直擊考點溫概念 剖析典例理方法

萬志建

同學們在“實數”這一章學習了平方根與立方根，并通過開平方和開立方運算接觸了開方開不盡得到的數，在此基礎上引入了無理數，使數的范圍擴充到實數，對于這個大家庭中的成員，我們以前所學過的有理數四則運算法則以及求絕對值、相反數的方法同樣適用.下面我們圍繞考點，剖析典例，溫習概念，梳理方法，精準答題.

考點一：實數的概念

1.考查有理數與無理數的概念.

例1在實數22/7，√3，π，3√8，0.32中，無理數有（）.

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

剖析：解這類題的關鍵是弄清有理數與無理數的區別.有限小數和無限循環小數都是有理數，它們都可以化成分數的形式.凡無理數都是無限不循環小數，初中常見無理數的四種表現形式：（1）最簡結果中含π（圓周率）的式子;（2）開方開不盡得到的數;（3）無限不循環小數;（4）某些三角函數值（這個以后我們會學到）.特別說明：判斷數的歸屬問題時，要先化簡，再判斷.本題選B.

2.考查絕對值、相反數與倒數的概念.

例2 -2的相反數是____，倒數是______ ，絕對值是______ ，

剖析：這類題屬于基礎題，解題關鍵在于理解概念，尤其是倒數與相反數，兩者不要混淆，對于倒數，若a，b互為倒數，則ab=1.特別說明：0沒有倒數.對于相反數可以從數形兩個角度來識別：若a，b互為相反數，則a=-b;在數軸上，互為相反數的兩個數對應的點關于原點對稱，而某數的絕對值可理解為表示該數的點到原點的距離，因而本題的答案依次為2.一1/2.2.

考點二：平方根與立方根

1.考查概念，

例3（1）求下列各數：①2的算術平方根;②-27的立方根;③√16的平方根.

（2）將（1）中求出的每個數準確地表示在數軸上，將這些數按從小到大的順序排列，并用“<”連接.

剖析：（1）①2的算術平方根為√2;②-27的立方根為-3;③√16的平方根為土2（此處要注意兩層運算，先化簡√16，再求它的平方根）.

（2）先構造邊長為1的正方形，其對角線的長即為√2，然后在數軸上找到與原點的距離為上述對角線長且在原點右側的點，即為√2對應的點，這體現了實數與數軸上的點的對應關系.

各數在數軸上的對應點如圖1所示.

用“<”連接為：一3<一2<√2<2.

例4已知一個正數的兩個平方根分別是3a+2和a+14.求這個正數，

剖析：正數的平方根有兩個，它們互為相反數，由此可得3a+2+a+14=0，解得a=-4，所以原數為100.

例5（原創）已知實數a，b，c滿足（a-√262+√b-5+|c-2√6|=0，那么a，b，c的大小關系是______.

剖析：本題中出現了初中階段常見的非負數的三種表現形式：“絕對值”“平方”和“算術平方根”，由“幾個非負數和為零，每一個非負數都是零”可得a=√26，b=5，c=2√6.在比較大小時要注意方法，這三個數都是正數，而且有的含有根號，可先比較它們平方的大小，再得出原數的大小關系為c

2.考查性質.

例6下列等式正確的是（）.

A.（√3）2=3 B.√（-3）2=-3

C.√3 3=3

D.（一√3）2=-3

剖析：本題考查（√a）2=a及√a2=|a|.在理解這兩個公式時要把握兩點：一是開平方與平方互為逆運算;二是要注意a的取值范圍，前者隱含條件a≥0，后者求算術平方根，必須確保結果非負，所以要加絕對值.本題選A.

3.靈活應用.

例7 （原創）如果實數x滿足|2019-x|+√x-2020=x，那么x-2019²=___________.

剖析：初看此題，很多同學以為是上述例5的套路，但細看非也，已知的式子只含有一個未知數且等號右邊不是0.究竟突破口在哪里呢？我們首先想到的是最好去掉絕對值符號，但去絕對值符號必須知道x的范圍，而題目又涉及求x-2 020的算術平方根，這就隱含了條件x≥2 020，突破口就在此！所以原式可化為x-2019+ √x-2020=x，故√x-2020=2 019，兩邊平方可得x-2 020=2 0192.故x-2 0192=2 020.本題主要考查了被開平方數非負的知識.解題的關鍵在于挖掘題中的隱含條件，

練一練

1.下列說法正確的是（）.

A.4的平方根是±2

B.8的立方根是±2

C.√4 =±2

D.√（-2）2=-2

2.下列對于√29的大小估算正確的是（）.

A.28<√29<30 B.4<√29<5

C.5<√29<6

D.6<√29<7

3.一個正數a的兩個平方根分別是2m-1和一3m+5/2，則這個正數a為___ .

4.代數式√a-1+2的最小值是___ .

5.求下列各式中的x：

（1）2xz-1=9;

（2）（x+1）3+27=0.

6.已知2a-l的算術平方根是3.3a+b-1的平方根是±4，c是√13西的整數部分，求a+2b-c的平方根，

參考答案：

1.A 2.C 3.4 4.2 5.（1）±√5;（2）一4.6.±√6.