累積和-休哈特控制圖在GNSS 變形監測中的應用

段 朋

（安徽理工大學測繪學院，安徽 淮南 232001）

變形監測是指對變形進行長期觀測，以觀察其空間位置和內部形態隨時間變化的規律[1]。隨著科學技術的進步，許多大型建筑被投入使用。變形監測在高層建筑和大壩的形變情況監測中的作用愈加重要。在對變形體的長期監測中會獲得大量數據，其中包含變形體結構的正常振動，也包含異常振動。對數據中的異常振動進行有效的識別和分析，是判別變形體是否安全的前提，因此對長期監測數據中的異常數據判別的準確性將會影響到整個監測過程與后續決策的可靠性[2]。

全球導航衛星系統（Global Navigation Satellite System，GNSS）具有測站間無需通視、自動化程度高、可全天候作業以及定位精度高等特點。這些特點使得GNSS 在測繪領域得到廣泛的應用，推動了測繪領域的技術革新。李宏男等[3]探討了全球定位系統（Global Positioning System，GPS）技術的發展過程，對基于實時動態（Real-Time Kinematic，RTK）載波相位差分技術的健康監測的前景做了展望，認為這項技術克服了傳統測量的眾多缺陷，具有獨特的優越性。

對于變形監測數據中異常的識別與預警工作，國內外眾多學者做了大量的相關工作。吳浩等[4]提出了一種基于小波分析的改進型3σ 粗差探測方法，結果顯示其對較大粗差的檢出效果較常規方法要好。戴海亮等[5]提出一種小波多尺度分解與奇異譜分析相結合的非線性運動建模方法來提取GNSS 站坐標時間序列的有用信息，提高了坐標時間序列的建模精度。REN 等[6]提出基于奇異譜分析的方法對GPS 坐標序列進行預處理，實驗結果表明基于奇異譜的預處理方法可以較好地監測出粗差，減弱粗差對不確定跳變的準確判別，對粗差的監測和丟失數據的恢復具有重要意義。

控制圖方法是統計過程控制（Statistical Process Control，SPC）中用于發現過程異常的理論方法。在SPC 中，控制圖方法是應用較成熟的方法，常規的控制圖有休哈特控制圖和累積和控制圖。兩類控制圖在對過程控制中各有側重，互有優勢，針對這一問題，本文提出一種累積和與休哈特的聯合控制圖，對GNSS 站坐標序列中的異常數據進行識別，并與使用單一控制圖的實驗結果對比分析。

1 兩類常規控制圖

1）休哈特控制圖。休哈特控制圖是由Shewhart 博士依據統計的3σ 原理提出的，被廣泛應用在生產過程中產品的質量控制與實驗數據控制。

當檢測過程趨于穩定時，假定一組觀測值Xt，t=1，2，3，…相互獨立且服從同一正態分布N（μ0，σ2）。則在樣本容量為n 時，樣本均值落在置信區間的概率為99.73%，此時可以認為過程是受控的；反之，若有一部分樣本均值落在置信區間外，這就表明發生小概率事件，過程存在異常。休哈特控制圖的上控制線、中間線、下控制線分別為

2）累積和控制圖。累積和控制圖是基于序貫概率比檢驗而提出的，假定一組觀測值Xt，t=1，2，3，…相互獨立且服從同一正態分布N（μ0，σ2），在某一時刻過程均值發生偏移后，X～N（μ0，σ2），概率密度函數分別為f0（x）和f1（x）。

根據序貫概率比檢驗得到似然比統計量為

兩邊取對數，得到通用的對數形式似然比為

令k=（xt-μ0）/2，Δ=μ1-μ0，得到

同理，可得到累積和控制圖的下偏移統計量為

2 聯合控制圖方法與參數設置

在使用聯合控制圖對過程進行控制時，需確保應用條件與相關參數一致，這樣才可以將結果在同一圖中呈現。先要確定樣本大小一致，這樣才可以將累計和控制圖與休哈特控制圖繪制在同一個圖中。在實際使用累積和控制圖時，樣本大小根據實際需求設置，通常將其設置為1。在處理GNSS 坐標序列時，設置休哈特控制圖與累積和控制圖均不進行分組，樣本大小均為1。從累積和統計量的定義來看，累積和控制圖的中心線在0 的位置，而休哈特控制圖的中心線在觀測值的均值位置，為了使監控效果更直觀，需要將兩圖的中心線調整到同一位置。首先，固定休哈特控制圖的位置不變；其次，將累積和控制圖的統計量按一定系數縮放，保留其趨勢變化；最后，在中心位置加上均值，將累積和控制圖的預警閾值也同樣加上均值，這樣控制圖在圖形上的統一就解決了。在對GNSS 坐標序列進行之前，還需將兩類控制圖的參數設置統一。

在應用累積和控制圖前，需要根據實際情況對參數進行設置，設預警閾值為h。對于未知的偏移，為了有更好的監測效果，取k=0.5。為了計算預警閾值h，需要引入平均運行鏈長（Average Run Length，ARL）LAR的概念，為控制圖發出預警之前的平均樣本數。建議使用SIEGMUND[7]提出的近似方法來計算預警閾值h。累積和控制圖的單側ARL與均值偏移量的關系為

式中：k=Δ/2；b=h+1.166Δ。當Δ 為零時，LAR=b2作為近似估計。累積和控制圖的ARL 與單側ARL的關系可以表示為

式中：LAR+為上側監測過程的ARL；LAR-為下側監測過程的ARL。兩側ARL 的數值相同。

控制圖的參數設置完成，下面通過仿真實驗來檢驗聯合控制圖的檢出效果。

3 仿真實驗與結果分析

聯合控制圖與單獨控制圖的檢出效果進行對比分析。實驗數據為安徽理工大學某學院樓頂測站的監測數據，測站豎直方向波動比較大，不適宜做實驗數據，采用水平方向上的X 方向的GNSS 數據。實驗數據采樣間隔為1 s，采集1000 歷元的GNSS數據。圖1 為GNSS 坐標序列。

圖1 GNSS 坐標序列

應用控制圖算法進行控制前，需要檢驗實驗數據的正態性，通過運用Shapiro-Wilk 檢驗，得到數據的P 值為0.204，大于0.05，可以判斷實驗數據服從正態分布。取實驗數據的均值μ0作為休哈特控制圖的中心線，休哈特控制圖的上控制線、下控制線分別可以由式（1）和式（3）得到。為了累積和控制圖有更好的檢出效果，取k=0.5。累積和控制圖ARL 與休哈特控制圖ARL 取同一值，由式（12）得到單側ARL 為740，這樣預警閾值h 可以由近似計算得到。在GNSS 坐標序列1000 歷元中的400～500 處加入0.8 倍、1 倍、2 倍、3 倍的標準差作為變形數據，檢驗算法的檢出能力。

圖2 為休哈特控制圖對仿真實驗數據的監測結果。由圖2-a～圖2-e 可以看出，休哈特控制圖對仿真實驗數據中加入大偏移的異常數據具有較好的檢出能力，而對小偏移的異常數據檢出能力較差。休哈特控制圖在實驗中對2 倍標準差以上的偏移能夠進行有效預警，但是對于2 倍標準差以下的偏移沒有及時有效預警。實驗證明了休哈特控制圖對大偏移檢出效果較好的結論。

圖2 休哈特控制圖對仿真實驗數據的監測結果

圖3 為累積和控制圖對仿真實驗數據的監測結果。由圖3-a～圖3-e 可以看出，在GNSS 變形監測中累積和控制圖對仿真實驗數據加入小偏移的異常數據具有較好的檢出能力。圖3-a 中仿真實驗數據未加入標準差發生統計量超出預警閾值的問題情況是由于數據采集過程中多路徑效應等產生的粗差而造成的，會使積累控制圖產生誤判，這種情況會隨著仿真實驗數據加入標準差的增大而消失。分析圖3-b～圖3-e 的結果，對仿真實驗數據加入0.8 倍、1 倍、2 倍和3 倍標準差的異常數據，累積和控制圖均及時給出了預警信息。累積和控制圖對仿真實驗數據加入1 倍以下標準差的異常數據發生異常的范圍判定大致準確，但對于仿真實驗數據發生大于1 倍標準差偏移的異常發生范圍的判定不準確，累積和控制圖誤判的范圍隨著偏移的增大而增大。

表1為兩類控制圖報警區間。比較兩類控制圖，累積和控制圖對加入的0.8 倍、1 倍標準差偏移具有較好的檢出能力，能及時給出預警信息，且能識別出偏移出現的位置；對加入的2 倍、3 倍標準差偏移亦具有檢出能力，但給出的預警區間為403~596，402~649，誤判范圍隨著加入偏移的增大而增大。

圖3 累積和控制圖對仿真實驗數據的監測結果（續）

表1 兩類控制圖報警區間

仿真實驗數據標準差大偏移使得累積和控制圖產生了預警滯后性，對過程中其他因素導致的偏移檢出能力減弱。休哈特控制圖對加入0.8 倍、1 倍標準差偏移的區間沒有給出預警，在加入2 倍、3 倍標準差偏移區間處給出了預警，并且基本正確識別出了偏移發生的位置。

考慮將兩種控制圖結合進行監測過程，以及時發出預警信息和識別異常發生位置，提高檢出異常的效率。圖4 為累積和-休哈特聯合控制圖對仿真實驗數據的監測結果。

圖4 聯合控制圖對仿真實驗數據的監測結果

聯合控制圖中實線表示的是休哈特控制圖統計量，虛線代表的是累積和控制圖統計量。分析聯合控制圖，在圖4-b 與圖4-c 中分別在400～500 歷元處添加了0.8 倍和1 倍的標準差，休哈特控制圖沒有顯示預警信息，而累積和控制圖及時發現異常，發出預警信息。在圖4-d 中，兩個控制圖都發出了預警信息，累積和控制圖出現回收速度的滯后導致無法準確識別偏移發生位置，休哈特控制圖則能準確識別偏移發生的位置。聯合控制圖對大小偏移均具有較好的檢出能力。

圖4 聯合控制圖對仿真實驗數據的監測結果（續）

4 結論

本文對GNSS 異常探測中的兩種控制圖方法進行了詳細的闡述，并通過對實測數據加入變形信息的方法，發現了使用單一控制圖對過程均值進行控制時存在缺陷。依據LUCAS[8]的思路考慮使用累積和控制圖與休哈特控制圖的聯合方法同時對過程進行控制，結果表明聯合方法提高了對異常數據的檢出能力，在使用過程中做到了無論是大偏移還是小偏移，都具有良好的檢出效果。聯合控制圖彌補了兩者的不足，將兩圖結合的方式也使得控制結果更加直觀。