冪函數變換的GM(1，1)模型在高鐵沉降預報中的應用

范少杰

(中國鐵路設計集團有限公司，天津 300251)

高速鐵路施工過程中，沉降監測與預報是鐵路建設、運營、維護的重要環節。高速鐵路施工沉降變形一般隨著時間推移呈規律性變化，利用高精度的預報模型可以為高鐵施工提供可靠的依據。已有許多學者進行了相關研究：甄亞男針對不同區域采用不同模型進行了沉降預報[1]；劉生榮用多項式擬合和GM(1，1)模型進行高鐵沉降預報[2]；周興華等利用雙曲線模型對高速鐵路沉降進行預報，發現其結果與實測數據的變化趨勢基本一致[3]；薛騏等針對沉降預報模型單一、預測結果不穩定等問題，提出采用小波神經網絡進行高鐵沉降預報[4-5]。之后，張松等利用時間序列對地鐵進行短期沉降預報，證明時間序列可以用在短期沉降預報上[6]；陳晨等利用灰色模型和Kalman濾波對初始值進行去噪處理及沉降預報，進一步提高了預測的精度[7-13]。

根據高速鐵路沉降變化的特點，傳統GM(1，1)模型具有一定的局限性：當原始數據觀測值波動較大、光滑度不足時，易出現預測結果誤差浮動較大的問題。由此可見，傳統GM(1，1)模型預測精度取決于初始數據的光滑度[14]。針對這個問題，宋建強在進行貨運量預測時，提出通過冪函數變換提高原始觀測數列的光滑度，以降低其預測誤差[15-16]。

以下結合某高鐵沉降監測數據，將其初始觀測數列進行平滑處理，利用MATLAB編程，對高鐵沉降進行預報，并與傳統GM(1，1)模型預報結果進行對比，以驗證改進模型在高鐵沉降預測中的適用性。

1 灰色理論模型原理與方法

1.1 傳統GM(1，1)模型

首先，給定某一預測對象的非負原始數據列

x(0)(t)={x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)}

(1)

建立灰色預測模型，對x(0)(t)進行一次累加(1-AGO)，生成一次累加序列

x(1)(k)={x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n)}

(2)

建立一個灰色微分方程，即GM(1，1)模型，有

x(0)(k)+α·z(1)(k)=u

(3)

z(1)(k)=0.5·x(1)(k)+0.5·x(1)(k-1)

(4)

其中，k=2，3，…，n；z(1)(k)為緊鄰均值生成序列。

(5)

(6)

yn=[x(0)(2)，x(0)(3)，…，x(0)(n)]T

(7)

將求得的參數α、u值代入時間響應函數，有

(8)

之后，累減還原得到的預測模型為

(9)

上述即為傳統GM(1，1)模型的基本推導過程，對應高鐵沉降預報時，自變量k為沉降監測的期數，應變量x為對應于期數k的沉降量。式(9)為累減還原后的沉降預報結果。

1.2 基于冪函數變換的GM(1，1)模型

針對傳統GM(1，1)模型的缺陷，利用冪函數變換法對模型進行改進，以提高原始數據數列的光滑度，進而降低預報結果的預測誤差。

基于冪函數變換的GM(1，1)模型的建模過程如下。

首先，設原始數據列為

y(0)(t)={y(0)(1)，y(0)(2)，…，y(0)(n)}

(10)

對原始數據進行冪函數變換

x(0)(t)={x(0)(1)，x(0)(2)，…，x(0)(n)}

(11)

其中，x(0)(t)=[y(0)(t)]-a，t=1，2，…，n，0

其次，對x(0)(t)進行一次累加(1-AGO)生成一次累加序列

x(1)(k)={x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n)}

(12)

(13)

(14)

(15)

將求得的參數α、u值代入時間響應函數，有

(16)

累減還原后得到的預測模型為

(17)

最后，將函數還原后即可得到預測數據

(18)

利用冪函數做變換，即可得到改進的GM(1，1)模型，y為高鐵基本初始觀測沉降序列，x為冪函數平滑處理后的沉降序列，k為沉降觀測的期數，式(18)為冪函數還原出的預報沉降結果。

2 實驗分析

某高鐵施工過程中，通過對現場沉降控制點進行監測，得到了各沉降點的變形數據。為檢驗改進模型的準確性和適用性，選擇兩個監測地點的各一組1～15期的監測數據作為基礎數據，分別以GM(1，1)模型和基于冪函數的GM(1，1)模型對16～30期的沉降量進行預報，并且將擬合結果和實際測量值進行對比分析和精度比較。

2.1 第一組數據

原始觀測數據見表1。

表1 原始觀測數據 mm

根據第一組原始觀測數據，利用傳統GM(1，1)模型和冪函數變換的GM(1，1)模型分別進行擬合，可以得到如圖1、圖2所示的結果。

圖1 第一組兩種模型擬合結果

圖2 第一組兩種模型預報結果

根據兩種模型計算出的結果與實測數據，可以得到如表2所示結果。

表2 第一組數據的預測精度對比

根據表2的誤差結果，可以得到如圖3(a)所示誤差變化趨勢，前10期數據中，傳統GM(1，1)模型和基于冪函數變換的GM(1，1)模型得出的擬合值相差不大；從第11期開始，基于冪函數變換改進的GM(1，1)模型的精度較傳統GM(1，1)模型有明顯的提高。傳統GM(1，1)模型的計算值平均誤差為0.088 7 mm，預測中誤差為0.097 3 mm；基于冪函數變換的GM(1，1)模型計算值平均誤差為0.030 4 mm、預測中誤差為0.059 3 mm。相較于傳統GM(1，1)模型，改進模型預測平均誤差僅有其34%，預測中誤差僅有其60%，預測誤差明顯降低。由圖3(b)可以看出，當預測至30期數據時，改進模型的預測值與原模型最大相差0.3 mm。

圖3 第一組模型誤差

2.2 第二組數據

原始觀測數據見表3。

表3 原始觀測數據 mm

根據第二組實驗數據，利用傳統GM(1，1)模型和基于冪函數變換的GM(1，1)模型分別進行擬合計算和預報計算，可以得到如圖4、圖5所示的結果。

圖4 第二組兩種模型擬合結果

圖5 第二組兩種模型預報結果

將兩種模型計算出的結果進行統計(見表4)。

表4 第二組數據的預測精度對比

根據表4的誤差結果，可以得到如圖6(a)所示誤差變化趨勢。傳統GM(1，1)模型的計算值平均誤差為0.020 4 mm，預測中誤差為0.149 7 mm；基于冪函數變換的GM(1，1)模型計算值平均誤差為0.010 7 mm、預測中誤差為0.142 5 mm。由圖6(b)可以看出，針對第二組波動較大的數據，相較于傳統GM(1，1)模型，改進模型預測平均誤差僅有其52%，預測中誤差為原函數模型的95%，預測誤差明顯降低。由此可見，改進模型適用性更好，預測精度更高。

圖6 第二組兩種模型的誤差

3 結論

(1)高速鐵路施工沉降監測預報中，傳統GM(1，1)模型在擬合和預報方面具有其局限性，當原始觀測值波動較大時，會影響其預測精度。

(2)針對GM(1，1)模型擬合和預報時的不足，利用冪函數變換法將初始觀測序列進行平滑處理，可提高GM(1，1)模型的擬合精度、預報精度。