含彈性約束復合阻尼板的振動機理與特性*

艾 振， 黃逸哲， 李 壯， 黃其柏

(1.汽車噪聲振動和安全技術國家重點實驗室 重慶，401120) (2.華中科技大學機械科學與工程學院 武漢，430074)

引 言

目前，基于黏彈性阻尼材料的減振結構主要有自由阻尼結構和約束阻尼結構兩種，前者利用黏彈性材料的拉伸彎曲變形耗能，后者則以黏彈性材料的剪切變形耗能為主[1]。阻尼薄板結構的建模方法主要有解析法和有限元法，解析法適用于對簡單結構、具有規則外形和特殊約束條件對象的建模與求解；有限元法則有效地處理各種結構形式和邊界條件，并得到滿足精度要求的黏彈性阻尼結構的動力學特性數值解。國內外對此進行了廣泛的研究。Wang等[2]使用Kantorovich方法研究了在對邊固支對邊自由邊界條件下局部敷設帶狀約束層阻尼板的動力學特性和響應問題。李恩奇等[3]采用分布參數傳遞函數法研究了對邊簡支約束層阻尼板的動力學特性。Ferreira等[4]通過Carrera統一公式，建立了含黏彈性材料核的夾芯板的分層有限元模型，并求解了頻域動態問題。王慧彩等[5]構造了阻尼夾層板單元，用層合板理論建立了復合板結構的有限元模型。針對阻尼敷設的型式，目前主要有全局敷設和局部敷設，局部敷設能充分發揮單元阻尼的減振降噪作用，提高其耗能效率，更貼合工程實際應用需求。Parthasarathy等[6]研究了局部敷設自由阻尼層板的振動特性、阻尼材料的優化敷設位置。Khalfi 等[7-8]研究了局部約束黏彈性層阻尼板的瞬態響應以及不同參數下的瞬態諧波響應。在復合阻尼層研究方面，楊軒等[9]研究了縫合式復合材料夾芯板，探討了縫合密度和縫合線角度對夾芯板動態特性的影響。漆文凱等[10]針對復合材料層合板的阻尼機理和預報方法進行了分析，采用有限元法編制了相關的模態阻尼計算程序。

區別于傳統的自由阻尼層和約束阻尼層，筆者研究的含彈性約束的黏彈性復合阻尼層(composite damping layer with elastic constraints,簡稱ECCDL)結構由上、下黏彈性層及分界彈性層膠合而成。在振動激勵作用下，其下層黏彈性層將發生剪切應變變形，上層黏彈性層產生拉伸彎曲變形，這種復合阻尼層結構綜合了自由與約束阻尼層的耗能機制，并能夠根據減振降噪需求進行多相材料的組合設計，具有重要的理論和實際意義。

筆者根據含彈性約束的復合阻尼層板結構的振動耗能機理，建立其控制方程、能量方程及動力學模型，并通過數值求解獲取阻尼復合板結構振動耗能特性與規律，為薄板結構阻尼減振降噪提供理論基礎。

1 位移場與控制方程

1.1 幾何與位移

含彈性約束的復合阻尼板如圖1所示，由基板b和復合阻尼層組成，其中復合阻尼層由兩種不同的黏彈性材料層v1，v2及其分界層c黏貼復合而成。為便于描述，自底而上記為：b板，v1板，c板，v2板。復合阻尼層板采取以下假設：①層間完全黏著，界面位移連續；②4層具有相同的橫向撓度(z向位移)；③上、下板剪應力為零，c板為薄金屬層，剛性大，忽略其剪切變形，故b，c，v2板采用Kirchhoff假設；④黏彈性v1層只承受橫向剪切，為充分考慮剪切效應，采用Mindlin板假設。

基于假設，復合阻尼層中，黏彈性v1層剪切耗能，黏彈性v2層拉伸、彎曲耗能，其綜合了約束阻尼、自由阻尼的耗能模式。描述其位移場時，采用各層板內位于中性面上的局部坐標系，均平行于圖1所示的全局坐標系，圖2為寬度方向的截面圖，圖3為板y向的變形圖。

圖1 含彈性約束的復合阻尼板示意圖Fig.1 Composite damping plate with elastic constraints

圖2 寬度向剖面示意圖 圖3 板y向變形圖 Fig.2 Width-to-profile diagram Fig.3 y-directional deformation

建立位移場如下

(1)

(i=b,c,v2)

對于黏彈性v1層

(2)

其中：下標i代表b，c，v2，v1各層板；ui，vi為i板中性面上在x，y方向的位移；w為層合板在z方向上的位移；Ui，Vi，Wi分別為i板內點在x，y，z方向上的位移；αv，βv為黏彈性v1層變形發生在x-z，y-z平面上的截面轉角[11]。

考慮到分界面完全黏著，層間無滑移，各層z向位移相同，故對于v1，v2層由分界面上x，y向位移連續條件可得黏彈性v1層上、下界面位移連續。

(3)

聯立式(1)～(3)，解得

(4)

(5)

剪切應變γxz,γyz為

(6)

黏彈性v2層，下界面位移連續

(7)

聯立式(1)和式(7)，解得

(8)

其中：hi(i=b，c，v1，v2)為各層板的厚度，此處黏彈性v1層的厚度不能為零。

經過上述方程推導轉化，研究對象復合阻尼層板的位移場簡化為由{ub,vb,uc,vc,w}5個場分量控制的位移場。

1.2基于應變能的能量方程

由前述假設和幾何變形可知：b，c和v2板拉伸、彎曲變形時，其應變能為拉伸應變能和彎曲應變能；v1板剪切變形時，其應變能為剪切勢能。設i板的應變列向量為εi，應力列向量為σi，則復合黏彈性阻尼層板的應變勢能U為

(9)

對于b板

(10)

(11)

對于c板

(12)

對于v2板，結合式(8)和式(12)可得

(13)

對于v1板，應變εv1=[γxzγyz]T，應力σv1=Gv1[γxzγyz]T，結合式(6)可得

(14)

其中：Ei為彈性模量；μi為泊松比；Gv1剪切模量。

采用復常模量[12]模型描述v1和v2的黏彈性行為

(15)

其中：ζ為黏彈性材料損耗因子。

板四邊約束，其x，y方向動能較小可忽略，復合阻尼層板的動能T為

(16)

其中：ρi為密度；hi為厚度。

1.3 邊界、位移函數及控制方程

對四邊簡支板，采用假設模態法，取如下滿足全部邊界條件的廣義位移函數[7,13]

(17)

令

則

(18)

其中：Lxb,Lyb,Lxf,Lyf為基板和阻尼層板的邊長度，如圖1所示；m，n為模態指標數[12]；A,B,P,M,N為滿足邊界條件且只依賴空間x，y的位移函數的列向量表示；Γ,Θ,Λ,Ψ,Ω為只依賴時間t的新廣義位移的列向量表示。

控制方程由Lagrange方程得到，定義Lagrange量為L，L=T-U，則研究的物理系統的Lagrange方程為

(19)

其中:qi=Γ,Θ,Λ,Ψ,Ω。

2 四邊簡支板的自由振動解與驗證

結合式(9)～(19)，整理轉化可得廣義坐標下系統的運動微分方程形式

(20)

其中：M為系統質量矩陣；K為包括耗散量的復剛度矩陣。

求解該系統的特征值方程為

(21)

2.1 算例驗證

筆者研究的復合黏彈性阻尼板為4層復合板，采用退化驗證。為了驗證文中公式推導的正確性及解析解的正確性，計算以下兩個算例。

算例1四邊簡支自由阻尼層合板[14-15]。令hc=0,hv2=0，為兩層板，且此時v1層為自由層，拉伸彎曲耗能同前述板v2層，采用類似式(7)的位移連續關系，結合式(9)～(19)類推運動方程求解，此時廣義位移只有{Γ,Θ,Ω}。如圖1所示，yb=0.6 m,xb=0.8 m,hb=3.14 mm,Eb=68.5 GPa,ρb=2 700 kg/m3，μb=0.34。自由阻尼層y1=x1=0，yf=0.6 m，xf=0.8 m，hv1=4.25 mm，Ev1=4.768 MPa，ρv1=1 100 kg/m3，μv1=0.49，ζv1=0.5。表1為本研究計算結果與文獻[14]解析結果、文獻[15]實驗結果的比較。

表1 自由阻尼板計算結果比較

算例2四邊簡支約束阻尼層合板[12]。令hv2=0為3層板,且v1層為約束層，如圖1所示，yb=yf=0.304 8 m，xb=xf=0.348 m，hb=hc=0.762 mm，y1=x1=0，hv1=0.254 mm，ρb=2 740 kg/m3，ρv1=999 kg/m3，ρc=2 740 kg/m3，Eb=68.9 GPa，Gv1=0.869 MPa，Ec=68.9 GPa，μb=μc=0.3，μv1=0.49，ζv1=0.5。表2為本研究計算結果與文獻[12]解析結果的比較。

表2 約束阻尼板計算結果比較

由表1、表2中的計算結果看出，本研究求解得到的頻率、損耗因子與文獻中的計算結果吻合較好，驗證了本研究的機理公式推導與解析計算的正確性。

2.2研究模型計算結果

研究復合阻尼層板，其參數如下。b層(鋁)板：yb=0.3 m，xb=0.4 m，hb=1 mm，Eb=68.9 GPa，ρb=2 740 kg/m3，μb=0.3。復合阻尼層：y1=0.1 m，x1=0.05 m，yf=0.1 m，xf=0.3 m。v1層板：hv1=1 mm，Ev1=2.590 MPa，ρv1=999 kg/m3，μv1=0.49，ζv1=0.5。c層(鋼)板：hc=0.2 mm，Ec=212 GPa，ρc=7 850 kg/m3，μc=0.31。v2層板：hv2=1 mm，Ev2=24 MPa，ρv1=1 200 kg/m3，μv2=0.45，ζv2=0.5。

計算其前5階模態振型，如圖4所示。

圖4 復合阻尼層板振型圖Fig.4 Mode shapes of composite damping laminates

計算3種對比算例：復合阻尼層、經典約束阻尼層和經典自由阻尼層，如圖5所示。其中，控制復合板的基板厚為1 mm，板總厚3.2 mm保持不變。

圖5 對比算例幾何示意圖Fig.5 Geometric sketch of a comparative example

對比計算結果如表3、圖6所示。可以看出復合阻尼層的減振效果遠大于經典自由阻尼層，效果接近經典約束阻尼。復合阻尼層綜合了約束阻尼的剪切耗能和自由阻尼的拉伸彎曲耗能，其減振效果也介于兩者之間。由圖6可看出，模態越高，結構損耗因子減小。其第3階損耗因子特別小，初步分析為復合阻尼層敷設位置的影響。

表3 對比算例板計算結果比較

圖6 不同結構下模態損耗因子對比曲線Fig.6 Contrast curve of modal loss factor under different structures

3 不同參數下的振動耗能變化

設復合阻尼層厚度hf=hv1+hc+hv2，令基板、阻尼層厚度保持不變，研究不同hv1/hv2配比下夾層板耗能變化。夾層板的固有頻率變化甚小，故只討論模態損耗因子的變化。

如表4、圖7所示，隨著比值的增大，每階的模態損耗因子均增大，即復合阻尼層中v1層比重越大，減振效果越好，這也說明了約束阻尼層的減振性能大于自由阻尼層。

圖7 不同厚度比下模態損耗因子對比曲線Fig.7 Contrast curve of modal loss factor under different thickness ratios

表4 hv1/hv2不同比值下的損耗因子

如表5所示，研究復合阻尼層在不同材料參數下的損耗因子可以看出：增大上層v2層材料剛度，阻尼效果越好，即v2層剛度越大，拉伸彎曲耗能更多；對于兩相黏彈性材料，下層v1層材料的變化對整體復合阻尼性能影響最大，其材料的損耗因子越大，減振性能越好。

表5 不同材料參數下的損耗因子

由于敷設位置沒變，第3階模態損耗因子依然很小。進一步分析，在將復合阻尼層的厚度及總面積保持不變的前提下，依據板前5階模態振型形狀，將夾層塊變形、切分敷設在特定位置處。其敷設形狀與對應階模態振型如圖8所示。

圖8 不同敷設形狀位置與對應階模態振型圖Fig.8 Modal shapes of different laying shapes, positions and corresponding orders

表6、表7和圖9、圖10列出了Ⅰ，Ⅴ型敷設下模態頻率與損耗因子計算結果，敷設的形狀位置如圖8所示，可以看出其針對第1階和第5階振型敷設。結合Ⅰ型、Ⅴ型分析，Ⅴ型敷設下第1階模態損耗因子最小，這是因為阻尼敷設位置避開了1階振型變形密集區，1階減振效果差，損耗因子小。Ⅴ型敷設下雖然整體減振效果不佳，但2，3，4，5階模態下減振比重上升。由此可知，在相應模態應變能大的位置敷設阻尼有更好的減振效果，這也為局部敷設阻尼層的結構位置優化提供了一定的支持。

表6 Ⅰ型的模態頻率和損耗因子

表7 Ⅴ型的模態頻率和損耗因子

圖9 Ⅰ型的各階模態損耗因子曲線圖Fig.9 Curves of mode loss factor of type Ⅰ

圖10 Ⅴ型的各階模態損耗因子曲線圖Fig.10 Curves of mode loss factor of type Ⅴ

4 結 論

1) 建立了含彈性約束的復合阻尼板動力學模型，揭示了其剪切和彎曲復合耗能機制，分析了復合阻尼層結構參數與阻尼耗能的特性與規律。

2) 復合阻尼層的減振性能優于經典的自由阻尼層，其性能與彈性約束層的位置有關，隨著彈性層位置的上移，減振性能越好。對于單一黏彈性材料，在其極限位置時復合阻尼層為約束層，減振性能達到最大。

3) 復合阻尼層中彈性層起分層作用，上層材料剛度越大，減振效果越好。對于整體復合層，下層材料對整體阻尼特性影響最大。

4) 復合板的敷設位置影響其耗能效果，基于模態振型，在相應階模態應變能大的位置敷設復合阻尼層具有更好的減振效果。