波利亞解題理論解決中考米勒問題的探究及反思

崔濤

1米勒問題及相關研究

1.1 米勒問題

1471年。德國數學家米勒向諾德爾教授提出了一個十分有趣的問題：在地球表面什么部位，一根垂直的懸桿呈現最長？即在什么部位，可視角最大？該問題作為數學史上100個著名極值問題的第一個而備受關注。因為問題本身由德國數學家米勒提出。所以最大視角問題又被稱為“米勒問題”。

為了方便問題的研究，將米勒問題進行抽象，如圖1所示：

已知A。B分別是∠GCK的邊CG上的兩個定點。點P是CK邊上的動點，當點P在什么位置時，∠APB最大？

1.2 中考中的米勒問題簡評

追尋近幾年米勒問題在中考中的蹤跡。筆者發現：2014年淄博中考24（3）為米勒問題，作出輔助圓后，涉及的主要知識點為切線的性質、勾股定理、切割線定理等;2015陜西中考26（3），求cos∠BPC最小即是求∠BPC最大，作出輔助圓，找到切點，用勾股定理可進行求解;2016年金華中考第9題的足球最佳射門位置問題，是米勒問題的實際應用，分析出圓心、半徑，作出輔助圓即可解決;2019年衢州中考24（3）也涉及米勒問題。題目雖需要分類討論。但只要以相切為突破口。打開解題局面，題目可迎刃而解;2019年煙臺中考25（3）的米勒問題，題面簡潔，解題脈絡清晰，易于引發學生的思考。可作為典型的解題案例。

2 波利亞解題理論指導下的解題探究

第（2）問，如圖5，因G，D為定點，所以GD長度固定要使四邊形GDNF周長最小，也即使GF+FN+ND最小。作G關于y軸的對稱點G，作D關于x軸的對稱點D'，連接G'D'與x軸，y軸分別交于點N，f。此時，以G，D，N，F為頂點的四邊形周長最小。為G'D'+GD的租

第（3）問：

1.理解題意