夯實基礎 提升能力

方鑫

“相交線與平行線”是平面幾何的重要內容.這一章里的鄰補角、對頂角、垂直、平行線的性質與判定、命題的真假以及平移不僅是后續深入學習三角形、四邊形等幾何知識的基礎，同時也為同學們積累空間與圖形的活動經驗，提高推理能力提供保障.

一辨析易混概念，抓住本質特征

例1 下列各圖中，∠1和∠2是對頂角的是（）.

解析：兩直線相交形成的四個角中，不相鄰的兩個角為對頂角，故選B.

點評：本題考查了對頂角的定義，熟記概念并準確識圖是關鍵.對于對頂角，它們的頂點是公共的，角的兩邊互為反向延長線.

例2 （2019年衢州）如圖1，直線a，b被直線c所截，那么∠1的同位角是（）.

A.∠2

B.∠3

C.∠4

D.∠5

解析：兩條直線a，b被第三條直線c所截，形成了“三線八角”，在兩條被截線a，b同旁，在截線c同側的兩個角是同位角.故選C.

點評：在兩條被截直線a，b之間，在截線c兩側的一對角稱為內錯角;在兩條被截直線a.b之間，在截線c同側的兩個角稱為同旁內角，

二、掌握幾何說理，發展推理能力

例3 （2019年重慶）如圖2，直線AB∥CD.BC平分∠ABD，∠1：54°.求∠2的度數.

解析：∵AB//CD，

∴ ∠ABC=∠1=54°.

∴ BC平分∠ABD，

∴ ∠ABD=2 ∠ABC=2x54°=108°.

∵ AB//CD，

∴ ∠ CDB+ ∠ABD=180°.

∴ ∠CDB=180°-∠A BD=180°-108°=72°.

∴ ∠2與∠CDB是對頂角，

∴ ∠2=∠ CDB=72°.

點評：平行線的性質很好地把線與線的位置關系和角與角的數量關系聯系了起來.已知兩直線平行時，要利用平行線的性質找角之間的關系，

例4 如圖3，∠1=∠ACB，∠2= ∠3，FH ⊥AB于點H，問：CD與AB有什么位置關系？并說明理由，

解析：CD ⊥AB，

理由：∵ ∠1=∠ACB，

∴DE∥BC.

∴∠2=∠BCD.

∵∠2=∠3，

∴ ∠BCD=∠3.

∴HF//CD.

∴ ∠BHF=∠BDC.

∵ FH⊥AB，

∴ ∠BHF=90°.

∴ ∠ BDC=∠ BHF=90°.

∴ CD⊥AB.

點評：判定兩條直線平行有以下方法：①平行線的定義;②如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行：③同位角相等，兩直線平行;④內錯角相等，兩直線平行;⑤同旁內角互補，兩直線平行.本題綜合考查了平行線的性質與判定，熟記平行線的性質與判定并準確識圖，弄清圖中各角度之間的關系是解題的關鍵，

三、巧添輔助線，平行一線牽

例5 （1）如圖4，若AB//CD，則∠B+∠D=∠E，你能說明理由嗎？

（2）若將點E移至圖5的位置，此時∠B，∠D，∠E之間有什么數量關系？

（3）若將點E移至圖6的位置，此時∠B，∠D，∠E之間的數量關系又如何？

（4）在圖7中，AB∥CD，∠E+∠G與∠B+ ∠F+ ∠D之間有何關系？

解析：（1）過點E作EF//AB，如圖8.

∵ EF//AB，

∴ ∠ B= ∠BEF.

∵ EF//AB，AB//CD，

∴ EF//CD.

∴

∠D= ∠DEF.

∵ ∠BED=∠BEF+∠DEF，

∴ ∠BED=∠B+ ∠D.

（2）∠B+∠D+∠BED=360°.如圖9，過點E作EF//AB.運用“兩直線平行，同旁內角互補”，可得結論.

（3） ∠B= ∠D+ ∠E.如圖10，過點E作EF//AB.運用“兩直線平行，內錯角相等”，可得結論.

（4）∠E+∠G=∠B+∠F+∠D.如圖11，過點E，F，G分別作AB的平行線EM，FN，GH.運用“兩直線平行，內錯角相等”，可得結論.

點評：在求角度或證明角與角的數量關系時，平行線往往能夠起到關鍵性的作用，而作平行線也是一種常見添加幾何輔助線的方法.作平行線常見的方法是過拐點作已知直線的平行線.一般而言，有幾個拐點，就需要作幾條平行線.

例6 如圖12.兩只螞蟻以相同的速度沿甲、乙兩條不同的路線，同時從點A出發爬向終點B，則（）.

A.按甲路線爬的螞蟻先到達終點

B.按乙路線爬的螞蟻先到達終點

C.兩只螞蟻同時到達終點

D.無法確定誰先到達終點

解析：兩只螞蟻的速度相同，要比較時間，可以轉化成比較它們爬的路程，把甲路線的水平線段都向下平移，可以發現剛好和乙路線的水平線段等長.同樣，把甲路線的豎直線段都向左平移，可以發現恰好和乙路線的豎直線段等長.這就說明兩只螞蟻爬的總路程是一樣的，又因為速度相等，所以同時到達終點.故選C.

點評：本題考查了生活中的平移現象.結合圖形，利用平移找出兩只螞蟻所爬路程之間的關系是解本題的關鍵.

例 7如圖13，△DEF是由Rt△ABC沿著直線BC向右平移得到的，如果AB=8 cm.BE=4 cm，DH=3 cm，那么圖中陰影部分的面積為

.

解析：由平移的性質可得DE=A B=8 cm，而DH=3 cm，所以HE=5 cm.因為平移不改變圖形的大小和形狀，所以S△DEf=S△ABC，等號兩邊同時減去重疊部分△HEC的面積，即：

S陰影部分=S梯形ABFH=1/2（HE+AB）·BE=1/2×（5+8）×4=26（cm2）.

點評：本題考查了平移的性質：①平移不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置;②平移前后，對應角相等，對應線段平行（或在同一直線上）且相等，連接對應點的線段平行（或在同一直線上）且相等.此外，當陰影部分面積不方便直接求時，應想辦法進行轉化，轉化時要注意結合平移的性質.

練一練

1.如圖14所示，三條直線AB，CD，EF相交于點O，則∠AOE+∠DOB+∠COF=（）.

A.150°

B.180°

C.210°

D.120°

2.如圖15.如果∠1=∠3，∠2=60°，那么∠4的大小為（）.

A.60°

B.100°

C.120°

D.130°

3.如圖16，直線l1∥l2，若∠1=30°，則

A.150°

B.180°

C.210°

D.240°

4.如圖17，將△ABC沿直線AB向右平移后到達△BDE的位置，連接CD，CE.若△ACD的面積為10，則△BCE的面積為（）.

A.5

B.6

C.10

D.4

5.如圖18，已知∠1+∠2=180°，∠B=∠3，你能判斷∠C與∠AED的大小關系嗎？并說明理由.

參考答案：

1.B

2.C

3.C

4.A

5. ∠ C= ∠AED.理由 ：

∵ ∠1+∠2=180°， ∠1+∠EFD=180°，

∴ ∠2= ∠EFD.

∴ BD//FE.

∴ ∠3= ∠ADE.

∴ ∠B=∠ADE.

∴ DE//BC.

∴

∠AED= ∠C.