波利亞解題理論解決中考米勒問題的探究及反思

崔濤

1米勒問題及相關研究

1.1 米勒問題

1471年。德國數學家米勒向諾德爾教授提出了一個十分有趣的問題：在地球表面什么部位，一根垂直的懸桿呈現最長？即在什么部位，可視角最大？該問題作為數學史上100個著名極值問題的第一個而備受關注。因為問題本身由德國數學家米勒提出。所以最大視角問題又被稱為“米勒問題”。

為了方便問題的研究，將米勒問題進行抽象，如圖1所示：

已知A。B分別是∠GCK的邊CG上的兩個定點。點P是CK邊上的動點，當點P在什么位置時，∠APB最大？

1.2 中考中的米勒問題簡評

追尋近幾年米勒問題在中考中的蹤跡。筆者發現：2014年淄博中考24（3）為米勒問題，作出輔助圓后，涉及的主要知識點為切線的性質、勾股定理、切割線定理等;2015陜西中考26（3），求cos∠BPC最小即是求∠BPC最大，作出輔助圓，找到切點，用勾股定理可進行求解;2016年金華中考第9題的足球最佳射門位置問題，是米勒問題的實際應用，分析出圓心、半徑，作出輔助圓即可解決;2019年衢州中考24（3）也涉及米勒問題。題目雖需要分類討論。但只要以相切為突破口。打開解題局面，題目可迎刃而解;2019年煙臺中考25（3）的米勒問題，題面簡潔，解題脈絡清晰，易于引發學生的思考。可作為典型的解題案例。

2 波利亞解題理論指導下的解題探究

第（2）問，如圖5，因G，D為定點，所以GD長度固定要使四邊形GDNF周長最小，也即使GF+FN+ND最小。作G關于y軸的對稱點G，作D關于x軸的對稱點D'，連接G'D'與x軸，y軸分別交于點N，f。此時，以G，D，N，F為頂點的四邊形周長最小。為G'D'+GD的租

第（3）問：

1.理解題意

該問為最值問題，已知條件有點B，D為定點，動點P的運動軌跡為y軸正半軸。初步判斷，該問題為米勒問題。過B，D兩點，作出與y軸相切的輔助圓。此時的切點P是使∠BPD度數最大的點。所以問題的實質是求切點P的坐標。

2.擬定方案

在坐標系中。求點的坐標是常見問題。但是具體到不同的問題情境中。求解方法有所不同。筆者在波利亞解題理論的指導下。對擬定方案過程中的思維活動進行了詳細分析：

方案一（如圖6）：

（1）點P在y軸上，可先設出其坐標P（0，n）;找到長度為n的線段，設n=OP，進而將n轉數為形：

（2）OP長度能直接求嗎？無法直接求出怎么辦？找與OP相等或成倍數關系的線段代替。或者構造線段OP的和差關系。

4.回顧反思

再次對上述解題活動中用到的知識點進行梳理。重點是對學生解題思維的啟發，即：遇到此類問題，我們應該聯想什么。怎樣聯想。

3 反思

由解題到解題教學。從中考題目的研究到中考備考。筆者做出以下幾點反思。

3.1 解題教學應重視學生思維活動的清晰建構

筆者認為。要想充分啟發學生的邏輯思維，高效開展解題教學。首先要引導學生主動建構清晰的思維活動。思維活動由教師的提問、學生的獨立思考和師生之間的對話等激發。思維活動的建構可在擬定方案的過程中充分進行，這對于啟發學生思維、總結解題經驗、提高備考效率大有裨益。

3.2 中考備考知識點復習重在“聯”不求“全”

進人中考備考階段，知識點多、散，有些知識點靈活度高。因此，與“全面復習”相比，筆者認為更應注重知識點的“內在聯系”。這些知識點。學習之初。略顯分散，但是進入備考階段之后，學生們的知識儲備達到了一定量。在特定問題情景之下。這些看似分散的知識點，以思維為經絡，以運算為骨骼，進行了一次有機的結合。結合能力越強，學生解題能力越強，數學素養越高。因此中考備考階段。“聯系”的作用顯而易見。

3.3 數學史上的經典問題應該重回課堂

對米勒問題進行探究后。筆者發現了問題本身的趣味性和實際應用價值。在直線和圓的位置關系之后引入對該問題的探討，不僅可以將歷史名人和名題重現，拉近學生和數學學習的距離。激發學生學習數學的興趣，而且能夠提高學生運用知識的靈活度，增強學生主動進行探究學習的數學能力。