反向散射輔助的無線供能通信網絡中用戶能效公平性研究

葉迎暉，施麗琴，盧光躍

（西安郵電大學陜西省信息通信網絡及安全重點實驗室，陜西 西安 710121）

1 引言

泛在物聯網是發展6G 的關鍵驅動力之一[1-2]。實現泛在物聯需要部署數以億計的低功耗傳感節點，頻繁的數據交互會大幅消耗傳感節點自身的電能。然而傳感節點的部署環境與密度并不可能實現頻繁地更換電池及接入電網，因此頻繁數據交互產生的能量短缺問題是制約泛在物聯發展的重要因素之一[2]。

為解決數據交互產生的能量短缺問題，學者們提出了3 種可行的技術方案。1) 將無線能量傳輸技術融入傳感網絡中，構建同時具有通信服務質量（QoS,quality of service）的無線供能通信網絡。這種方案的本質是通過部署專用的能量站或混合接入點為傳感節點提供能量，傳感節點利用收集到的能量以傳統信息傳輸模式來實現數據通信[3-4]，本文將這種通信模式稱為收集–傳輸（HTT,harvest then transmit）模式。2) 將反向散射通信技術應用于傳感網絡節點，實現超低功耗甚至無源的通信網絡。這種方案的本質是讓傳感節點通過比較簡單的調制方法將自身信息加載到外在射頻信號來實現數據通信。反向散射通信又可分為單站反向散射通信、雙站反向散射通信和環境反向散射通信，如圖1 所示。相比于無線供能通信技術，采用反向散射通信技術的節點不需要產生射頻信號以及進行模數轉換，因此該技術的能量消耗遠低于無線供能通信技術[5-6]。3)將反向散射通信和無線供能通信相結合，構建反向散射輔助的無線供能通信網絡[7-8]。

圖1 3 種反向散射通信網絡

在以上3 種方案中，反向散射輔助的無線供能技術可以同時具有無線供能網絡和反向散射技術的優點，因此更加適用于能量受限的傳感網絡。文獻[8]首次提出了反向散射輔助的無線供能通信技術，將其與認知無線電網絡相結合，并在交織式認知網絡和襯底式認知網絡對單對的次用戶鏈路吞吐量最大化的時隙資源分配方法進行了研究。隨后文獻[9-10]將文獻[8]分別拓展到兩對和任意多對的次用戶的場景，并設計了最大化次用戶吞吐量之和的時隙資源分配方法。文獻[8-10]的方案均假設了次用戶發射機工作在環境反向散射通信模式或者HTT 模式。文獻[11]考慮了一個多模反向散射通信與HTT 結合的網絡。在該網絡下，次用戶能夠在環境反向散射通信、雙站反向散射通信及HTT 這3種模式下靈活切換，并提出了次用戶鏈路容量最大化的時隙資源分配方法。除了將反向散射輔助的無線供能通信技術應用于認知無線網絡之外，也有學者將其與蜂窩網[12]、終端直通技術[13]和中繼技術[14]結合，研究網絡吞吐量最大化的資源分配方法或評估網絡所能完成的中斷容量。考慮到能量效率也是無線通信網絡的重要指標之一，文獻[15]針對反向散射輔助的無線供能通信網絡研究了最大化用戶能量效率的資源分配方法。

通過上述工作的回顧可知，現有關于反向散射輔助的無線供能通信網絡的研究大多是從頻譜效率或者評估網絡中斷容量的角度出發。截至目前，從能效角度出發研究反向散射輔助的無線供能通信網絡[15]并不多，且相關的研究工作存在許多不足，具體如下。1)僅考慮了單個反向散射通信節點。為了滿足大規模傳感節點的信息接入，有必要從能量效率角度去研究多個反向散射通信節點構成的無線供能通信網絡。在多用戶網絡中，保障用戶公平獲取通信資源是實際網絡應用的客觀要求[16]。因此，面向多個反向散射通信節點構成的無線供能通信網絡，研究用戶能效公平性保障資源分配方法至關重要。2)僅從時間維度設計資源分配方法。在反向散射輔助的無線供能通信網絡中，時間資源和功率資源均會對能量效率產生較大的影響，因此有必要聯合優化時–功兩維資源來提高網絡性能。3)采用了線性能量收集模型。已有的研究表明，實際的能量收集電路由于含有非線性器件（如電感、電容等）而呈現非線性特征[17-18]，因此使用線性能量收集模型將會導致資源錯配，降低網絡性能。

受以上因素的啟發，本文針對反向散射輔助的無線供能通信網絡，研究了保障用戶能效公平性的時–功兩維資源分配方法。所考慮的網絡由一個專用能量站、多個傳感節點（下文也稱為“用戶”）及一個信息接收機組成。傳感節點均配置了能量收集電路、傳統通信模塊以及反向散射通信模塊，因此它們能夠工作在HTT 模式和反向散射通信模式。此外，為了精確刻畫傳感節點收集到的能量，本文采用了能夠真實反映能量收集器非線性特征的非線性能量收集模型[18]。

本文的主要貢獻總結如下。

1) 提出一個基于最大最小準則的用戶能效公平性時–功兩維資源聯合優化模型。所提優化模型不僅能夠保證用戶公平地獲取通信資源，還考慮了時隙資源、專用能量站發射功率和傳感節點發射功率的優化。

2) 時隙和功率的聯合優化導致多個變量耦合和目標函數呈分式形式。此外，目標函數存在最大最小函數，因此所提優化模型是一個混合整數非凸分式規劃問題，且不能直接利用現有凸優化工具去獲取最優解。為此，本文首先通過廣義分式規劃理論及松弛變量將其轉化為一個等價的減式優化問題，在此基礎上，借助輔助變量等手段將減式優化問題轉化為一個等價的凸問題，進而提出一種迭代算法來獲取最優解。

3) 通過實驗仿真驗證了所提迭代算法能夠快速收斂。通過與同類算法進行對比，證明了所提算法能夠實現更好的用戶能效公平性。

2 系統模型

考慮如圖2 所示的反向散射輔助無線供能通信網絡。該網絡由一個專用能量站、K個能量受限的用戶及網關（即信息接收點）組成。K個用戶需要在時隙T內分別將各自的數據上傳給網關。為了保障數據傳輸過程中K個用戶不消耗自身的能量，本文部署了一個專用能量站給K個用戶提供射頻信號，用戶可以將接收到的射頻信號用于反向散射通信，也可用于能量收集。

圖2 系統模型

為了避免用戶間的干擾，本文采用時分多址的方式將整個時隙T分解為多個小時隙，如圖2 所示。在βT中，專用能量站對未經調制的射頻信號進行廣播，所有用戶均可將接收到的射頻信號用于能量收集或者反向散射通信，其中0≤β≤1 表示時隙復用系數。具體來說，在τ0中，所有用戶均工作在能量收集模式；在時隙τk（k=1,2,…,K）中，用戶k通過反向散射技術將數據傳輸給網關而其他用戶繼續收集能量。在(1－β)T中，專用能量站保持沉默，用戶k在時隙tk中將自身的數據傳給網關。每一個時隙中信號表達式以及用戶鏈路所能完成的吞吐量具體如下。

在時隙βT內，第k個用戶接收到的信號為

其中，P0表示專用能量站的發射功率；x表示專用能量站所發送的未經調制射頻信號且滿足E[|x|2]=1；wk表示用戶k的接收噪聲，且噪聲服從均值為0、方差為σ2的高斯分布；hk表示專用能量站到用戶k的信道系數。

采用文獻[18]所提的非線性能量收集模型，用戶k在時隙βT內收集到的能量表達式為

其中，Emax表示能量收集器的最大收集功率；a和b表示非線性能量模型的參數，且其值可通過實際測量數據擬合得到。由于實際收集到的能量值為正，因此a的取值需滿足。需要指出的是，對于用戶k而言，其能量收集時間是βT-τk而非βT，這是因為用戶k在τk時隙內工作在反向散射通信模式。式(2)所收集的能量將會作為用戶k在τk和tk時隙內反向散射通信和HTT 的耗能。

在時隙τk中，用戶k通過反向散射通信技術向網關傳輸信息，此時網關收到用戶k反射信號的瞬時功率[10,12]為

其中，ε表示反向散射通信模塊的散射效率，gk表示用戶k到網關的信道系數，Γ0和Γ1表示反射系數。

根據式(3)和香農信道容量公式，用戶k在時隙τk完成的吞吐量如式(4)所示。

其中，B0表示信道帶寬，σ2表示噪聲功率。由于反向散射通信采用簡單的調制方式，其信道容量小于傳統通信模式。本文采用與文獻[12]一樣的方法來刻畫這種信道容量的差異，即將信號接收信噪比乘以一個實數ξ，其中0＜ξ＜1。

在(1－β)T中，用戶k在時隙tk內采用傳統通信模式給網關傳輸數據，因此用戶k所能完成的吞吐量為

因此整個時隙T內用戶k所能完成的總吞吐量為

由文獻[19]的式(18)可知，用戶能效等于用戶所參與完成的吞吐量與用戶所消耗的能量的比值。式(6)已經給出了用戶k在整個時隙所能完成的總吞吐量，接下來，本文分析用戶k在整個時隙所消耗的能量，并進一步得到相應用戶的能效表達式。

在整個時隙T內，用戶k僅需要在時隙τk和tk內消耗能量。在時隙τk內，由于用戶k將自身信息調制到接收的射頻信號（即能量源發射的射頻信號）上，自身不需要產生載波，因此僅存在電路損耗。在時隙tk內，用戶采用傳統通信模式來傳輸數據，因此其能量消耗包括2 個部分：發射功率消耗的能量與電路損耗的能量。因此，用戶k消耗的能量可以通過式(7)來計算。

結合式(6)和式(7)，用戶k的能效為

3 基于最大最小準則的用戶能效公平性資源分配方法

3.1 問題建模

最大最小準則是一種能夠有效保障用戶公平性的有效手段[20-22]，因此保障傳感節點間用戶能效公平性的資源分配方法可通過式(9)～式(16)所示優化問題的目標函數來解決，即

其中，式(12)保證了用戶k收集到的能量大于其所消耗的能量；式(13)約束了用戶k工作在傳統信息傳輸模式時的最大發射功率；式(14)表示在整個時隙T內用戶k所完成的吞吐量不能小于給定的最小值，即保障了用戶k的通信服務質量；式(15)約束了專用能量站的最大發射功率。

從式(9)所示目標函數可以看出，用戶k完成的能效ηk呈分式形式且含有多個耦合變量，如用戶k的發射功率Ptk和tk；其次，由于采用了最大最小準則，本文需要優化整數變量k，因此式(9)～式(16)所示的優化問題是一個混合整數非凸分式規劃優化問題，無法利用現有的凸優化工具獲得原問題的最優解。

3.2 問題轉化

對于式(9)～式(16)所示的混合整數非凸分式規劃問題，本文分3 步來獲取其最優解。首先利用廣義分式理論將非凸分式規劃問題轉化為一個等價的混合整數非凸減式優化問題；然后通過引入松弛變量來消除最大最小函數帶來的整數規劃問題，即將混合整數非凸減式優化問題轉化為等價的非凸優化問題；最后通過反證法及引入輔助變量的方法將減式問題轉化為等價的凸問題。具體的處理步驟闡述如下。

令變量Q表示式(9)～式(16)所示優化問題的目標函數值，即最大最小能效。根據廣義分式理論可知[23]，獲得最優解的充要條件是式(17)成立。

其中，“*”表示最優值。因此可以通過解決式(17)所示優化問題來獲得式(9)～式(16)所示問題的最優解。然而在實際中，Q*往往是未知的。根據文獻[20-23]可知，可以通過不斷更新Q值來獲取Q*，其具體步驟如算法1 所示。

算法1用戶能效公平性資源分配方法

步驟1給定任意一個大于零的Q，求解式(18)所示優化問題的最優解；

步驟2將步驟1中求解得到的最優解代入式(9)～式(16)所示優化問題的目標函數來更新Q(0)；

步驟3判斷Q是否收斂，如未收斂，令Q=Q(0)并重復步驟1；反之，則令Q*=Q(0)且在步驟1 得到的最優解即式(9)～式(16)所示優化問題的最優解。

根據算法1 可知，求解式(9)～式(16)所示優化問題的主要難點是求解式(18)所示的優化問題。

由于式(18)所示優化問題的目標函數和約束條件含有耦合變量，因此該優化問題仍是一個混合整數非凸優化問題。其求解過程具體如下。

引入一個松弛變量θ，將式(18)轉化為式(19)～式(21)所示的優化問題。

在式(19)～式(21)所示的優化問題中，優化目標是一個線性函數，式(10)、式(11)、式(13)、式(15)和式(16)所示約束條件是線性約束，但式(12)、式(14)和式(21)所示約束條件均為非凸約束，因此式(19)～式(21)所示的優化問題是一個非凸問題。觀察3 個非凸約束條件可以看出，P0與多個變量耦合，因此本文通過引入引理1 來求解P0的最優值。

引理1式(19)～式(21)所示的優化問題達到最優時式(22)必然成立。

證明具體過程見附錄1。

引理1 說明了為最大化每一個用戶能效，專用能量站應該采用最大的發射功率。當用戶在反向散射通信模式工作時，專用能量站增加發射功率有利于增加用戶反向散射信號的功率，從而增加網關接收的信噪比。另一方面，隨著專用能量站發射功率的增加，用戶所能吸收的能量也就越多，這使用戶工作在HTT 模式時有更大的空間去調節發射功率，從而增加用戶能效。根據引理1，式(19)～式(21)所示優化問題可以轉化為

相比于式(19)～式(21)所示的優化問題，式(23)～式(27)所示的轉換后的問題雖然少了一個優化變量，但約束條件式(25)～式(27)仍存在變量耦合及多個變量聯合非凸的情況。具體而言，在式(25)和式(27)中，變量和變量tk耦合；在式(26)和式(27)中，聯合非凸。為了解決上述問題，本文引入輔助變量，將其代入式(23)～式(27)可以得到式(28)～式(33)所示的等價優化問題，即

引理2式(28)～式(33)所示的優化問題是一個凸問題。

證明具體過程見附錄2。

根據引理2，可以利用凸優化工具去獲得式(28)～式(33)所示優化問題的最優解。為了更好地理解最優參數的特征及降低算法復雜度，本文利用庫恩塔克（KKT,Karush-Kuhn-Tucker）條件[24]來分析優化變量取值，同時還結合拉格朗日對偶法[24]，提出了一種迭代算法來獲得式(28)～式(33)所示優化問題的最優解。

3.3 迭代算法設計

3.3.1 拉格朗日函數分析

式(28)～式(33)所示優化問題對應的拉格朗日函數為

其中，λ0、λ1、μ=[μ1,μ2,…,μK]、ν=[ν1,ν2,…,νK]、ω=[ω1,ω2,…,ωK]和δ=[δ1,δ2,…,δK]均表示拉格朗日乘子且為非負實數。

引理3拉格朗日函數是關于τk、β、θ、τ0和tk的線性函數，且當給定拉格朗日乘子時，可以得到節點k最優發射功率的閉合表達式，即

證明具體過程見附錄3。

由于拉格朗日函數是關于τk、β、θ、τ0和tk的線性函數，因此這些優化變量的最優值總是可以在約束條件的邊界處取得。從式(35)可以看出，隨著的增加而增加，其物理含義如下。為了最大化用戶k的能效，當用戶k到網關的信道條件變好時，用戶k應該采用較大的發射功率來傳輸信息。

為了更好地理解式(28)～式(33)所示優化問題最優解之間的關系，下面分析其他優化變量的一階偏導數（一階偏導數均已在附錄3 中）。由和可知，和λ0=0 均成立。意味著至少存在一個δk是非零的，將以上結果代入可以推斷出如下結論：至少存在一個k使可知λ1＞0 必然成立。另一方面，根據KKT 定理可知，式(28)～式(33)所示優化問題的最優解必然滿足以下3 個互補松弛條件，即

將結論1)和式(35)代入式(28)～式(33)所示的優化問題，可以得到

可以看出，式(36)～式(40)所示的優化問題是一個線性規劃問題，因此可以通過單純形法[24]來獲得其最優解。

3.3.2 拉格朗日乘子更新

在給定拉格朗日乘子時，通過3.3.1 節可以得到優化變量的值，本節中采用梯度下降法來更新拉格朗日乘子，具體更新如式(41)～式(46)所示。

其中，i表示迭代次數，{Δn,n=0,1,…,5}表示步長，[x]+=max{0,x}。

結合3.3.1 節和3.3.2 節，本文設計了迭代算法來獲得式(28)～式(33)所示優化問題的最優解，具體步驟如算法2 所示。

算法2求解式(28)～式(33)所示優化問題的迭代算法

步驟1初始化拉格朗日乘子。

步驟2根據式(35)計算得到

步驟3解決式(36)～式(40)所示優化問題獲得{τk},{tk},τ0,θ的最優值。

步驟4根據求得β*。

步驟5根據式(41)～式(46)更新拉格朗日乘子。

步驟6判斷拉格朗日乘子是否收斂，如收斂則輸出最優解；否則返回步驟1。

由于式(18)所示優化問題與式(28)～式(33)所示優化問題等價，因此算法2 求解得到的最優解與式(18)所示優化問題的最優解一樣。基于此，算法1可以重新描述為如下內容，如算法3 所示。

算法3用戶能效公平性資源分配方法的新描述。

步驟1給定任意一個大于0 的Q，利用算法2得到式(28)～式(33)所示優化問題的最優解。

步驟2將步驟1 中求解得到的最優解代入式(9)～式(16)所示優化問題的目標函數來更新Q(0)。

步驟3判斷Q是否收斂，如未收斂則令Q=Q(0)并重復步驟1；反之，則令Q*=Q(0)，且在步驟1求解的最優解即為式(9)～式(16)所示優化問題的最優解。

4 仿真分析

本節將通過實驗仿真來驗證所提迭代算法的有效性；此外，還通過與用戶總能效最大化的方案比較來證明所提基于最大最小準則的保障用戶能效公平性資源分配方法的優勢。如無特殊說明，本節采用如表1 所示的參數。

表1 仿真參數描述

此外，假設網關與專用能量站的距離時50 m，3 個用戶距離專用能量站的距離分別是2 m、1.8 m和1.6 m。根據文獻[8-12]，采用弗里斯傳輸公式來模擬信道增益，即其中，λ表示波長，Gp、Gh、Gr分別表示專用能量站、用戶和網關的天線增益；d0,k和d1,k分別表示專用能量站到用戶k即用戶k到網關的距離。參考powercast 公司生產的能量收集電路和專用能量站，本文將專用能量站和網關的天線增益設為6 dBi，每個用戶的天線增益為1.8 dBi。假設載波頻率為915 MHz。

圖3 描述了本文所提迭代算法（即算法1）所能完成能效與迭代次數的關系曲線。從圖3 中可以看出，本文所提迭代算法大致經過3～4 次迭代之后就能收斂到某一個常數，這一結果驗證了算法1的快速收斂性。其次，可以看出，ξ對迭代算法收斂得到的用戶能效（也成為了最優最大最小能效）有著重要的影響。對比不同的ξ，可以發現最優最大最小能效隨著ξ的增大而增大。這是因為當給定通信資源環境時，環境反向散射通信所能完成的信息傳輸速率隨著ξ的增加而增加，從而增加了用戶能效。

圖3 本文所提迭代算法1 的收斂結果

圖4 比較了本文所提資源分配方法和3 種資源分配方法所能完成的最大最小用戶能效。3 種資源分配方法分別為反向散射通信模式下最大最小用戶能效、HTT 模式下最大最小用戶能效、反向散射輔助的無線供能網絡下用戶速率最大化（即吞吐量最大化方案）。從圖4 中可以看出，無論ξ為何值，本文所提資源分配方法完成的最大最小用戶能效均不差于這3 種資源分配方法，特別地，當ξ=-20 dB，本文所提資源分配方法完成的最大最小用戶能效分別是HTT 模式和吞吐量最大化這2 種方案的1.42 倍和1.92 倍。然而反向散射模式無法達到最小速率的約束，因此其相應的優化問題無解，此時將其所能完成的最大最小用戶能量人為地設置為0。理由如下：相比于反向散射通信模式和HTT 模式下的最大最小用戶能效，本文所提資源分配方法是適用于反向散射輔助的無線供能網絡且可通過自身參數的調整退化為這2 種傳輸模式，也就是說，這2 種傳輸模式是本文所研究資源分配方法的一種特例。此外，由于反向散射輔助的無線供能網絡下用戶速率最大化的優化目標并未考慮能效的問題，因此其所完成的最大最小能效也是低于本文所提資源分配方法。另一方面，在本文所提資源分配方法中，反向散射通信模式與HTT 模式存在權衡關系。具體來說，當ξ≤-23 dB 時，本文所提資源分配方法所完成的最大最小能效與HTT 模式下最大最小能效相同。雖然反向散射通信的耗能低于HTT 模式，但由于較小的ζ在很大程度上減少了反向散射通信所能完成的信息速率，從而使采用反向散射通信模式無法滿足最小速率約束，即無法滿足用戶的QoS，因此本文所提資源分配方法退化為HTT 模式下的最大最小能效。當 -23 dB＜ξ＜-19 dB，本文所提資源分配方法使得用戶在一個完整的傳輸時隙中既要工作在反向散射通信模式也要工作在HTT 模式；當ξ＞-19 dB 時，本文所提資源分配方法所能完成的最大最小能效與反向散射通信模式下的最大最小能效一致，這意味著當ξ較大時，所提資源分配方法就退化為反向散射通信模式。這也說明了當反向散射通信的信道容量慢慢逼近香農公式時，分配通信資源給HTT 模式將會降低用戶能效。通過上述分析可知，反向散射輔助的無線供能通信網絡確實可以同時具有反向散射通信網絡和無線供能通信網絡的優點，使其能夠在復雜的通信需求中自適應地調節參數來符合人為設定的通信目標。

通過與總能效最大化資源分配方法對比來說明本文所提資源分配方法的優越性，如圖5 所示。2 種資源分配方法最大的差別在于目標函數，總能效最大化資源分配方法的目標函數是K個用戶完成的速率之和與K個用戶的能耗之和的比值。從圖5中可以看出，使用本文所提資源分配方法，最好用戶和最差用戶所能完成的能效差異明顯小于總能效最大化資源分配方法。當用戶間信道差異較小時，使用本文所提資源分配方法得到的用戶平均能效略微低于總能效最大化資源分配方法得到的用戶平均能效，但最好用戶和最差用戶所能完成的能效的差異卻明顯低于總能效最大化資源分配方法。當用戶間信道差異較大時，可以看到使用總能效最大化資源分配方法將會導致最好用戶的能效是最差用戶能效的2 倍，然而使用本文所提資源分配方法，最好用戶能效是最差用戶能效的1.2 倍左右，這有效地保障了用戶間獲取資源的公平性。

圖4 4 種資源分配方法的性能比較

圖5 2 種資源分配方法公平性比較

5 結束語

本文面向反向散射通信輔助的無線供能通信網絡提出了一種保障用戶能效公平性的資源分配方法。考慮用戶最小速率約束及能量因果關系，以最大最小用戶能效為優化目標，將優化問題建模為一個時-功兩維資源聯合優化的混合整數非凸分式規劃問題。通過引入廣義分式理論、松弛變量、反證法和輔助變量，將其轉化為一個等價的凸問題，并設計了一種迭代算法來求解所提資源分配方法的最優參數。最后通過仿真驗證以下3 個結論：1)所提迭代算法能夠快速收斂到最優值；2)所提資源分配方法能夠有效保障用戶能效的公平性；3)在所提資源分配方法中，反向散射通信模式與HTT 模式存在權衡關系。

附錄1 引理1 的證明

本文采用反證法來證明引理1成立。假設式(19)～式(21)所示優化問題的最優解為，該最優解同時滿足約束條件式(20)和式(21)及，那么最大的θ可通過式(47)計算得到，即

綜上，引理1 得證。證畢。

附錄2 引理2 的證明

在式(28)～式(33)所示的優化問題中，目標函數、約束條件式(29)～式(31)是線性的，因此只需要證明約束條件式(32)和式(33)是凸約束。在式(32)和式(33)中，和是線性的，因此式(28)～式(33)所示優化問題是凸約束的充要條件是的黑塞矩陣是半負定矩陣。構建函數并將其黑塞矩陣表示為

式(50)所示的黑塞矩陣的一階行列式小于0，二階行列式等于0，因此黑塞矩陣為半負定矩陣。所以約束條件式(32)和式(33)均是凸約束。

綜上，引理2 得證。證畢。

附錄3 引理3 的證明

對式(34)中每一個優化變量求偏導可以得到

根據KKT 條件可知，式(28)～式(33)所示優化問題得到最優解時，拉格朗日方程的所有一階偏導數即式(51)～式(55)均等于0。根據可以得到式(35)。將式(35)代入式(55)，可以得到與tk無關。根據式(51)、式(52)、式(54)及與tk無關這一結論可知，拉格朗日函數是關于τk、β、θ、τ0和tk的線性函數。引理3 得證。證畢。