一種更具穩健性的計數控制圖

楊佳靚

摘要：統計過程控制（SPC）技術已被證明在許多工業應用中是重要的，控制圖是統計過程控制中最重要的工具。本文針對計數數據設計了一種更穩健的控制圖。它對用于監視的小的過程轉移非常敏感。我們將新設計出的統計量與EWMA相結合，并在不同的受控長度下進行檢驗。比較并分析該統計量在不同參數下的表現，結果表明其對泊松分布下的數據監測效果良好，其監測速度能夠更快。

Abstract： Statistical process control （SPC） techniques have been shown to be important in many industrial applications， and control charts are the most important tool for statistical process control. In this paper， a more robust control chart is designed for counting data. It is very sensitive to small process transitions for monitoring. We combined the newly designed statistics with EWMA and tested them at different controlled lengths. By comparing and analyzing the performance of this statistic under different parameters， the results show that it has a good monitoring effect on the data of poisson distribution， and its monitoring speed is faster.

關鍵詞：計數數據;控制圖;穩健性

Key words： count data;control chart;robust

中圖分類號：N945.13 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1006-4311（2020）17-0232-03

0 ?引言

統計過程控制（SPC）已成為監控和測量過程或產品質量的重要技術。如何改進產品質量成為了學術界討論的焦點。早在20世紀，休哈特（Shewhart）就提出了過程控制理論監測的工具——控制圖。統計過程控制（SPC）中的控制圖可劃分為計量控制圖與計數控制圖兩類。其中計量控制圖包括X-bar-R圖、X-bar-S圖;計數控制圖包括N圖、P圖、C圖、U圖。Shewhart最早提出的控制圖是產品不合格率的P圖。現如今很多控制圖都針對于正態分布數據，但實際情況中的數據并不一定服從于正態分布，例如產品缺陷，單位時間內的排隊人數。因此對于計數控制圖的研究就顯得尤為重要。早在之前，Sheu 和Lin[1]（2003）提出了一般加權移動平均（GWMA）控制圖，提高了 EWMA 圖的檢測能力。Khoo[2]（2004）推出了泊松移動平均控制圖，為 c-chart 提供了更好的選擇，并提高了計數控制圖的監測能力。Shey 和Chiu[3]（2007）利用了一般加權移動平均（GWMA）控制圖來檢測泊松分布過程均值的持續變化，這種控制圖稱為PGWMA 控制圖。本文利用PGWMA控制圖的統計量進行改善優化，并根據受控運行長度（ARL0）找到其最優化的監測方案。Chakraborty[4]（2017）設計了GWMA-TBE 圖表，這種圖表在檢測非常小到中等的變化方面優于著名的EWMA 和Shewhart 圖表。Lu[5]（2017）設計了混合加權移動平均控制圖，這種控制圖在大參數下具有很強的穩健性。Niladri[6]（2018）提出了時間加權控制圖，并表示該控制圖性能優于其他控制圖。Saghir[7]（2018）基于輔助變量和重復采樣的EWMA 控制圖，用于監控過程位置。本文設計的計數型控制圖將會結合EWMA控制圖設計出一種新的控制圖給計數數據進行良好的檢測。

1 ?計數控制圖的優化設計

在設計C控制圖的時候，人們假設統計量的分布是服從泊松分布的，其均值和方差都等于它服從分布的參數。首先我們來計算平均運行長度（ARL），平均運行長度（ARL）是一個公認的控制圖性能度量。ARL是檢測到過程移位之前所獲得的期望樣本數。假設控制線參數為k，抽樣比例為r，工序中發生偏移為d，則

（1）

我們可以先設定一個初始的ARL0和抽樣比例r，于是就可以得出控制線參數k的取值

（2）

表1列出了在給定ARL0和抽樣比例r，對于不同的偏移程度■，k的取值和ARL1的計算結果。根據表1我們可以得出，ARL0的增大導致ARL1的增大，r值的減小導致ARL1的減小。我們可以來用減小初始的ARL0和增大抽樣比例r的方法來減小ARL1的值，增加控制圖對偏移的靈敏程度。但是，ARL0的減小意味著錯誤報警率的增大，抽樣比例r的增大意味著檢驗成本的增加，因此這兩個參數的調整要根據實際工序的情況做出。而這里設計方案與前面討論的計量控制圖設計的不同在于，控制線參數k只根據ARL0和抽樣比例r來決定，和偏移的大小無關。該方案對于比較大的偏移是敏感的，而對較小的波動較難發現，所以我們這種方法比較適合對大波動進行監控，而對于小波動，則應該結合EWMA圖來進行探測和分析。

2 ?計數控制圖的穩健性設計

本文介紹了一種用于監測計數數據的EWMA控制圖，并分析了一系列監視流程的計數數據的方法。所研究的所有案例均涉及泊松EWMA控制圖的變化。假設在時刻k采集相互獨立且服從泊松分布的樣本Xk1，Xk2，Xk3，Xk4…Xkn，k=1，2，3...，n為樣本大小。本文通過對PGWMA的優化得到一種新的統計量

t=1，2，3…（3）

其中Y0和Z0取決于對象均值？滋0，？滋0是過程均值。其中權重因子■。q，a是控制圖的參數。

通過結合Yt和Zt，可以得到一個更簡便的式子

t=1，2，3…（4）

其中■。

3 ?表現評估

通過MATLAB仿真系統進行仿真。受控長度（ARL0） 是當過程處于控制狀態時，檢測到在失控狀態之前獲得的預期樣本數。失控長度（ARL1）在過程平均移位后檢測到在失控條件下獲得的預期樣本數。為了進一步了解此控制圖的性能，以泊松分布為例，把受控長度（ARL0）分別設置為ARL0=200，370，500。并列出表現結果。

從表2可以得出，這個過程意味著在從？滋0=4移到？滋0=12（小的向上移動）。模擬了100次？滋0=4的連續泊松觀測，取其結果均值并在表2中列出。表2展示了不同類型，參數q=0.7、0.8，a=0.5、0.6、0.7、0.8，和ARL0=200。在這個圖表中，計數數據控制圖檢測到一個失控的信號遠早于其他圖表。

從表2、表3、表4的對比中可以得到當受控長度（ARL0）越小，檢測的速度就會越高，但ARL0越小，受控狀態下的錯誤報警率就會越高。在實際生產過程中可根據自身需要調節ARL0的大小。當ARL0固定時，q值不變，a值越大，監測速度越高，性能越好;a值固定時，q值越大，監測速度越高，性能越好。

4 ?結論

本文介紹了一種更具穩健性的計數型控制圖，并提出了優化方案。該控制圖可以應用于各種計數數據分布中，并有良好的監測性。結論考慮實際生產中樣本存在的問題，本文提出的控制圖用來監控過程均值的偏移，并給出了EWMA控制圖中的最優決策變量和性能指標，仿真結果表明，該控制圖可以應用于各種計數數據分布中，并有良好的監測性。針對不同的均值偏移大小，質量工程師們需要選擇控制圖的最優決策變量，可以更快速的檢測到過程中的均值偏移，減少不合格品的產生。以上研究均假設過程均值和方差已知，如果當過程均值和方差未知時，此控制圖的性能需要進一步研究。

參考文獻：

[1]Sheu， S. H.， Lin， T. C. （2003）. The generally weighted moving average control chart for detecting small shifts in the process mean[J]. Qual. Eng. 16：209-231.

[2]Khoo， M.B.C.（2004）. Poisson moving average vs. c chart for nonconformities[J]. Qual. Eng. 16：525-534.

[3]Shey-Huei Sheu & Wen-Chih Chiu.（2007）.Poisson GWMA Control Chart[J]. Communications in Statistics—Simulation and Computation. 36：5， 1099-1114.

[4]N. Chakraborty， S.W. Human & N. Balakrishnan （2017）. A generally weighted moving average chart for time between events， Communications in Statistics - Simulation and Computation， 46：10， 7790-7817.

[5]Shin-Li Lu（2017）. Optimization Problems and Methods in Quality Control and Improvement，Quality and Reliability Engineering International， 33（8）， 2397- 2408.

[6]Niladri Chakraborty， Schalk W. Human & Narayanaswamy Balakrishnan （2018）A generally weighted moving average exceedance chart， Journal of Statistical Computation and Simulation， 88：9， 1759-1781.

[7]Saghir， A.， Ahmad， L.， Aslam， M.， & Jun， C.-H. （2018）. A EWMA control chart based on an auxiliary variable and repetitive sampling for monitoring process location. Communications in Statistics-Simulation and Computation， 64（9-12），1625-1642.