“‘關(guān)·聯(lián)’數(shù)學(xué)”的教學(xué)主張與實(shí)施策略

劉麗娟

一節(jié)課的呈現(xiàn)不可能是孤立的，既要追問(wèn)它的知識(shí)基礎(chǔ)、方法基礎(chǔ)，又要考慮其今后的延展。筆者在日常教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，不少教師的教學(xué)容易走入兩個(gè)極端：一是過(guò)度瞻前顧后，大量占用本節(jié)課的教學(xué)時(shí)間和內(nèi)容，導(dǎo)致本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)難以達(dá)成；二是只著眼于當(dāng)下，不提供讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程的機(jī)會(huì)，致使學(xué)生被動(dòng)學(xué)習(xí)。基于此，我們研究團(tuán)隊(duì)于2016 年提出“關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)”的教學(xué)主張，并于2017年申報(bào)江蘇省“十三五”規(guī)劃立項(xiàng)課題獲批。歷經(jīng)兩年多的研究，我們的視角從單純關(guān)注文本擴(kuò)展到關(guān)注學(xué)情，從分別關(guān)注教與學(xué)擴(kuò)展到關(guān)注教與學(xué)的關(guān)系，從關(guān)注文本結(jié)構(gòu)擴(kuò)展到關(guān)注師生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，我們的教學(xué)主張也轉(zhuǎn)變?yōu)椤啊P(guān)·聯(lián)’數(shù)學(xué)”。

一、“‘關(guān)·聯(lián)’數(shù)學(xué)”的內(nèi)涵詮釋

“關(guān)”，作為名詞的解釋有“事物或時(shí)間演進(jìn)過(guò)程中的重要時(shí)刻、階段”，作為動(dòng)詞的解釋有“牽連、涉及”。“‘關(guān)·聯(lián)’數(shù)學(xué)”的“關(guān)”可以理解為知識(shí)發(fā)生過(guò)程中的重難點(diǎn)和關(guān)鍵處，以及知識(shí)點(diǎn)之間的相互銜接與聯(lián)系，指向?qū)W習(xí)內(nèi)容、知識(shí)之間縱向和橫向的關(guān)系，概念要素之間獨(dú)立和并存的關(guān)系，思想方法之間部分和整體的關(guān)系，學(xué)科之間內(nèi)部與外部的關(guān)系，等等。“聯(lián)”，作為動(dòng)詞的解釋有“連接、連續(xù)；結(jié)、結(jié)合”。“‘關(guān)·聯(lián)’數(shù)學(xué)”的“聯(lián)”可以理解為由此及彼、舉一反三，在相關(guān)、相似和相通的內(nèi)容中尋找共同本質(zhì)，指向?qū)W生的思維發(fā)展。“‘關(guān)·聯(lián)’數(shù)學(xué)”從“關(guān)”和“聯(lián)”兩個(gè)方面展開研究，基于文本的“關(guān)”和思維的“聯(lián)”二者關(guān)系的思考，落于教師的“關(guān)”和學(xué)生的“聯(lián)”二者關(guān)系的設(shè)計(jì)，它們的關(guān)系如下頁(yè)圖1所示。

二、“‘關(guān)·聯(lián)’數(shù)學(xué)”的理論依據(jù)

美國(guó)語(yǔ)言哲學(xué)家格賴斯說(shuō)：在關(guān)系范疇底下，我只使用一條原則——要有“關(guān)聯(lián)”。加拿大學(xué)者西門思提出了連接主義學(xué)習(xí)理論的六點(diǎn)主張：一是學(xué)習(xí)是將知識(shí)節(jié)點(diǎn)或信息源連接在一起的過(guò)程；二是保持連接對(duì)于持續(xù)學(xué)習(xí)非常重要；三是保持知識(shí)的即時(shí)性和準(zhǔn)確性是一切關(guān)聯(lián)學(xué)習(xí)的目標(biāo)；四是尋找知識(shí)的能力比現(xiàn)有知識(shí)更重要；五是核心能力是發(fā)現(xiàn)不同領(lǐng)域、觀點(diǎn)和概念之間的聯(lián)系；六是學(xué)習(xí)知識(shí)存在于多樣化觀點(diǎn)中。美國(guó)心理學(xué)家桑代克提出了聯(lián)結(jié)主義學(xué)習(xí)論，他認(rèn)為學(xué)習(xí)要遵循三條重要原則：一是準(zhǔn)備律，指學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)開始的預(yù)備定勢(shì)；二是練習(xí)律，指一個(gè)學(xué)會(huì)了的反應(yīng)的重復(fù)將增加刺激反應(yīng)之間的聯(lián)結(jié)；三是效果律，如果一個(gè)動(dòng)作跟隨著情境中一個(gè)滿意的變化，在類似的情境中這個(gè)動(dòng)作重復(fù)的可能性將增加，反之則減少。美國(guó)數(shù)學(xué)教師協(xié)會(huì)2000 年頒布《中小學(xué)數(shù)學(xué)原則與標(biāo)準(zhǔn)》，“數(shù)學(xué)聯(lián)系”成為其十條標(biāo)準(zhǔn)之一。這些對(duì)關(guān)聯(lián)的理解和定位表達(dá)和支持了“‘關(guān)·聯(lián)’數(shù)學(xué)”的核心思想，即學(xué)習(xí)源于“關(guān)”，指向“聯(lián)”。

東北師范大學(xué)史寧中教授在其主編的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）解讀》一書中多次提到“關(guān)聯(lián)”：教材的編寫應(yīng)考慮學(xué)段的關(guān)聯(lián)，以利于學(xué)生學(xué)習(xí)的延續(xù)性；教材編寫應(yīng)整體考慮知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，不同知識(shí)之間、不同課程領(lǐng)域之間都存在實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，教材應(yīng)著重體現(xiàn)這些聯(lián)系，而不是忽略它們；各學(xué)段數(shù)學(xué)教材在整體設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)考慮如何反映課程內(nèi)容之間存在的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，這既包括不同領(lǐng)域內(nèi)容之間的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系（如代數(shù)與幾何之間、代數(shù)與統(tǒng)計(jì)概率之間的聯(lián)系），也包括相同領(lǐng)域內(nèi)容之間的聯(lián)系。史寧中教授的觀點(diǎn)對(duì)“‘關(guān)·聯(lián)’數(shù)學(xué)”具有很強(qiáng)的指導(dǎo)意義。“‘關(guān)·聯(lián)’數(shù)學(xué)”教學(xué)正是教師基于對(duì)文本的整體認(rèn)識(shí)，找準(zhǔn)知識(shí)的內(nèi)在實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)想象遷移、比較溝通、拓展創(chuàng)新，在一次次關(guān)·聯(lián)中提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的活動(dòng)。

三、“‘關(guān)·聯(lián)’數(shù)學(xué)”的實(shí)施策略

1.找準(zhǔn)關(guān)點(diǎn)，確立聯(lián)動(dòng)目標(biāo)。

每一節(jié)課、每一次活動(dòng)都有其獨(dú)特的價(jià)值追求，它們既不是單純對(duì)上一節(jié)課的重溫，也不是盲目對(duì)下一節(jié)課的越位。只有準(zhǔn)確地找到這個(gè)關(guān)點(diǎn)，才能科學(xué)地制定課時(shí)目標(biāo)，從而合理地規(guī)劃要達(dá)成的目標(biāo)。為了更好地落實(shí)國(guó)家課程標(biāo)準(zhǔn)的總目標(biāo)，使之更貼近地方辦學(xué)特點(diǎn)，凸顯學(xué)校辦學(xué)特色；更好地細(xì)化年段目標(biāo)，使之更貼近學(xué)生的成長(zhǎng)背景，符合每一位學(xué)生的認(rèn)知水平，我們開展了“學(xué)習(xí)目標(biāo)能級(jí)系列化”研究，具體做法如圖2所示。

如教學(xué)蘇教版三下“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元，要通過(guò)每一節(jié)課的關(guān)點(diǎn)，有效落實(shí)課程標(biāo)準(zhǔn)中“能計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法”的總目標(biāo)。第2 課時(shí)《兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）》的教學(xué)重點(diǎn)（即關(guān)點(diǎn)），是兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）的筆算，它是多位數(shù)乘一位數(shù)筆算方法的擴(kuò)展，是兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進(jìn)位）的基礎(chǔ)。學(xué)生用第二個(gè)乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)去乘第一個(gè)乘數(shù)，已經(jīng)具備了顯性基礎(chǔ)，但用第二個(gè)乘數(shù)十位上的數(shù)去乘第一個(gè)數(shù)，只具備隱形基礎(chǔ)——乘的方法和順序與上一步相同，但乘得的結(jié)果如何表達(dá)（特別是定位問(wèn)題）是新的內(nèi)容，需要連接上節(jié)課的內(nèi)容加以理解。正是在這樣突破與連接一個(gè)個(gè)關(guān)點(diǎn)的過(guò)程中，學(xué)生不斷建構(gòu)學(xué)習(xí)框架、完善自我認(rèn)知體系。

2.明晰關(guān)子，連接新舊認(rèn)知。

關(guān)子比喻事情的關(guān)鍵，它在解決困難或分歧時(shí)起決定性作用。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)邏輯性很強(qiáng)，一環(huán)套一環(huán)，無(wú)論哪個(gè)環(huán)節(jié)出了問(wèn)題，學(xué)習(xí)就會(huì)“掉鏈子”。這個(gè)鏈子，從開始時(shí)的線狀連接到后來(lái)的網(wǎng)狀連接，慢慢形成各式各樣的立體狀連接。要讓連接的點(diǎn)更加牢固，教師就要明晰每個(gè)關(guān)子，并幫助學(xué)生理解、內(nèi)化、掌握和熟練應(yīng)用它。

如教學(xué)《兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）》一課，要引導(dǎo)學(xué)生掌握筆算方法，關(guān)鍵在于兩點(diǎn)：一是要掌握乘的順序，即先用第二個(gè)乘數(shù)個(gè)位上的數(shù)去乘第一個(gè)乘數(shù)，再用第二個(gè)乘數(shù)十位上的數(shù)去乘第一個(gè)乘數(shù)，最后把兩次乘得的結(jié)果相加；二是要理解和掌握用第二個(gè)乘數(shù)十位上的數(shù)去乘時(shí)得到的數(shù)的末位要和第二個(gè)乘數(shù)的十位對(duì)齊，這個(gè)關(guān)子既需要運(yùn)用前面的舊知來(lái)突破，也直接影響著下一節(jié)課《兩位數(shù)乘兩位數(shù)的進(jìn)位乘法》的學(xué)習(xí)。在教學(xué)中，以前學(xué)過(guò)的兩、三位數(shù)乘一位數(shù)的筆算方法有助于學(xué)生進(jìn)行方法遷移，完成第一次乘積過(guò)程。上一課時(shí)的學(xué)習(xí)內(nèi)容有助于學(xué)生預(yù)估新知24×12 的計(jì)算結(jié)果，同時(shí)有助于學(xué)生完成第二次乘積——10 乘兩位數(shù)和整十?dāng)?shù)乘整十?dāng)?shù)。最關(guān)鍵的是，還能幫助學(xué)生理解“為什么豎式計(jì)算時(shí)用第二個(gè)乘數(shù)十位上的數(shù)去乘第一個(gè)乘數(shù)，乘得的末位應(yīng)寫在十位上”。明晰關(guān)子，既是對(duì)教師解讀文本、設(shè)計(jì)教法和指導(dǎo)學(xué)法的要求，也是對(duì)學(xué)生溫故知新、自主建構(gòu)和綜合運(yùn)用的挑戰(zhàn)。

3.辨析關(guān)系，聯(lián)系數(shù)學(xué)思想。

事物的關(guān)聯(lián)極其復(fù)雜，在內(nèi)容和形式上多種多樣，不同的關(guān)聯(lián)對(duì)事物的存在和發(fā)展所起的作用不同。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要抓住這些聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)聯(lián)想的學(xué)習(xí)習(xí)慣和關(guān)聯(lián)思考的思維方式，從而使他們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容形成整體的認(rèn)知。數(shù)學(xué)表達(dá)也不是千篇一律的，多維比較、辨析這些表達(dá)的異同，從關(guān)系的角度審視它們，滲透數(shù)學(xué)思想，能促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)由淺層轉(zhuǎn)向深層。

4.融通關(guān)節(jié)，促進(jìn)聯(lián)想生成。

華東師范大學(xué)葉瀾教授認(rèn)為，現(xiàn)代學(xué)校教育系統(tǒng)的總體結(jié)構(gòu)在形式上呈現(xiàn)為四層階梯狀，其中第四層次為教與學(xué)的配合以及教向?qū)W的轉(zhuǎn)化。該層次的任務(wù)是把教師提出的對(duì)學(xué)生的要求內(nèi)化為學(xué)生的自覺要求，把教育內(nèi)容內(nèi)化為學(xué)生個(gè)體的身心發(fā)展。這就要求教師在對(duì)教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化重組時(shí)，要注重整體性、長(zhǎng)效性和發(fā)展性，要滿足學(xué)生在學(xué)習(xí)中自主遷移、前思后慮、觸類旁通的需要。

如教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”單元，可以先讓學(xué)生想一想：兩位數(shù)乘兩位數(shù)有哪些類型？學(xué)生經(jīng)歷過(guò)數(shù)的類型和兩位數(shù)乘一位數(shù)類型的整體認(rèn)知過(guò)程，因而很容易就能得出兩位數(shù)乘兩位數(shù)可以分成整十?dāng)?shù)乘整十?dāng)?shù)、兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)和兩位數(shù)乘兩位數(shù)（這里的兩位數(shù)是指非整十?dāng)?shù)的兩位數(shù)），而兩位數(shù)乘兩位數(shù)又可以分為不進(jìn)位和進(jìn)位兩種。學(xué)生憑借學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，可能做到的遷移有：學(xué)習(xí)的先后順序是從易到難——先學(xué)和整十?dāng)?shù)相乘的，再學(xué)不進(jìn)位的，最后學(xué)進(jìn)位乘；整十?dāng)?shù)的關(guān)鍵作用是學(xué)到不進(jìn)位的時(shí)，能想到把非整十?dāng)?shù)看成和它最接近的整十?dāng)?shù)來(lái)乘或者拆成和整十?dāng)?shù)相關(guān)的數(shù)來(lái)乘……學(xué)生今天的遷移源于以往的經(jīng)驗(yàn)積累，以及教師對(duì)文本的智慧處理。教學(xué)新知時(shí)，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生調(diào)動(dòng)自己內(nèi)在的認(rèn)知需求和經(jīng)驗(yàn)，在感知、經(jīng)歷、理解和內(nèi)化的過(guò)程中建構(gòu)自己新的認(rèn)知框架。

總之，“‘關(guān)·聯(lián)’數(shù)學(xué)”就是這樣，基于教和學(xué)的雙邊共生，通過(guò)四個(gè)環(huán)節(jié)的層層推進(jìn)，實(shí)現(xiàn)師生的雙向共學(xué)和素養(yǎng)提升。