指向高階思維發展的數學核心知識教學*
——以蘇教版五上《負數的初步認識》的教學為例

魏光明

【背景】

當下學校教育中出現的學習倦怠、知識危機，在很大程度上是學生對知識的理解不夠深刻、不夠通透與應用難以遷移、不夠靈活造成的。這在一定程度上與課程容量和課堂容量偏多有關。受課堂教學時間的限制和小學生年齡特點、認知規律的影響，我們有必要科學地精簡與重組課程內容，通過核心知識教學引導學生深度學習，促進他們學會思考，學會獨立解決問題，發展能支撐他們終身發展、適應時代要求的關鍵能力，尤其是高階思維能力。

數學教育要為培養未來公民的理性精神和邏輯思維貢獻獨特的學科力量，需要讓學生理解數學基本概念及相關的基礎知識，領會基本概念背后的思考方式，體驗思考方式背后的價值訴求。選擇核心知識展開教學，可以讓學生有時間對信息進行深度加工，主動“創生”和聯結，建構包含事實、概念、方法和價值這四個要素的完整知識，逐漸完善結構化的知識體系，形成科學的認知方式和高階的思維模型，提升獨立思考和應對未來挑戰的能力。

指向高階思維能力發展的數學教學，應該讓核心知識成為一顆顆充滿生長活力的“種子”。在教學中，教師要著眼數學思想方法和知識內在邏輯進行長程設計，為后續教學預留生長接口和聯結通道；要將知識置于真實情境中，并不斷遷移到新的情境中去，在數學與現實世界之間建立關聯；要展開持續探究和思辨互動，重視多元表征、變式識別與雙向建構，幫助學生建立自己的思維框架和思維方式；要與原有知識建立廣泛聯系，不斷完善和擴充認知結構，進而對所學知識形成清晰、正確、精準、關聯、有廣度、有深度、有邏輯、有意義的認知。下面，筆者以蘇教版五上《負數的初步認識》一課的教學為例，來談談怎樣設計和實施指向學生高階思維發展的數學核心知識教學。

【教學設計及意圖】

一、解決問題，初識數學原型

1.教師創設情境：王剛經營一家小微企業，每個月的固定支出包括員工工資5 萬元、各種稅費2 萬元、房租1 萬元、生活（水、電、煤氣等）繳費和其他開支1 萬元。如果公司一月份收入10 萬元，這個月盈利多少萬元？如果二月份收入8萬元呢？

師：想一想，盈利是什么意思？怎樣計算公司的盈利？（不討論，也不指名回答，學生獨立解答）

2.師生交流互動。

（1）學生匯報方法思路與計算結果。

（2）結合情境，教師引導學生比較兩道算式，引出“盈利”與“虧損”這兩個概念。

師：兩道算式的得數都是“1”，聯系減法的意義想一想，這兩個“1”表示的意義一樣嗎？（給學生留下思考的時間）哪里不一樣？

師：第一個“1”表示盈利1 萬元，第二個“1”表示虧損1 萬元。“盈利”和“虧損”是兩個表示相反意義的量。

高階思維產生于真實、復雜的情境。基于真實情境生發而又在不同情境中生長的知識，可以更好地產生遷移。教學新知時，教師應創設貼近學生經驗、承載育人價值、隱含知識原型、統攝更多內容、影響更長進程的真實情境，并在現實情境、學生經驗與即將學習的知識之間建立起關聯。上述教學中，將常用的“溫度”情境更換為“盈利和虧損”情境來引入負數，正是基于這樣的考量。“盈利和虧損”的情境不僅蘊含正、負數的本質，即表示一對相反意義的量，便于學生在后續學習中體會正、負數引入的必然性和合理性，還在于從情境中抽象出的正、負數具有“可以進行運算”的特征，借助事理就可以讓學生感悟有理數的加減運算。此外，在解決問題時激活的數量關系“盈利=收入-支出”可以基于數學邏輯滲透“不夠減”的模型，為學生感悟減法運算的封閉性以及規范表述負數的生活意義埋下伏筆。

二、理解本質，逐步完善概念

1.學生舉例說明。

教師在黑板上記錄學生的答案，然后引導學生進行比較、分析、排除。

師：像“贏利”和“虧損”這樣表示相反意義的量在生活中有許多，請你舉出幾個例子。

師：在這些例子中，哪兩個量不是相反意義的量？

2.建立符號表征。

（1）先要求學生用自己的方法簡潔表征相反意義的量，再呈現學生的不同表征方法。

師：如果要用簡潔的方法記錄兩個相反意義的量，如記錄前面計算出的盈利1 萬元和虧損1 萬元，怎樣記錄可以讓其他人一眼就能區分開來？試一試。

（2）組織交流活動。

師：你能看懂這幾位同學的記錄方法嗎？聽聽他們的介紹。

（3）引導學生比較，再統一正、負數的規范表征方法。

師：最簡潔的方法就是都用1 來記錄，行不行？為什么？哪種方法既簡潔又能區分出相反意義？

師（同步板書要點）：盈利1萬元記作“+1萬元”，+1讀作正一；虧損1萬元記作“-1萬元”，-1讀作負一。

3.初步理解含義。

師：“+1萬元”和“-1萬元”的含義有什么不同？不盈利也不虧損可以用什么數來表示？

師：我們把不盈利也不虧損記作0，把0 看作盈利和虧損的分界線。

當下，一般按照美國教育家布魯姆的教育目標分類，將“分析”“評價”“創造”列為高階思維。事實上，通透的理解和靈活的應用常常伴生高階思維。教學中，讓學生說出更多表示相反意義的量，旨在引導學生回歸現實生活，尋找豐富多樣的背景素材。在對這些素材進行分析、比較、鑒別、分類、剔除錯誤的過程中，引導學生逐漸發現它們之間的異同，進一步認識相反意義的量，能為學生習得與理解正、負數概念提供有力的支撐。在此基礎上，要求學生簡約表示盈虧數據，并組織交流，讓學生理解不同的方法、不同的見解，經歷從個性化的多元表征到規范化的統一表征過程，有助于他們體會用兩種數表示相反意義的量的價值，實現知識的自然“創生”和約定表達模型的意義賦予。筆者重視讓學生體驗用性質符號“+”“-”進行表示的簡潔性與合理性，了解正、負數是性質符號連同后面的絕對值組成的一個整體，認識“不盈不虧”的狀態是一種用來比較和參照的標準（筆者把這里的標準稱為第一重標準），是相反意義的量的天然分界線，可以用0來表示。

4.遷移新的情境。

教師創設情境，學生解讀信息。（1）兩地氣溫：零上20℃和零下20℃；（2）兩地海拔：比海平面高8844.4米和比海平面低155米。

師：科學家們規定水結冰的溫度是0℃，海平面的平均海拔是0 米，你能用正、負數表示兩個城市的溫度和兩個地方的海拔嗎？

師：人們習慣把零上溫度、高于海平面的海拔記作正數，把零下溫度、低于海平面的海拔記作負數。想一想，用正、負數表示溫度的分界線是什么？表示海拔的分界線呢？

具有高階思維能力的學習者在面對新事物、新問題時，知道怎樣學習、怎樣解決問題。在學生初步認識易于理解的相反意義的量以及表示一個數也沒有的天然分界線之后，呈現“溫度”和“海拔”情境，介紹人為規定的參照標準，如水結冰的溫度是0℃。需要指出的是，這里的“0”并非表示沒有，這里的標準有別于前面學習的第一重標準，可以理解為第二重標準。在此基礎上，啟發學生用正、負數來表示位于標準相反方向上的量（也可以說是相反意義的量），認識人為規定的分界線也可以用0 來表示，進一步豐富他們對正、負數內涵的認識。

5.學生練習鞏固。（用情境圖呈現信息）

6.教師描述定義。

師：0 是相反意義的量的分界線，它既不是正數，也不是負數。

知識學習是思維發展的過程與載體。準確把握知識的內涵和外延，建立新舊知識之間的聯系，建構縱橫聯結的認知結構，有利于學生形成科學的思維框架和思維方式。鑒于引入負數安排在初步認識分數、小數之后，教學時，無論是用正、負數去表示相反意義的量進行鞏固練習，還是對正、負數進行描述性定義，均建議覆蓋非0 整數、分數和小數。這樣做，旨在幫助學生準確把握一些數的外延，如正數包括正整數、正分數和正小數，負數包括負整數、負分數和負小數。換一個視角，還可以說整數包括正整數、0 和負整數，分數包括正分數和負分數，小數包括正小數和負小數，為后續科學建立“有理數”的概念以及揭示相關知識的結構提供全面的背景材料。此外，基于充分感悟，揭示正、負數的內涵是表示兩種相反意義的量，可以更好地促進學生在新的情境中表示、解釋、評判和應用。

三、適度延伸，認識“動態標準”

1.學生記錄數據。介紹籃球隊教練選中3名隊員的身高數據（小明身高180 厘米，小紅身高120厘米，小剛身高150厘米），要求學生用記錄單來記錄，并在小組內交流、討論。

2.展示、討論記錄絕對身高的方法（如表1），進一步認識天然存在的靜態分界線。

表1 絕對身高記錄表

師：記錄三人身高的180、120、150 都是正數，在這里是把什么看作0？

3.展示、討論記錄相對身高的幾種方法（如表2～表4），感知并認識人為設置的動態分界線。

表2 相對身高記錄表1

師：小紅的身高怎么變成0 了？小明和小剛的身高又怎么變成60 和30 了？我們還可以把身高多少厘米看作0？另外兩人的身高又可以怎樣表示呢？

表3 相對身高記錄表2

表4 相對身高記錄表3

師：表3 中，小明的身高記為30，小紅的身高記為-30，這是為什么？表4 中，為什么小紅和小剛的身高都用負數來表示？

4.引導學生比較四種記錄方法。

師：同一個人的身高是確定不變的，為什么在四張表中記錄的數據卻是不同的？

師：表2～表4中的0，是不是表示某一個人的身高就是0厘米？

師：有時候，人們可以根據需要選擇一個數量作為標準，規定這個數量為0，再用其他數量與標準進行比較的差來表示其他數量的多少或位置。在表3 中，將小剛的身高記為0，實際上就是將三人的平均身高作為標準。在實際生活和工作中，人們經常會以平均數為標準來記錄一組數據，并進行分析。

具備高階思維能力的學習者在尋求解決新問題的方向、方法和策略時，通常能積極、主動地運用現有知識進行嘗試性探究和深層次分析，以建立新的聯結，甚至“創生”新的知識和工具。事實上，正、負數概念既是上一個探究過程的結果，又是下一個探究過程的起點，始終處于再分析、再思辨、再聯結的過程中。教學中，呈現“標準”不斷變化的“連載式”身高記錄任務，可以支持學生展開持續、深入的探究，支持學生“從頭到尾”地思考，幫助他們形成科學的認知方式和思考方式。在這一環節，讓學生用合適的數表示因為“標準”變化而產生的相對數量，解釋正、負數在具體情境中的含義，可以進一步深化學生對正、負數的理解。在這里，教師要認識變化的“動態標準”，并引導學生感悟和認識這第三重標準。

四、反思比較，深化概念理解

1.豐富0的認識。

師：在前面的學習中，不盈利也不虧損、氣溫0℃、小剛的身高都可以用0 表示。這三個0表示的意義一樣嗎？有什么不同？

師：今天，我們再次認識了0。0 不僅可以表示一個物體也沒有，還可以表示一個標準，作為正數和負數的分界線。所以，人們規定0 既不是正數也不是負數。

2.規范數學表達。

師：“盈利1萬元”和“虧損1萬元”分別用什么數來表示？這里的“-1”是表示“虧損-1 萬元”嗎？

師：想一想，怎樣計算公司二月份的盈利？

師：“-1萬元”可以說成虧損1萬元，也可以說成盈利-1萬元。

師：“-1萬元”在生活中還可以表示什么？

3.引導學生回顧反思。

師：在生活中，你在哪里見過負數？試著說一說它們的含義。

師：通過今天的學習，你對正數和負數有什么新的認識？有什么疑問？還想了解有關正、負數的哪些知識？

師：課后，請同學們思考一個問題，歷史故事里提到的“公元前100 年”能用“-100”表示嗎？

高階思維常常伴隨著對先前學習的綜合、對當前學習的反思以及對未來發展的預測。在這一環節，筆者注重引導學生進行三個方面的反思。其一，先引導學生回顧“標準”的產生過程，挖掘“標準”的本質，認識第一重標準表示沒有，第二重標準是對特定客觀存在的人為規定，第三重標準是可以根據需要動態變化的人為規定；接著引導學生從不同中尋找相同，將三重標準都統一到“0”上去，進一步認識0 是正、負數的分界線，豐富他們對0 的認識。其二，引導學生重新思考“-1 萬元”，知道其在具體情境中的意義是“虧損1 萬元”“支出1 萬元”等。更重要的是，讓學生知道其規范表述是“盈利-1 萬元”，以便于學生借助數量關系“盈利=收入-開支”來感悟“-1”是由“8-9”計算得到，為后續進一步學習有理數的加減運算做好鋪墊。其三，引導學生帶著所學知識回到生活中去，實現生活化和數學化的雙向切換。同時，基于現有知識提出新的問題，牽動學生進行持續探索和深度追問。