一道教材習題的研究與應用

左效平 翟立英

研究教材的習題，有利于我們更好地掌握知識.

在人教版數學教科書七年級下冊第71頁有如下題目：

在平面直角坐標系中選擇一些橫、縱坐標滿足下列條件的點，標出它們的位置，看看它們在第幾象限或哪條坐標軸上：

（1）點P（x，y）的坐標滿足xy>0;

（2）點P（x，y）的坐標滿足xy<0;

（3）點P（x，y）的坐標滿足xy=0.

選擇的意義：

首先，讓同學們挑選自己喜歡的數字，為同學們提供了一次體驗“我的地盤，我做主”的機會.但是，選擇不是盲目的，隨意性的，必須使選擇滿足給定的條件，這樣的選擇才是有效的選擇，這樣的選擇才是有意義的選擇.其次，選擇時要盡量全面，對于數的選擇就要從正數、負數、零三個角度進行全面的選擇，確保接下來的解答更全面、更規范、更科學.

位置的意義：

廣義的位置：用橫坐標、縱坐標確定一個點，確定的是這個點所在的位置.因此，在坐標平面中，確定一個點的位置必須確定點的橫坐標和縱坐標.

狹義的位置：建立平面直角坐標系后，整個坐標平面被兩條坐標軸分成四個獨立的區域，為了描述得簡潔、具體、確切，從右上方的區域開始，把它們按照逆時針的方向依次命名為：

第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.

這樣，平面直角坐標系中的每個點都有其固定的位置.

解法直播：

（1）因為點P（x，y）的坐標滿足xy>0，所以可取x=1，y=1，也可取x=-1，y=-1.

仔細觀察點的位置，不難發現，坐標滿足xy>0的點P在第一象限或第三象限.

（2）因為點P（x，y）的坐標滿足xy<0，所以可取x=1，y=-1，也可取x=-1，y=1.

不難發現，坐標滿足xy<0的點P在第二象限或第四象限.

（3）因為點P（x，y）的坐標滿足xy=0，所以可取x=1，y=0，也可取x=0，y=1，也可取x=O，y=0.

不難發現，坐標滿足xy=0的點P在x軸或），軸上，

解后反思：

確定點的坐標的過程就是確定點的位置的過程，換句話說，確定點的坐標是確定位置的基礎，只要坐標確定了，點的位置就確定了.

一、象限型問題

1.根據坐標定象限.

例1在平面直角坐標系中，點A（8，-6）位于（

）.

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

解析：因為點A的坐標為（8，-6），符號特征為（+，一），所以點A位于第四象限，所以選D.

點評：四個象限的符號特征分別是：第一象限（+，+），第二象限（一，+），第三象限（一，一），第四象限（+，一）.記住各象限內點的坐標的符號特征是解決問題的關鍵.

2.根據象限定坐標，

例2（2019年濟寧）已知點P（x，y）位于第四象限，并且x≤y+4（x，y為整數），寫出一個符合上述條件的點P的坐標

.

解析：因為點P（x，y）位于第四象限，所以x>0，y<0.因為x≤y+4（x，y為整數），所以x是正整數，y是負整數.當x=1時，1≤y+4，此時y的值可以是-1或-2或-3，所以點P的坐標為（1，一1）或（1，-2）或（1，-3）.當x=2時，2≤y+4，此時y的值可以是一1，一2，所以點P的坐標為（2，一1）或（2，-2）.

點評：解答時，要處理好如下幾點：

（1）根據點所在的象限，確定坐標的符號特征：

（2）根據坐標的屬性，分類確定特殊值;

（3）選擇時，務必要滿足給定的條件;

（4）這是一個開放型問題，答案不唯一，只要合理即可.

二、坐標軸型問題

例3 （2019年甘肅）若點P（m+2，2m-4）在x軸上，則點P的坐標是（

）.

A.（4，0）

B.（O，4）

C.（-4，0）

D.（O，-4）

解析：因為點P（m+2，2m-4）在x軸上，所以2m-4=0，解得m=2.所以m+2 =4，所以點P的坐標為（4，0）.所以選A.

點評：解答時，需要注意如下幾點：

（1）熟記x軸上點的縱坐標為0是解題的關鍵：

（2）根據點的坐標特征將求坐標的問題轉化成求一元一次方程解的問題是根本：

（3）靈活運用一元一次方程的解確定橫坐標的值也是解題的一個重要環節.

練一練

1.在平面直角坐標系中，點P（4，2）關于y軸對稱的點的坐標是

.

2.（2019年貴港）若點P（m-1，5）與點Q（3，2-n）關于原點對稱，則m+n的值是（

）.

A.1

B.3

C.5

D.7

3.（2019年棗莊）在平面直角坐標系中，若將點A（1，-2）先向上平移3個單位長度，再向左平移2個單位長度，得到點A，則點A的坐標是（ ）.

A.（-1，1）

B.（-1，-2）

C.（-1，2）

D.（1，2）

4.（2019年巴中）在平面直角坐標系中.若點A （-4，3）與點B關于原點對稱，則點B的坐標為（

）.

A.（-4，-3）

B.（4，3）

C.（4，-3）

D.（-4，3）

參考答案：

1.（-4，2） 2.C3.A4.C