二自由度七連桿機器人腿部機構優化設計

羅中華

(上海建橋學院機電學院，上海 201306)

工業機器人產業是中國智能制造領域的突破口和重要抓手，被譽為“制造業皇冠頂端的明珠”，其研發、制造、應用是衡量一個國家高端制造業水平和科技創新能力的重要標志[1-2]。移動機器人是機器人的一種類型，由計算機控制，具有移動、自動導航、多傳感器控制、網絡交互功能等。按運動方式的不同，移動機器人可分為輪式、履帶式和足式機器人等，相比于輪式和履帶式機器人，足式機器人對復雜地形和非結構化環境具有更強的適應性[3-4]。移動機器人廣泛應用于各個領域，在食品領域的應用包括食品加工、包裝、分揀及碼垛。在食品領域機器人中，應用多連桿機構和凸輪機構比較多[5-7]。隨著美國波士頓動力公司設計、制造的系列足式移動機器人的大規模應用，可移動式機器人的發展已進入了新時期。其應用范圍拓展到了軍事、災害救援、地質勘探、核事故搶險、生活服務等領域[8-9]。

多連桿機構廣泛地應用于移動機器人腿部機構，目前已有單腿、雙腿、4腿、6腿和8腿足式機器人[10]。腿部運動機構是機器人實現預定動作及軌跡的關鍵部件之一[11]，有較多學者[12-14]對腿部運動機構的尺寸參數進行了優化設計。但現有移動機器人腿部多連桿機構的優化設計研究不夠完善，主要體現為優化設計的目標函數不夠準確、約束條件不完整等，導致現有優化的多連桿機器人腿部機構足端的實際軌跡曲線與理想軌跡曲線誤差較大。

章永年等[13]對二自由度七連桿(文中稱五連桿機構，實際為七連桿機構)機器人腿部機構進行了研究，優化設計的目標函數是關節電機力矩性能、節電機速度性能、電機的總能耗、五桿總長最小；試驗僅選取了3個機構參數作為設計變量、10個約束條件，根據此約束條件不能保證機器人腿部足端點實現預先給定的理想軌跡曲線。由于沒有給出驅動擺桿的擺動角度范圍以及如何擺動，無法驗證試驗機器人腿部足端點的實際軌跡曲線。

為了使機器人腿部足端的實際軌跡曲線與預先給定理想軌跡曲線盡量重合，試驗擬對章永年等[13]研究的二自由度七連桿機器人腿部機構優化設計進行了適當改進。增加兩個機構角度尺寸參數；設計變量選用全部機構參數以及驅動曲柄ED與x軸的初始夾角αs、驅動搖桿AF與x軸的初始夾角βs和搖桿AF旋轉角度δ等16個參數；目標函數是使足端相對實際軌跡曲線上k個點(優化數例k=72)到足端相對理想軌跡曲線的最小距離的代數和最??；建立包含幾何約束、性能約束和變量的上、下限約束等42個約束條件。以橢圓曲線作為機器人腿部足端相對理想軌跡曲線、驅動搖桿的來回擺動采用STEP運動函數，對二自由度七連桿機器人腿部機構進行優化設計。利用優化的七連桿機器人腿部機構，設計了6足仿真機器人，并采用UG軟件對優化的七連桿機器人腿部機構和6足仿真機器人進行運動仿真。旨在為了驗證七連桿機器人腿部機構優化設計的正確性和應用于6足機器人的可行性。

1 運動公式

七連桿機器人腿部機構如圖1所示[13]。七連桿機器人腿部機構活動構件數n=6、低副數PL=8、高副數PH=0，機構的自由度為2。驅動曲柄為桿DE、驅動搖桿為桿AF。為了便于后面機構優化，坐標原點未放在鉸鏈點上。七連桿機構尺寸參數包括機構的桿長參數l1、l2、…、l7，鉸鏈點A、E的坐標分別為(xA,yA)，(xE,yE)，構件的角度參數θ和φ，以及驅動曲柄ED與x軸的初始夾角αs、驅動搖桿AF與x軸的初始夾角βs和搖桿AF旋轉角度δ。

圖1 七連桿機器人腿部機構圖

設曲柄DE從初始角θ逆時針旋轉α(逆時針方向為正，下同)，則D點坐標為：

(1)

設搖桿AF與x軸的夾角為β(β∈[βS,βS+δ])，則F點坐標為：

(2)

B點坐標為：

(3)

設搖桿DB與x軸的夾角為φ，則有：

(4)

設搖桿DC與x軸的夾角為φ1，則有：

(5)

其中，

C點坐標為：

(6)

H點坐標為：

(7)

設搖桿FH與x軸的夾角為φ2，則有：

(8)

設搖桿FG與x軸的夾角為φ3，則有：

(9)

G點坐標為：

(10)

設搖桿HG與x軸的夾角為φ4，則有：

(11)

I點坐標為：

(12)

2 機構優化設計

2.1 足端理想軌跡曲線

現有文獻[4,14-15]常見的機器人足端理想軌跡曲線有矩形曲線、橢圓、拋物線、擺線(修正擺線)、心形線、組合線段等。這些足端理想軌跡曲線中，有封閉曲線和非封閉曲線兩種。機器人腿部按足端是否與地面有相對運動分為擺動相和支撐相。支撐相的腿部足端相對于地面是靜止不動的，而支撐相腿部機構的其他部位是運動的，從而推動機器人機身向前運動。同時，擺動相的腿足端的絕對運動是機器人機身的牽連運動和足端相對于機器人機身的相對運動的合成運動。按機身是否運動，將機器人腿部足端軌跡曲線分為相對軌跡曲線和實際軌跡曲線。當驅動曲柄旋轉一周，足端相對軌跡曲線一定是一條封閉的曲線，足端實際軌跡曲線一定是一條非封閉的曲線。因此，機器人腿部機構優化設計時，足端理想軌跡曲線應分為相對理想軌跡曲線和實際理想軌跡曲線，足端實際軌跡曲線應分為相對實際軌跡曲線和實際軌跡曲線。

在機構優化設計時，很難求得機器人機身的牽連運動和腿部足端的實際軌跡，因此，對機構優化設計時，足端理想軌跡曲線選用相對理想軌跡曲線。定義機器人左右兩邊、前后同一位置的兩條腿分別為A腿和B腿。當足端相對理想軌跡曲線為橢圓曲線時，并假設上半個橢圓曲線和下半個橢圓曲線準確地分別為擺動相和支撐相，圖2為機器人腿部機構足端的實際理想軌跡曲線。理論上，跨障高度為橢圓短半軸的2倍，機器人單步步長為橢圓長半軸的4倍。但實際上，因為連桿機構基本上不能準確地使上半個橢圓曲線和下半個橢圓曲線分別為擺動相和支撐相，實際步長與理論步長存在一定誤差。

雙點畫線的橢圓曲線為足端的相對理想軌跡曲線；B點為B腿的立足點，實線為A腿足端的實際理想軌跡；A點為A腿立足點，虛線為B腿足端的實際理想軌跡曲線

2.2 優化設計數學模型

2.2.1 設計變數 選取二自由度七連桿機器人腿部機構全部16個參數作為優化設計變數，即

X=(x1,x2,…,x16)T=(l1,l2,l3,l4,l5,l6,l7,xA,yA,xE,yE,θ,φ,αs,βs,δ)T。

(13)

2.2.2 目標函數 二自由度七連桿機器人腿部機構的優化設計的目標是使足端相對實際軌跡曲線盡量與足端相對理想軌跡曲線重合。選用足端相對實際軌跡曲線上k個點到相對理想軌跡曲線的最小距離的代數和最小作為七連桿機構優化設計的目標函數[16]，即

(14)

式中：

di——足端相對實際軌跡上的第i個點到足端相對理想軌跡曲線的最小距離。

2.2.3 約束條件 機構應滿足幾何約束條件和傳動角約束條件。根據七連桿機器人腿部機構尺寸參數，建立二自由度七連桿機器人腿部機構的約束條件為：

lBDmax≤x3+x4，x3≤lBDmin+x4，x4≤lBDmin+x3；

lFHmax≤x2+x6，x2≤lFHmin+x6，x6≤lFHmin+x2；

(15)

式中：

lBDmin、lBDmax——點B與D之間的最小和最大距離；

lFHmin、lFHmax——點F與H之間的最小和最大距離；

γmin——機構的最小傳動角。

設各變量下限值ximin和上限值ximax，變量下限和上限約束條件為：

ximin≤xi≤ximax(i=1,2,…,16)。

(16)

綜上，二自由度七連桿機器人腿部機構優化設計為16個設計變量、42個約束條件的約束優化設計問題。二自由度七連桿機器人腿部機構優化設計的標準形式為：

(17)

2.3 遺傳算法

遺傳算法(GA)是美國Michigan大學John Holland教授1975年首先提出、基于1858年達爾文的自然選擇原理、自然遺傳機制、優勝劣汰和適者生存的生物遺傳和進化的規律而形成的一種隨機搜索優化算法。該算法的主要步驟[17]：

① 隨機產生一組初始個體構成初始群體；

② 計算群體中個體的適應度；

③ 判斷算法收斂準則是否滿足，若滿足則輸出搜索結果并停止運算，否則轉下一步；

④ 選擇運算，按優勝劣汰執行復制操作；

⑤ 交叉運算，按一定的方式進行交叉操作；

⑥ 變異運算，按一定的規律執行變異操作；

⑦ 轉步驟②。

2.4 數例

取足端相對理想軌跡曲線為長半軸100 mm、短半軸40 mm的橢圓曲線，橢圓的中心為坐標原點。機構的最小傳動角γmin=30°，各變量下限和上限取值約束為：30 mm≤l1≤50 mm、20 mm≤l2≤40 mm、30 mm≤l3≤90 mm、120 mm≤l4≤220 mm、15 mm≤l5≤60 mm、100 mm≤l6≤160 mm、140 mm≤l7≤180 mm、10 mm≤xA≤35 mm、220 mm≤yA≤400 mm、10 mm≤xE≤25 mm、200 mm≤yE≤380 mm、120°≤θ≤250°、100°≤φ≤180°、0°≤αS≤360°、210°≤βS≤270°、20°≤δ≤70°，相對實際軌跡上取k=72個點。驅動曲柄采用勻速轉動，即ω=-180°/s，經驅動搖桿分別采用勻速往復擺動和STEP運動函數往復運動對機構進行優化設計，發現STEP運動函數往復運動優化設計效果好，故驅動搖桿采用STEP運動函數[18]，即STEP(time, 0, 0, 1,δ)+STEP(time, 1, 0, 2, -δ)。選用遺傳算法作為優化方法，編寫二自由度七連桿機器人腿部機構優化設計程序。用編寫的優化設計程序求得的七連桿機器人腿部機構的最優解為l1=44.654 mm、l2=38.360 mm、l3=84.848 mm、l4=120.005 mm、l5=44.498 mm、l6=119.231 mm、l7=150.672 mm、xA=10.328 mm、yA=296.586 mm、xE=19.729 mm、yE=355.336 mm、θ=193.475°、φ=134.729°、αs=118.259°、βs=210.128°，δ=42.5304°，f(X*)=29.061 9 mm。優化的七連桿機器人腿部機構運動仿真如圖3所示。驅動曲柄每1°為一個等分點進行仿真，足端最大、最小的x坐標分別為100.035 mm和-100.036 mm，足端最大、最小的y坐標分別為40.005 mm和-40.009 mm，與理想的橢圓的長、短軸半徑的最大相對誤差僅為0.036%。足端的實際軌跡平均每點與理想橢圓軌跡曲線的絕對誤差約為0.40 mm，最大誤差的點的絕對誤差約為1.45 mm。從圖3可以看出，優化的七連桿機器人腿部機構足端相對實際軌跡曲線幾乎完全與相對理想軌跡曲線重合。因此，文中七連桿機器人腿部機構的優化結果是十分理想的。

設A腿和B腿的七連桿機構曲柄相位角相差180°，當A腿和B腿的兩足端的y坐標相等時，兩腿的兩足端與地面接觸，隨后一腿為支撐相，另一腿為擺動相。根據A腿和B腿足端的仿真數據，采用Excel繪制優化的七連桿機器人腿部機構兩腿足端的實際軌跡曲線如圖4所示。由圖4可知，機器人實際步長約為393.9 mm，跨障高度約為80 mm。步長略小于400 mm的主要原因是兩腿足端的y坐標相等時，y不為零(y=6.023 mm)所致。即足端支撐相和擺動相，機構的曲柄不是各轉180°所致。

橢圓曲線為相對理想軌跡曲線、用雙點畫線表示，符號“+” 為機器人腿部足端相對實際軌跡點

實線為A腿足端的實際軌跡曲線，虛線為B腿足端的實際軌跡曲線

3 6足仿真機器人設計

以優化的二自由度七連桿機器人腿部機構尺寸參數為依據，設計了6足仿真機器人。文中所謂仿真機器人是指只考慮運動分析正確性的機器人，而不考慮具體機構的結構設計和提供驅動的動力裝置。6足仿真機器人如圖5所示，其3條腿為一組。將3條腿固定于下機身固定板，如圖5(a)所示，另3條腿固定于上機身固定板，如圖5(b)所示。上、下機身固定板用轉動副連接，使機器人具有轉彎的功能，完整的6足仿真機器人如圖5(c)所示。

圖5 6足仿真機器人

當一組3條腿為擺動相時，上、下機身固定板之間的轉動副相對轉動，使擺動相3條腿的固定板向左或向右轉過一定的角度；當擺動相3條腿變為支撐相時，轉動副再相對轉動，從而實現6足機器人轉彎功能。

A腿和B腿七連桿機器人腿部機構曲柄相位角相差180°，由圖6可知，一組腿完成一個單步步長約400 mm，另一組腿完成一個單步步長約400 mm，與優化設計的單步步長非常吻合，說明6足仿真機器人運動仿真結果可靠。

數字0，400，800表示地板位置尺寸，單位：mm

4 結論

推導了二自由度七連桿機器人腿部機構運動分析計算公式，并建立了二自由度七連桿機器人腿部機構優化設計數學模型；以橢圓曲線作為相對理想軌跡曲線，對具體的二自由度七連桿機器人腿部機構進行了優化設計。優化的七連桿機器人腿部機構足端相對實際軌跡曲線幾乎與相對理想軌跡曲線完全重合，優化結果十分理想，能較準確地實現機器人預定的步長和跨高。試驗機構優化設計追求的是使足端相對實際軌跡與相對理想軌跡盡量重合，而足端實際軌跡與實際理想軌跡盡量重合有待進一步研究。此外，調整兩組腿部機構的曲柄不是相差180°，而是使整個機器人的足端支撐相和擺動相曲柄各轉180°，從而消除用足端相對實際軌跡與相對理想軌跡盡量接近作為目標函數所引起的誤差。