“平面直角坐標系”學習指導

王宗信

學習平面直角坐標系的相關知識，可以幫助我們建立圖形與數量間的聯系，并為幾何問題和代數問題的相互轉化打下基礎.

一、認識有序實數對

人們在乘坐列車或飛機出行時需要購買車票或機票，車票或機票上標明了乘客的具體座位.到電影院看電影需購買進場票，票上明確標出座位在第幾行第幾列（幾排幾號）.同樣，教室里的座位也是用這種方法來描述的，同時我們也知道，在同一個電影院里.3排4號與4排3號不是同一個位置，所以可以用一對有序實數對表示位置，3排4號用有序實數對（3，4）表示，4排3號用有序實數對（4，3）表示，利用有序實數對，可以準確地表示一個位置.

氣象部門用經緯度來描述臺風中心的位置變化，這也是用數量來描述位置變化的.數量與位置之間有著緊密的聯系.

二、平面直角坐標系

用一對數確定一點位置的做法，在日常生活中很常見.在上一章里，我們知道數軸上的點與實數是一一對應的，數軸上每個點都對應著一個實數，這個實數叫作這個點在數軸上的坐標.例如，圖l中，點A在數軸上的坐標是0.6，點B在數軸上的坐標是-1.5.

如圖2.我們可以在平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸，組成平面直角坐標系.水平的叫戈軸或橫軸，取向右為正方向;豎直的叫y軸或縱軸，取向上為正方向.x軸與y軸的交點叫平面直角坐標系的原點.兩條坐標軸的原點必須重合，單位長度可以相同，也可以不相同.

有了平面直角坐標系，平面內的點就可以用一個有序實數對來表示了，例如，在圖3中，由點A分別向x軸和y軸作垂線段，垂足在x軸上的坐標是4，我們把這個數叫作點A的橫坐標;垂足在y軸上的坐標是5，我們把這個數叫作點A的縱坐標.也就是說點A的橫坐標是4，縱坐標是5，有序實數對（4，5）就叫作點A的坐標，注意橫坐標要寫在前，縱坐標要寫在后，順序不可亂.

點的坐標用（a，b）來表示，a表示這個點的橫坐標，b表示這個點的縱坐標，在括號內橫坐標寫在前，縱坐標寫在后，中間用“，”隔開，順序不可隨意更換.用同樣的方法可以確定下頁圖4中點B的坐標是（-2，3），點C的坐標是（-4，一1），點D的坐標是（2.5，-2）.同學們可以發現點E在y軸上，如何確定它的坐標呢？方法是不變的，過點E作x軸的垂線，垂足在x軸上的坐標是O，過點E作y軸的垂線，垂足在y軸上的坐標是-4，所以點E的坐標是（0，-4）.通過作圖找點E的坐標，可以發現y軸上所有點的橫坐標都是0.請同學們思考：x軸上點的縱坐標是多少呢？請在x軸上任取若干點確定它們的坐標，你會有所發現的！

反過來，如果知道一個點的坐標，那么我們可以通過作圖找到這個點，比如已知一個點的坐標是（4，3），我們這樣來找這個點：在x軸上找到坐標為4的點，過這個點作x軸的垂線，再在y軸上找到坐標為3的點，過這個點作y軸的垂線，兩條垂線的交點就是我們需要尋找的點（4，3），即圖4中的點F.

建立平面直角坐標系后，這個平面稱為坐標平面，整個坐標平面被兩條坐標軸分成I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四個部分（如圖5），每個部分稱為象限，x軸正半軸與y軸正半軸所夾部分稱為第一象限，x軸負半軸與，軸正半軸所夾部分稱為第二象限，x軸負半軸與y軸負半軸所夾部分稱為第三象限，x軸正半軸與y軸負半軸所夾部分稱為第四象限.同學們可以結合圖4中B，C，D，F四個點的坐標來發現四個象限內點的坐標的符號，完成表1的填空.

三、利用平面直角坐標系解決簡單的問題

例1如圖6，正方形ABCD的邊長為6，如果以點A為坐標原點，線段AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，那么y軸是哪條線？寫出正方形的頂點A，B，C，D的坐標.

分析：以點A為坐標原點，線段AB所在直線為石軸”：雙向延長線段AB得到直線AB，以點A為原點，以向右的方向為正方向，直線AB為x軸，因為正方形中LDA B=900，所以AD⊥AB，根據平面直角坐標系的定義，可以建立平面直角坐標系，如圖7.

解：建立平面直角坐標系，如圖7，直線AD為y軸.

點A，B，C，D的坐標分別是（0，0），（6，0），（6，6），（0，6）.

請同學們思考：直線BC上點的坐標有什么共同之處？直線CD上點的坐標有什么共同之處？你能得到哪些結論？

請同學們以正方形的對角線交點為原點，邊AD，BC的中點所在直線為x軸，邊AB，CD的中點所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，并寫出正方形的頂點A，B，C，D的坐標，你會有哪些發現？

練一練

如圖8，四邊形ABCD是平行四邊形.

（1）寫出平行四邊形ABCD各個頂點的坐標.

（2）把平行四邊形ABCD向右平移3個單位長度得到平行四邊形A'B'C'D '，請畫出平行四邊形ABC'D，并寫出它的四個頂點的坐標，

參考答案：（1）點A（-3，3），B（-5，-2），C（4，-2），D（6，3）. （2）略.