直角坐標系的傳奇故事

林革

在平面直角坐標系誕生前.代數和幾何作為數學最重要的兩個分支，在很長的時間里各自獨立發展.

直角坐標系通常也叫笛卡兒坐標系，是為了紀念創始人——法國著名哲學家和數學家笛卡兒而命名的.笛卡兒1596年出生于法國安德爾一盧瓦爾省的一個貴族家庭.由于體質孱弱，當8歲的他進入教會學校后，校長特批笛卡兒早晨不用起床出操，可他并沒有把時間用在睡眠上，而是從此養成了早晨躺在床上看書或者思考的習慣.

1612年，16歲的笛卡兒進入巴黎普瓦捷大學，由于接觸到大量哲學和自然科學的書籍，他的思考更加深入和專注，興趣和愛好開始轉向數學.當他以最優成績獲得法學學位后，毅然加入軍隊，決定跟隨扣人心弦的鼓號去周游世界、體驗生活，以便閱讀世界這本大書.

笛卡兒在軍營中一直潛心思考一個看似自然卻異常深奧的問題：代數和幾何獨立發展自成體系，有什么辦法能讓數學的兩大分支結合起來呢？因此如何構造兩者之間橋梁成了笛卡兒日思夜想的內容.于是，就出現了直角坐標系從天而降、由夢而來的傳奇故事，

【版本1】在1619年11月10日這個特殊的日子里，一切看起來與以往沒什么不同.患病請假的笛卡兒還是躺在床上進行思考，主題仍是一直困擾著他的代數和幾何聯系的途徑.就在他絞盡腦汁一籌莫展之時，天花板上一只爬來爬去的蜘蛛無意間引起了他的興趣.這只蜘蛛正忙著在天花板靠近墻角的地方吐絲結網，它忽而沿著墻面爬上爬下，忽而沿著吐出的絲在空中緩緩移動，看著看著，笛卡兒眼睛發亮若有所悟.因為他朝思暮想的問題中，最大的障礙就是如何構造幾何的點與代數的數之間的對應關系，蜘蛛給了他極大的啟發，

不知不覺天色已晚，既疲倦又興奮的笛卡兒帶著焦急而愉快的心情進入夢境，頭腦中卻總浮現著這只懸在半空中的蜘蛛，笛卡兒突然意識到：如果用兩面墻的交線及墻與天花板的交線作為參照系，那么應用長、寬、高上的三個數不就能確定蜘蛛的空間位置了嗎？猛然驚醒的他一下從床上爬起來，在紙上畫了三條互相垂直的直線，分別表示兩面墻的交線及兩面墻與天花板的交線，并用一個點表示空間的蜘蛛.圖形清晰地印證了思路的正確性，只要測出這個點到三個平面的距離，就可以準確標出蜘蛛的空中位置.受此啟發，笛卡兒毫不費力地得出用有序數對（a，b）表示平面上一點P的方法.直角坐標系由此產生.

【版本2】1619年11月10日，笛卡兒隨軍駐扎在多瑙河畔的一個村莊里，兵營中燈火通明，官兵們用美酒歌聲驅散戰爭的陰影.而笛卡兒則早早上床，沉浸在自己的數學世界中.也許是長時間的思考使笛卡兒的頭腦一直處于高度興奮狀態，也許是預示著奇跡的發生，總之，那一夜他做了夢，他夢見自己突然得到了一把金鑰匙，并順利打開一個大門，只見遍地的珍珠絢爛奪目，他忍不住隨手撿起一根珍珠項鏈，突然線斷珠落，轉眼間光華頓失，一切化為虛無.定睛四顧，只見一只黑色的蒼蠅疾飛，在他眼前不斷留下掠過的痕跡：一條條直線和各種形狀的曲線.這時笛卡兒心頭隱隱跳動似要開竅，恰在此時，蒼蠅猛然停住，并在網狀結構中幻化成一個黑點，從夢里一下驚醒的笛卡兒若有所悟，而天花板上一只結網爬行的蜘蛛讓他立刻豁然開朗：用兩面墻的交線及兩面墻與天花板的交線，不是可以確定它的空間位置嗎？

他一骨碌從床上爬起來，在紙上畫了三條互相垂直的直線，分別表示兩面墻的交線和兩面墻與天花板的交線，用一個點表示空間的蜘蛛.這樣.測出這個點到三個平面的距離，就可以準確標出蜘蛛的空間位置點P（如圖1）.類似地，用一組數（a，b）可以表示平面上的一個點，平面上的任一點可以用一對有順序的數來表示（如圖2），這就是直角坐標系的雛形，

【版本3】1619年11月10日，夜色籠罩下的一個夜晚，多瑙河畔的烏爾姆小鎮萬籟俱寂，鎮中扎下的一排軍用帳篷里的士兵們已酣然入睡，只有一個23歲的士兵輾轉反側夜不能寐，他就是正服軍役的笛卡兒，躺著的笛卡兒看著帳篷外的星空，不自覺念叨：滿天繁星像豆子一般雜亂無章，如果用數學方法，怎么表示它們的位置呢？而這正是他一直在思考卻沒有頭緒的問題——幾何與代數的結合途徑.想著想著，笛卡兒進入了夢鄉.

在夢中，排長一把拉起笛卡兒向外拖去，邊走邊說：“你不是整日研究，想用數學來解釋自然和宇宙嗎？我告訴你個妙法，”身不由己的笛卡兒只得任由擺布，只見排長從身后抽出了兩支箭，拿在手里搭成一個“十”字.箭頭一個朝上，一個朝右，他將“十”字舉過頭說：“你看，這交叉的兩支箭把天空平面分成四個部分.假定這兩支箭能射無限遠，天上這么多星星，隨便哪一顆，你只要從那顆星星向這兩支箭上分別引兩條垂線，就會得出兩個數字，這顆星星的位置就被表示得一清二楚了.”

笛卡兒若有所悟，但他還是提出了疑問：“那些抽象的負數，人看不見摸不著，又怎么表示呢？”排長哈哈一笑：“只要將這兩支箭的交叉處定為零，向上、向右是正數，向下、向左不就是負數嗎？比方說，這烏爾姆鎮是交叉點，多瑙河上游是正，下游是負，右岸是正，左岸是負.我們就可以隨時用兩個數表示出來位置了.”

笛卡兒恍然大悟，大叫：“這真是個好主意！”狂喜之間竟一下子跌入河中.當他猛然驚醒時，發現排長正站在他面前大聲嚷嚷：“開拔了，快起床，還在做什么美夢！”笛卡兒待在原地不敢動彈，生怕靈感消失，好在閉目之間夢境依然清晰，他連忙取出紙筆進行記錄，畫出一條橫線為x軸，畫出一條豎線為y軸，又在x軸、y軸上標出許多正負刻度，直角坐標系由此躍然紙上.

以上三個版本，雖然可信度無從考證，但笛卡兒的發現毋庸置疑、令人驚喜，笛卡兒在回憶錄中寫道：“第二天，我開始懂得這一驚人發現的基本原理.”后來，由這樣兩條互相垂直、原點重合的數軸所組成的坐標系，就被人們稱為笛卡兒坐標系，這成為一門嶄新學科——解析幾何的基礎.