 Fig.9 Partial mode shape diagram

表3 15～25 Hz 仿真與實測固有頻率 Table 3 15-25 Hz simulated and measured natural frequency

由表3 可知，在15～25 Hz 頻率區間內，無果無葉狀態下共有7 階仿真固有頻率，實測頻率對應出現了5 階；無果有葉與有果有葉狀態下，均有10 階仿真頻率，實測頻率分別對應出現了7 階與6 階，均比前15 階頻率中對應程度高得多。3 種仿真模型的最大相對誤差分別為5.76%、2.06%和1.98%，平均相對誤差分別為2.32%、0.82%和0.95%。

綜上所述，仿真固有頻率多于實測頻譜曲線體現出來的固有頻率，這是因為實測的頻譜曲線上某些部位的曲線波峰非常微弱，只使曲線出現微弱起伏，難以判斷此處是否存在固有頻率，即并未將其標注出來，致使實測固有頻率數會少于仿真頻率數。因此，在處理仿真頻率與實測頻率對應關系時，是將實測固有頻率與仿真頻率中非常接近的固有頻率值作為對應的同等階次。無果無葉果樹的各階固有頻率分布較稀疏，而隨著樹葉與果實的添加，各階固有頻率明顯越來越密集，并在實測中所能體現出來的對應固有頻率越來越少。同時仿真計算的固有頻率只要在實測中能體現出來，其相對誤差均較低，最大不超過6.67%，說明所構建的有果有葉模型是可行的，具有一定的實用價值。

3.3 計算誤差分析

從試驗結果中可以看出，對果樹附加質量后的計算精度相較無果無葉模型的計算精度提高，可應用以下相關計算公式進行分析論述。為方便理解，只取其中某一樹枝單元基于集中質量方程進行論述，假設構建模型時給定該單元樹枝的質量和剛度分別為mz和kz，而實際質量和剛度分別為mz+Δmz和kz+Δkz，其中Δmz和Δkz分別為樹枝的質量誤差和剛度誤差且Δmz和Δkz分別遠小于mz和kz，假設實際樹枝的無誤差精確振動方程如式（16）所示

式中mz為樹枝質量，kg；kz為樹枝剛度，N/m；Δmz為樹枝的質量誤差，kg；Δkz為樹枝的剛度誤差，N/m；Δmz和Δkz分別遠小于mz和kz；x 表示位移，m；x˙˙表示加速度，m/s2。

則建模型計算獲得的固有頻率誤差Δf 如式（17）所示

式中Δf 為固有頻率誤差，Hz。

樹體上附加果實和樹葉質量后并不會對其剛度產生影響，因此式（17）中僅考慮質量誤差Δm。對式（17）進行簡化處理并略去高階無窮小項后得式（18）

附加樹葉和果實質量后的計算誤差分別如式（19）和式（20）所示

式中Δ?z+y為無果有葉固有頻率計算誤差，Hz；Δ?z+y+g為有果有葉固有頻率計算誤差，Hz；my為樹葉質量，kg；mg為果實質量，kg；Δmy為樹葉質量誤差，kg；Δmg為果實質量誤差；且Δmy和Δmg分別且分別遠小于my和mg。

假設樹葉質量和果實質量的相對誤差與樹枝質量相對誤差處于同一數量級，則由式（18）～式（20）可知，附加質量后的分母上的項 mz+my+mg與分子上的項Δmz+Δmy+Δmg的冪次數分別為1.5 和1，誤差中的分母項的增加值遠大于分子項的增加值，因此固有頻率計算誤差隨著附加樹葉質量和果實質量減小。綜上所述，果樹模型在剛度不變的情況下，隨著附加較準確的樹葉質量與果實質量，可以減小單純樹枝建模不準確所帶來的計算誤差。

4 結 論

本研究基于對無果無葉果樹激光掃描進行三維重建，建立有果有葉果樹的仿真計算模型，并通過試驗對模型進行驗證。具體結論為：

1）將激光點云與有限元分析相結合，通過提取果樹枝桿骨架點和樹枝半徑，將樹枝看作空間圓柱梁，通過分別構建果樹的質量矩陣、剛度矩陣與阻尼矩陣，結合果樹果實和樹葉的質量矩陣，構建有果有葉果樹空間6自由度圓柱梁振動模型。

2）提出了構建樹葉、果實與腋芽沿果枝生長方向的正態分布形態，找到了銀杏樹果實和/或樹葉的腋芽數量與腋芽間距、果實或樹葉數量、樹枝直徑、果實或樹葉平均質量的分布規律，確定了銀杏樹空間振動模型中果實與樹葉的分布質量及質量矩陣。且果實與樹葉質量分布矩陣的構建方法可應用于其他品種果樹有果有葉振動模型的構建。

3）對銀杏樹有果有葉、無果有葉和無果無葉3 種狀態進行頻譜特性測試，發現樹葉和果實的質量會明顯影響果樹的固有頻率數量及其分布。說明只構建果樹的枝干模型確定果樹的頻譜特性，無法應用于果樹實際果實基于頻譜的共振采收。

4）通過對銀杏樹具體的仿真建模和試驗獲得的各階固有頻率進行比對驗證，仿真計算固有頻率數量要多于實測所體現出來的固有頻率數量，但實測固有頻率均可在仿真頻率中找到十分相近的值，且仿真模型的果樹各枝振型幅值與實測頻譜曲線中各枝的加速度響應幅值之間的對應關系基本吻合。有果有葉仿真模型在常用采收頻率15～25 Hz 內最大相對誤差均<6.67%，并對仿真模型的計算誤差進行了分析說明，證明本研究所述果樹建模方法的可行性。

本研究所構建的果樹振動模型，可通過激光掃描設備應用于田間果樹固有頻率的快速計算，從而可確定田間采收設備的實際采收頻率，此為本研究的后續進展。