談談高中學生數(shù)學思維訓練的方法

摘要：學生思維方法的訓練，應從學生的實際出發(fā)，把握學生思維提升的途徑。只有從對學生思維訓練的教學認真做起，才能有效地提升學生的思維能力，提升解決實際問題的能力。

關鍵詞：高中;數(shù)學;思維訓練

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》要求在教學中重視學生學習的過程與方法，注重學生學會自我學習，為學生今后的學習提供基本的思維方法。而在我們實際教學中學生存在的最大問題是相當部分的同學想學卻不知道如何學，也不明白什么是學習最要緊的東西。就我個人的教學經(jīng)驗來看，主要是學習過程中數(shù)學思維方法的訓練不足，太過于注重知識的傳授。其實，數(shù)學思維方法的訓練是數(shù)學教學的重中之重，本人在連續(xù)多年的高三數(shù)學教學中對此深有體會。沒有有效的數(shù)學思維訓練，往往在高考中，只能對做過的題型進行簡單的模仿，而對比較陌生的題目就會出現(xiàn)無從下手的現(xiàn)象。

思維是人腦對客觀事物的本質屬性和內部規(guī)律性間接和概括的反映。數(shù)學思維方法同其他學科的思維方法是有共同之處的，其基本的思維方式也包括分析、比較、分類、抽象、概括、具體化、系統(tǒng)化、判斷、推理等。這些思維方式在平時經(jīng)常出現(xiàn)于我們的題目中，而且平時教學也常常掛在嘴上。但具體如何進行分析、如何進行概括……我們常常不注重這方面的教學，而我們學生的思維障礙卻往往在于此，所以我們教學中思維方法的訓練就顯得十分重要。下面就個人教學中的體會談幾點看法，以期能夠起到拋磚引玉的作用。

一、 訓練發(fā)散性思維，提高數(shù)學思維的靈活性

發(fā)散性思維表現(xiàn)為對一個問題能夠從多方面沿著不同方向去思考得出結論。發(fā)散思維訓練的方法我的觀點是重點提倡研究性學習。學生每遇到一個問題，必須以這個問題為中心，展開自己思維的翅膀去尋求不同的解決途徑。老師在教學過程中，可以運用多種解題思路，從不同的角度和不同的途徑去指導學生探究問題的最終結果，讓學生在一題多解的教學活動中提高自己思維的靈活性。

【例1】已知x，y≥0，x+y=1，求x2+y2的最小值和最大值。

方法一：（函數(shù)觀點）由x+y=1得y=1-x，則x2+y2=x2+（1-x）2=2x2-2x+1=2x-122+12，由于x∈[0，1]，利用二次函數(shù)的開口方向和對稱軸方面的知識，可以得到當x=12時，x2+y2的最小值為12;當x=0或1時，x2+y2的最大值為1。所以函數(shù)方程思想是高中階段最基本的數(shù)學思想方法之一，它可以揭示兩個變量之間的內在聯(lián)系。對于雙變量或多變量的最值問題，我們可以通過變量替代化歸為單變量問題，最后用函數(shù)單調性方面的知識來解決，這是一種很常見的數(shù)學思想方法。

方法二：（三角換元觀點）因為x+y=1，x≥0，y≥0，則可以設x=cos2α，y=sin2α，其中α∈0，π2，則x2+y2=cos4α+sin4α=（cos2α+sin2α）-2sin2αcos2α=1-12（2sinαcosα）2=1-12sin22α=1-12×1-cos4α2=34+14cos4α。于是，當cos4α=-1時，x2+y2的最小值是12;當cos4α=1時，x2+y2的最小值是1。三角換元思想也是高中數(shù)學中常見的數(shù)學思想方法之一，我們可以通過三角換元把問題轉化為三角函數(shù)形式，再利用三角函數(shù)方面的有關知識來解決問題。

方法三：（對稱換元觀點）因為x+y=1，x≥0，y≥0，所以我們可設x=12+m，y=12-m，其中m∈-12，12，那么有x2+y2=12+m2+12-m2=12+2m2，m2∈0，14，所以當m2=0時，x2+y2的最小值是12;當m2=14時，x2+y2的最大值是1。從對稱換元觀點發(fā)現(xiàn)，對稱換元變換后結果非常簡潔，從而我們更容易求出問題的最小值與最大值。

方法四：（基本不等式觀點）因為x+y=1，x≥0，y≥0，則xy≤x+y2=14，可以得到0≤xy≤14，那么x2+y2=（x+y）2-2xy=1-2xy，我們發(fā)現(xiàn)當xy=0時，x2+y2的最大值是1;當xy=14時，x2+y2的最小值是12。我們發(fā)現(xiàn)基本不等式的靈活運用，可以解決部分含有兩個未知量的最值問題，但要注意“一正、二定、三相等”三個方面條件的符合。

方法五：（解析幾何觀點）我們可設d=x2+y2，那么d代表動點P（x，y）到原點O（0，0）的距離，因此我們只要求線段x+y=1x≥0，y≥0上的點到原點的最大和最小距離即可。我們發(fā)現(xiàn)當動點P與A或B重合時，dmax=1，則x2+y2的最大值是1;當OP⊥AB時d的最小值是22，則x2+y2的最小值是12。我們看到幾何觀點和代數(shù)觀點的互相轉化，可以強化學生數(shù)形結合思想的養(yǎng)成和提高，可以讓學生在數(shù)和形的理解上把握好一個很好的思維尺度，能夠使學生由數(shù)想到形，由形想到數(shù)，從而達到快速解決問題的目的。

一題多解的訓練，是數(shù)學課上一種常見的教學方式，它可以引導和啟發(fā)學生從多方面、多角度的去分析、思考同一類問題，引導學生利用知識間的縱橫聯(lián)系，學會從不同角度去思考解決問題的方法以及靈活的思維方式，從而培養(yǎng)和提高學生分析問題和解決問題的能力。

二、 訓練轉化與化歸的能力，培養(yǎng)數(shù)學思維的獨創(chuàng)性

思維的獨創(chuàng)性是指學生在數(shù)學學習活動過程中，能根據(jù)自己的目標和方向展示出來的一種主動的、獨創(chuàng)的、富有新穎特點的數(shù)學思維方式。思維的獨創(chuàng)性是要使學生不受傳統(tǒng)的習慣和思維的禁錮，要跳出一般套路的思維定式。學生在學習過程中要對所學習過的概念、公理、定理、推論、法則、解題方法、解題策略提出屬于自己的觀點、想法，提出合情合理的懷疑和挑剔。在教學過程中，我們會常發(fā)現(xiàn)，學生提出富有個性見解的時候，他們往往會有“思維火花”的閃現(xiàn)。對于思維獨創(chuàng)性的訓練，重點是在于化歸與轉化思想這種能力的培養(yǎng)。也就是指在解決問題時，我們要引導學生從實際出發(fā)，通過分析問題，從中發(fā)現(xiàn)問題與條件的某種內在聯(lián)系或某種內在規(guī)律，把不熟悉、不規(guī)范、復雜的問題，采用一定手段使其化歸與轉化，進而使問題轉化為比較容易解決的、熟悉的、規(guī)范甚至簡單或模式化的問題的一種思路方式。

【例2】已知關于x的一元二次方程x2+mx+n=0有兩個實數(shù)根x1，x2，證明：若|x1|<2，|x2|<2，則 2|m|<4+n，且|n|<4。

證明：∵二次函數(shù)y=x2+mx+n的開口向上，|x1|<2，|x2|<2。所以一定有f（-2）>0，f（2）>0，即4+2m+n>04-2m+n>0，∴2m>-（4+n）2m<4+n，∴2|m|<4+n。又由韋達定理可以得到|n|=|x1x2|<4。

本題我們利用一元二次方程、二次函數(shù)和一元二次不等式三者之間的內在關系，引導學生把一元二次方程的實數(shù)根的問題巧妙地轉化成研究或討論二次函數(shù)圖象與性質的問題，讓學生將轉化與化歸思想貫穿在整個解題過程之中。

三、 訓練抓住事物本質的能力，培養(yǎng)數(shù)學思維的概括性

思維的概括性指的是通過思維活動把同一類事物共同的本質屬性抽取出來，加以概括，或把概括出來的認識推廣到同類現(xiàn)象中去。思維的概括性反映學生對客觀事物內在關系和規(guī)律性的認識。近年來不管是新課程教學，還是在高考的命題方向上都體現(xiàn)了訓練或考查學生思維的概括性這一思維特征。新課程的教學強調過程與方法，這幾年高考數(shù)學應用題的閱讀文字量的大大增加，學生思維的概括性不強是無法應對這類題型的。對于思維概括性的訓練，關鍵是如何引導學生抓住事物的本質。

【例3】設函數(shù)D（x）=1，x為有理數(shù)0，x為無理數(shù)，則下列結論錯誤的是：（A）D（x）的值域為{0，1};（B）D（x）是偶函數(shù);（C）D（x）不是周期函數(shù);（D）D（x）不是單調函數(shù)。

這是狄利克雷函數(shù)，此題看似很簡單，但卻對函數(shù)的定義域、值域、單調性、奇偶性、對稱性等概念的內涵要求頗高，而我們在教學中只在概念的外延上一味地拔高，比如f（x+T）=-1f（x）可推函數(shù)f（x）的周期為2T，經(jīng)常訓練此類題目，而忽視函數(shù)周期性中周而復始的概念的內涵本質，可想而知，對這個選擇題，我們所教的考生能做多好。所以我們在教學中，只有緊緊把握概念教學的深入挖掘，抓住概念的本質，讓每個學生準確的理解和掌握概念的內涵和外延，不管是基礎題還是應用題，甚至能力題，學生都能得心應手地面對。

學生思維方法的訓練，應從學生的實際出發(fā)，把握學生思維提升的途徑。只有從對學生思維訓練的教學認真做起，才能有效地提升學生的思維能力，提升解決實際問題的能力。我們在教學中要根據(jù)不同的教學內容，有目的、有計劃地對學生開展思維訓練，使學生掌握解題的常見思想方法，逐步培養(yǎng)和發(fā)展學生的思維能力，讓學生能夠輕松應對數(shù)學知識的學習，從而使學生的學習能力提高到更高的境界。

作者簡介：

邱愛福，福建省石獅市，福建省石獅市第一中學。