例談適合發展的數學課堂的實施要領*

王九紅

《國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010—2020 年）》提出，要“尊重教育規律和學生身心發展規律，為每個學生提供適合的教育”。作為國家教育發展目標，“適合的教育”需要教育系統乃至全社會為之協力共為，其中，課程教學是一種主要的載體和途徑?！读x務教育數學課程標準（2011 年版）》在“課程基本理念”中指出，“要面向全體學生，適應學生個性發展的需要，使得：人人都能獲得良好的數學教育，不同的人在數學上得到不同的發展”。這可視為“適合的教育”的理念和要求在義務教育階段數學學科上的具體表達，也可當作我們實施“適合的數學教育”時應遵循的準則，即要適應學生的數學認知規律和個性發展需要，采用適宜學生學習的方法來開展數學教學，促進學生適性地發展。概而言之，就是要適合發展。下面，筆者以六年級下學期一則數學思考題的教學為例，談談適合發展的數學課堂的實施要領。

一、教學現場

出示思考題：一個等腰直角三角形減掉一個三角形后，剩下一個梯形。（如圖1）已知梯形的面積是42 平方厘米，上底長4 厘米，梯形的高是（ ）厘米。

1.教學常規解法。

師：這道題比較難，但還是有不少同學做出來了。哪位同學來說說自己的解法？張同學很踴躍，讓他先說吧。

張同學：上面小三角形的高是4cm，它的面積就是4×4÷2=8（cm2）；大三角形的面積就是42+8=50（cm2）；50×2=100=102，10-4=6（cm），這就是梯形的高。

師：同學們，你們聽懂了嗎？100是什么？

生：100是大三角形面積的2倍。

師：誰能畫圖表示這個2倍的面積？

張同學（在原圖上添輔助線，畫出圖2）：100 是兩個三角形的面積，也就是這個正方形的面積。

師：現在大家知道10是什么了吧？10-4=6呢？

…………

2.教學方程解法。

師：其他同學還有別的解法，哪位來說一說？范同學的解法很特別，讓他說吧。

范同學面露得意之色，在實物展臺上呈現并解釋他的解法：

解：設梯形的高為xcm。

（4+x+4）×x÷2=42

x2+8x=42×2

x2+8x-84=0

（x+14）×（x-6）=0

x1=-14（舍去）

x2=6

范同學講解得很詳細，但大多數學生還是一頭霧水。

師：哈，范同學列出了個一元二次方程，這是初中才能學到的知識，他現在就掌握了，了不起!范同學，我給你提個建議，如果你設梯形的下底為x會更好一些。那我們就能列出這樣的方程——（x+4）（x-4）÷2=42，大家能看懂嗎？誰來說說道理？……范同學，你覺得這個方程和你的方程相比怎么樣？

范同學：這個更加簡單、清楚。

師：對！你看它——（x+4）（x-4）很對稱哦！我們還可以讓方程變得更對稱呢，（x+4）（x-4）=42×2，大家看看，等號兩邊都是兩個部分相乘，這也是對稱的，是不是？誰知道（x+4）（x-4）算出來的是什么？42×2 呢？大家相互討論一下。

學生討論期間，教師畫出圖3。

師：現在大家明白了嗎？對，（x+4）（x-4）就是這個長方形的面積，是由兩個梯形拼成的，它是多少呢？（是42×2，也就是84）（x+4）（x-4）是可以變化的，誰知道它能變成什么樣子？

生：（x+4）（x-4）=x2-42=x2-16。

師：對?。▁+4）（x-4）=x2-42是個平方差公式，到初中才學到，你也很厲害！大家想知道這個公式是怎么來的嗎？哈，這個老師現在不說，把它作為今天課后的思考題。這個方程現在你們會解了嗎？

學生解答，匯報，教師板書：

（x+4）（x-4）=42×2

x2-42=84

x2=100

x2=102

x=10

師：大家看，和范同學的解法相比，這個解法確實更簡潔、更漂亮。

3.教學分解因數法。

師（指著圖3）：大家看這個長方形，它的面積是多少？

生：是42×2等于84。

師：那它的長和寬分別是多少呢？（ ）×（ ）=84，這兩對圓括號分別表示長和寬，填什么數？

生：1×84=2×42=3×28=4×21=6×14=7×12。

師：如果讓你選一個數做這個梯形的高，你選哪一個？

生：我選6或者7。

師：為什么不是12、14或者別的數呢？

生：因為我看上面的圖，6 和7 比較接近這個梯形高的長度，其他的數相差太大。

師：你真聰明！我們有時可以根據圖上的比例直接估計答案，然后計算驗證，看哪個合適。

教師板書：

（4+6+4）×6÷2=42……√

師：所以，梯形的高就是6。

4.教學據圖估數法。

師：同學們，有些題目比較難，我們不會做，但我們可以先根據題目中的圖估計出一個答案，沒有圖的題目可以先畫圖，這個圖要盡量精確。當然，要保證正確，我們最好再驗證一下。大家看，這個梯形的上底是4 厘米，估計一下，它的高是多少厘米？

生：大概是5、6、7厘米。

師：這都有可能，但到底是哪一個呢？你準備先驗證哪一個？

生：中間的6。

師：你真聰明！我們通常先驗證中間的，大了就換小一點的，小了就換大一點的。

二、課后反思：適合發展的數學課堂的實施要領

適合發展的數學課堂由多種元素構成。基于上述教學案例的分析和反思，筆者認為，教學目標的制定與達成、教師的啟發引導方式和隨機應變智慧是眾多元素中較為重要的三個方面。

1.目標要“立地頂天”：讓每個學生都得到適性的發展。

制定適切的教學目標是教師備好一節課的首要任務。制定教學目標的依據主要有兩個方面——教學內容和學情。教師對教學內容理解得越深刻，對學生了解得越全面、越深入，制定的教學目標就越有可能合適。對于了解到的學情，秉持不同教學理念的教師的處理方式是不同的。有些教師會將其進行“多數化”或“中間化”處理，即根據大多數人的情況或取中間那部分人的情況來確立教學目標，這樣設立的目標是一種“截面”的狀態，是唯一的。秉持適合發展教學理念的教師則會將學情視為一種連續體，不僅重視“大多數”“中間數”，還關注兩頭的情況，以期達成“立地頂天”的教學目標。具體而言，“立地”是指要努力讓學困生達到國家課程標準規定的基本水平，“頂天”就是讓學優生努力達到他所能達到的最高標準?！傲⒌仨斕臁钡慕虒W目標是適合發展的數學課堂有別于一般數學課堂的首要因素，要求教師以適合發展的眼光來看待學生。

在上述教學中，“立地頂天”的教學目標是通過三個環節來實現的。首先是抓中間。教師課前對這道題的答題情況已然了解。面對多種解法，他首先選擇的是常規解法。這種解法運用了梯形面積計算的知識，大多數學生都可以理解，教學效率很高。

接著是“頂天”。教師讓范同學呈現方程解法，這需要運用中學的一元二次方程知識才能解出。教師將其視為一種幫助學生“頂天”的寶貴資源加以利用，不僅使范同學的方程知識變得更“漂亮”了，還借此引出了分解因數法、據圖估數法，使其他學生也有所獲益。

最后是“立地”。對于極少數學困生而言，常規解法、方程解法、分解因數解法可能都太難理解了，他們需要更簡單的方法，于是教師借助分解因數法將解題方法引導到“無厘頭”的估計答案法上。這種解法對思維邏輯性的要求不是很高，但也絕非瞎碰運氣，它是建立在學生觀察、猜測、幾何直觀和直覺思維的基礎上的。

“立地頂天”其實不是新鮮事物，它只是傳統“因材施教”的新表達而已。但在當前教育均衡化和規范辦學的形勢下，一些人認為這會拉大學生之間的差距，有違教育公平。其實，適合才是最好的，真正公平的教育是讓不同的人得到適合的發展。

2.啟發要由遠及近：讓更多的學生進行深度思維。

教學內容的難度與教師的啟發方式之間具有一種對應的關系。具體而言，當教學內容難度較小時，教師應該直接讓學生自行學習；當教學內容難度適中時，教師應該采取由近及遠的啟發方式。這樣做，就是要讓學生通過適度的思維負荷得到發展。

由遠及近啟發是將全體學生視為一個認知水平由低到高的連續體，從學困生到中等生再到學優生，教師都要兼顧。先做出的點撥和啟發高于教學目標，只有少數學優生能理解掌握，然后借助這些學優生的力量或其他辦法讓較多的中等生理解掌握，最后通過中等生的幫助讓其余學生理解掌握，直至學困生也有所收獲。這種啟發方式特別注重學生思維的過程和數學活動的過程，目的是擴大思維空間，讓學生盡可能多地得到一些有一定負荷思維的機會。教師秉持的假設是所有學生都有巨大的學習潛能，都可以在適當的幫助下得到發展。

由遠及近啟發的具體方式有很多，包括提問、舉例、畫圖、演示等，提問是其中較為重要的啟發方式。為了提高學生的思維強度，提問需要遠離教學目標。遠離教學目標的提問具有含而不露、指而不明、引而不發、開而不達的特點。如果這樣的提問過于籠統，多數學生不得要領，就要朝教學目標貼近些再問，如此由遠及近，最終達成教學目標。此案例中，教師靈活運用多種方式。如面對難以理解的方程解法，教師首先建議范同學換一種設未知數的方式；然后通過提問讓大家比較兩個方程的異同，感受數學的簡潔美、對稱美；最后利用畫圖幫助學生理解42×2 和（x+4）（x-4）的 意 義，自 然 地 引 出（ ）×（ ）=84，為分解因數法做好鋪墊。

3.執教要富有智慧：善于發掘利用各種教學資源。

如何兼顧思維發展與知識學習效率，盡可能促進每個學生適合地發展？這對教師的教學智慧提出了要求。教師要能及時捕捉到課堂中隨機生成的教育事件中的“機”，且要能見機行事，恰當地將特定的問題轉化為普遍的資源，促進大家的發展。此案例中，教師的教學智慧較為集中地體現在對范同學一元二次方程解法這一“越位”行為的處理上。

首先，教師敏銳地發現了“機”。方程（4+x+4）×x÷2=42 對六年級學生來說解答起來確實比較困難，新方程（x+4）（x-4）=42×2 相對來說更簡潔、更對稱、更漂亮，這不僅可以使范同學獲益，也能讓大家感受到數學的簡潔美、對稱美。就此而言，要敏銳地發現隱藏在教學事件中有價值的資源，教師對教學內容的理解就要深刻、系統。

其次，教師善于引導。在解答新方程時，教師將方程式進行變形，又通過畫圖幫助學生理解其意義。畫圖其實是構造出一個長方形，方程式中的（x+4）（x-4）其實就是長方形的長和寬相乘，其積就是42×2。這原本是一個就事論事的行為，但教師又將其普遍化為（ ）×（ ）=84，實現了從關注個別學優生向關注全體學生的轉移。

最后，教師適時提供幫助。綜觀整個案例，教師該出手時就出手。如設梯形的下底為未知數更為恰當，這是學生很難知曉的，因而教師沒有啟發學生去探究，而是自己直接說出；將方程（x+4）（x-4）÷2=42 變 為（x+4）（x-4）=42×2，這也是學生不易想到的，教師抓住“對稱”來相助。

綜上所述，在數學教學中，教師要做到適合每一個、發展每一個，就要恰當制定“立地頂天”的教學目標，采用“由遠及近”的啟發方式，富有智慧地應對課堂生成事件。