正合范疇的整體Gorenstein維數(shù)

郭景閣,王君甫,趙仁育

(1.西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)

(2.常州工學(xué)院理學(xué)院,江蘇 常州 213032)

0 引言

1995年,Enochs和Jenda在文獻(xiàn)[1]中引入了Gorenstein內(nèi)射模和Gorenstein投射模的概念.自此,Gorenstein同調(diào)代數(shù)逐漸被人們所關(guān)注,至今已發(fā)展成一個(gè)比較完整的理論體系.2010年,Bennis和Nahdou在文獻(xiàn)[2]中證明了sup{GpdRM|M是左R-模}=sup{GidRM|M是左R-模},并把這個(gè)值定義為環(huán)R的左整體Gorenstein維數(shù).2004年,Holm在文獻(xiàn)[3]中證明了對(duì)左R-模M,N,如果GpdRM<∞,GidRN<∞,那么對(duì)任意的i≥0,并由此定義了Gorenstein導(dǎo)出函子在文獻(xiàn)[4,5]中Asadollahi和Salarian研究了三角范疇中的Gorenstein同調(diào)理論.2014年,Ren和Liu在文獻(xiàn)[6]中研究了三角范疇的整體Gorenstein維數(shù)和三角范疇中的Gorenstein導(dǎo)出函子.2015年,Wang在文獻(xiàn)[7]中研究了正合范疇中的Gorenstein投射性和Tate上同調(diào).

受以上工作啟發(fā),本文研究正合范疇的整體Gorenstein維數(shù)和正合范疇中的Gorenstein導(dǎo)出函子.全文分為三個(gè)部分:第一部分介紹一些相關(guān)的概念及事實(shí);第二部分證明了在有足夠多投射對(duì)象,足夠多內(nèi)射對(duì)象,有可數(shù)直和及可數(shù)直積的正合范疇A中,sup{GpdM|M∈A}=sup{GidM|M∈A},由此將這個(gè)值定義為A的整體Gorenstein維數(shù);第三部分,證明在有足夠多投射對(duì)象和足夠多內(nèi)射對(duì)象的正合范疇A中,對(duì)任意的M,N∈A,如果GpdM<∞,GidN<∞,那么由此把這個(gè)同構(gòu)意義下唯一的Abel群定義為A中對(duì)象M,N確定的Gorenstein上同調(diào)群.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)A是一個(gè)加法范疇,A中的核-余核對(duì)(i,p)是可合成的態(tài)射使得i是p的核,p是i的余核.令是A中一些核-余核對(duì)構(gòu)成的類.稱A中的態(tài)射i是可許單的,如果存在態(tài)射p,使得(i,p);稱A中的態(tài)射p是可許滿的,如果存在態(tài)射i,使得(i,p).用表示可許單態(tài)射,表示可許滿態(tài)射.

定義1.1[8]設(shè)A是加法范疇,是A中一些核-余核對(duì)構(gòu)成的類,且關(guān)于同構(gòu)封閉.稱是A上的正合結(jié)構(gòu),如果

稱加法范疇A和其上的正合結(jié)構(gòu)構(gòu)成的二元組()為正合范疇,中的元素稱為可許對(duì)或短正合序列.以下將正合范疇()簡(jiǎn)記為A.

稱A中的態(tài)射f:A→B是可許的,如果存在可許單態(tài)射m和可許滿態(tài)射e,使得下圖可交換

稱可許態(tài)射的序列

設(shè)P∈A,稱P是正合范疇A中的投射對(duì)象,如果對(duì)A中的任意短正合序列ABC,Abel群的序列

正合.用P表示A中所有投射對(duì)象的類.稱正合范疇A有足夠多的投射對(duì)象,如果對(duì)任意的M∈A,存在一個(gè)投射對(duì)象P和可許滿態(tài)射PM.

設(shè)A是正合范疇,M∈A.對(duì)象M的投射分解是正合序列···→Pn→···→P1→P0M,其中對(duì)任意的i≥0,Pi∈P,P0M是一個(gè)可許滿態(tài)射.設(shè)M∈A,用pdM表示M的投射維數(shù),定義為:當(dāng)M=0時(shí),pdM=?1;當(dāng)M∈P時(shí),pdM=0;設(shè)n是一個(gè)正整數(shù),若存在短正合序列KPM,使得P∈P,pdK≤n?1,則pdM≤n.用表示A中所有投射維數(shù)有限的對(duì)象構(gòu)成的類.

對(duì)偶地,可以定義A中的內(nèi)射對(duì)象,A中對(duì)象的內(nèi)射分解以及內(nèi)射維數(shù).用I表示A中所有內(nèi)射對(duì)象構(gòu)成的類,用表示A中所有內(nèi)射維數(shù)有限的對(duì)象構(gòu)成的類.

以下總假定A是有足夠多投射對(duì)象和足夠多內(nèi)射對(duì)象的正合范疇.此時(shí),由文獻(xiàn)[8,注12.11],對(duì)任意的n≥0及任意的M,N∈A,Ext群其中PM是M的一個(gè)投射分解,N‰I是N的一個(gè)內(nèi)射分解.

命題1.2設(shè)M是A中的對(duì)象,n≥0,則以下等價(jià)

(1)pdM≤n.

(2)對(duì)任意的N∈A和任意的i>n,.

(3)對(duì)任意的N∈A,.

(4)對(duì)A中的任意正合序列Kn‰Pn?1→···→P0?M,如果P0,...,Pn?1∈P,那么Kn∈P.

證(2)?(3)顯然.

(1)?(2)因?yàn)?pdM≤n,所以存在M的投射分解

因?yàn)閷?duì)任意的i>n,Pi=0,所以.

(3)?(4)設(shè)是A中的正合序列,其中P0,···,Pn?1∈P.從而對(duì)任意的N∈A,由及(3)知所以Kn是投射的.

(4)?(1)設(shè)是M∈A的一個(gè)投射分解,則有正合列由(4)知Kn∈P,所以pdM≤n.

對(duì)A中對(duì)象的內(nèi)射維數(shù)有對(duì)偶的結(jié)論.

2 正合范疇的整體Gorenstein維數(shù)

定義2.1[7]稱A中的短正合序列ABC是HomA(?,P)-正合的,如果對(duì)任意的Q∈P,Abel群的序列

正合.

定義2.2[7]稱正合序列是完全投射分解,如果對(duì)任意的n∈Z,Pn∈P,且短正合序列是HomA(?,P)-正合的.此時(shí),稱Kn是A中的Gorenstein投射對(duì)象.用GP表示A中所有Gorenstein投射對(duì)象的類.

對(duì)偶地可以定義A中的完全內(nèi)射分解和Gorenstein內(nèi)射對(duì)象.用GI表示A中所有Gorenstein內(nèi)射對(duì)象的類.

定義2.3[7]設(shè)M∈A,用GpdM表示M的Gorenstein投射維數(shù),定義為:若M=0,則GpdM=?1;若M∈GP,則GpdM=0;如果存在一個(gè)短正合序列KGM,其中G∈GP,GpdK≤n?1,那么 GpdM≤n.如果對(duì)任意的n≥0,Gpd,那么令GpdM=∞.用表示A中所有Gorenstein投射維數(shù)有限的對(duì)象構(gòu)成的類.

對(duì)偶地可以定義A中對(duì)象的Gorenstein內(nèi)射維數(shù)GidM.用fGI表示A中所有Gorenstein內(nèi)射維數(shù)有限的對(duì)象構(gòu)成的類.

命題2.4設(shè)A是正合范疇.若A有可數(shù)直和,則GP關(guān)于可數(shù)直和與直和項(xiàng)封閉.

證設(shè){Mi}i∈Z是A中的一簇對(duì)象,且對(duì)任意的i∈Z,Mi∈GP,下證⊕i∈ZMi∈GP.因?yàn)镸i∈GP,所以存在完全投射分解

使得對(duì)任意的n∈Z,存在短正合序列Ki,nPi,n?1Ki,n?1,其中Mi=Ki,0.則由文獻(xiàn)[8,命題2.9]知有正合列

由文獻(xiàn) [9,P433]知,對(duì)任意的正合,所以⊕i∈ZPi是完全投射分解,故⊕i∈ZMi∈GP.

下證GP關(guān)于直和項(xiàng)封閉.設(shè)M∈GP，且M=M0⊕M00.令N=M⊕M⊕···.則N=M0⊕M00⊕M0⊕M00⊕···,故N.由文獻(xiàn) [8,引理2.7]知M0M0⊕NN是短正合序列.因?yàn)镚P關(guān)于直和封閉,所以由文獻(xiàn)[7,引理2.2,定理2.4]和文獻(xiàn)[10,命題1.4]知GP關(guān)于直和項(xiàng)封閉.

命題2.5設(shè)A是正合范疇.若A有可數(shù)直和,則對(duì)A中任何一簇對(duì)象{Mi}i∈Z,

證因?yàn)镚P關(guān)于可數(shù)直和封閉,所以≤成立.設(shè)M∈A,下面證明如果M0是M的直和項(xiàng),那么GpdM0≤GpdM即可.

設(shè)GpdM=n<∞,對(duì)n進(jìn)行歸納.當(dāng)n=0時(shí),由命題2.4知M0∈GP,所以GpdM0=GpdM.設(shè)n>0,且假定結(jié)論對(duì)n?1的情形成立.設(shè)M=M0⊕M00,取短正合序列K0G0M0與K00G00M00,其中G0,G00∈P.則由文獻(xiàn)[8,定理12.8]有如下行、列正合的交換圖

由文獻(xiàn)[8,推論11.6]和文獻(xiàn)[7,引理2.2]知G0⊕G00∈GP.因?yàn)镚pdM=n,所以由文獻(xiàn)[7,命題2.7]知Gpd(K0⊕K00)=n?1.因此由歸納假設(shè)知GpdK0≤n?1.故GpdM0≤n.

引理2.6(1)設(shè)G是A中的Gorenstein內(nèi)射對(duì)象,則對(duì)任意的

(2)設(shè)G是A中的Gorenstein投射對(duì)象,則對(duì)任意的X∈,

證只證(1),(2)可對(duì)偶地證明.

(1)設(shè)G是A中的Gorenstein內(nèi)射對(duì)象,則對(duì)任意的i≥0,存在A中的短正合序列GiIiGi?1,其中G0=G,Ii∈I.設(shè)X∈,則有Abel群同構(gòu)

因?yàn)閄的投射維數(shù)有限,所以

命題2.7設(shè)M是A中的對(duì)象.

(1)如果,那么GidM=idM.

(2)如果M,那么GpdM=pdM.

證(1)顯然GidM≤idM.下證GidM≥idM.若GidM=∞,則結(jié)論成立.現(xiàn)設(shè)GidM<∞.若M∈GI,則存在一個(gè)短正合序列M0E?M,其中M0∈GI,E∈I.因?yàn)樗杂梢?.6知因此E～=M0⊕M.因?yàn)镋∈I,所以由文獻(xiàn)[8,注記11.8]知M∈I.

設(shè)GidM>0,則由文獻(xiàn)[7,命題2.7]的對(duì)偶知存在A中的短正合序列MGL,其中G∈GI,idL=GidM?1.因?yàn)镚∈GI,所以存在一個(gè)短正合序列G0EG,其中G0∈GI,E∈I.因?yàn)镋G是一個(gè)可許滿態(tài)射,所以由及文獻(xiàn)[8,命題2.15]可以得到如下行、列正合的交換圖

因?yàn)镋∈I,所以idD≤idL+1=GidM.因?yàn)镸,所以由引理2.6可知因此短正合序列可裂,故idM≤idD≤GidM.

(2)對(duì)偶地可以證明.

命題2.8設(shè)是非負(fù)整數(shù),則以下等價(jià)

(1)GpdM≤n.(2)對(duì)任意的和任意的

(3)對(duì)任意的Q∈P和任意的

(4)對(duì)A中任意的正合序列則Kn∈GP.

證(2)?(3)顯然.(4)?(1)由文獻(xiàn)[7,命題2.7]可知.

(1)?(2)假設(shè)GpdM≤n,則存在A中的正合序列

其中G0,···,Gn是A中的Gorenstein投射對(duì)象.設(shè)L∈,則對(duì)任意的i>0,由文獻(xiàn)[7,引理2.3]知

(3)?(4)考察A中的正合序列

其中G0,...,Gn?1是A中的Gorenstein投射對(duì)象.因?yàn)镚pdM<∞,所以GpdKn<∞,因此有A中的正合序列

引理2.9設(shè)sup{GpdM|M∈A}<∞,則對(duì)任意的非負(fù)整數(shù)n,以下等價(jià)

(1)sup{GpdM|M∈A}≤n.

(2)對(duì)任意的idP≤n.

證由引理1.2的對(duì)偶和命題2.8可得.

定義2.10設(shè)M∈A.稱M是強(qiáng)Gorenstein投射的,如果存在正合序列

其中P∈P,使得短正合序列是HomA(?,P)-正合的,其中f=em.稱P是強(qiáng)完全投射分解.

對(duì)偶地可以定義A中的強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射對(duì)象和強(qiáng)完全內(nèi)射分解.

注2.11對(duì)象M∈A是強(qiáng)Gorenstein投射的當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)短正合序列MPM,其中P是投射的,并且對(duì)任意的

命題2.12設(shè)A是正合范疇,且A有可數(shù)直和(直積),則對(duì)任意的M∈A,M∈GP(M∈GI)當(dāng)且僅當(dāng)M是A中某個(gè)強(qiáng)Gorenstein投射(內(nèi)射)對(duì)象的直和項(xiàng).

證只證Gorenstein投射的情形,Gorenstein內(nèi)射的情形對(duì)偶地可以證明.

必要性設(shè)M是A中的Gorenstein投射對(duì)象,則存在一個(gè)完全投射分解

使得對(duì)任意的n∈Z,存在短正合序列KnPn?1Kn?1,其中Pn?1∈P,M=K0.對(duì)任意的m∈Z,用ΣmP表示這樣的正合序列對(duì)任意的由文獻(xiàn)[8,命題2.9,推論11.6]知有A中投射對(duì)象的正合序列

從而有短正合序列K⊕PiK,M是K的直和項(xiàng).設(shè)L∈P,則由

知HomA(Q,L)正合.因此Q是強(qiáng)完全投射分解,故M是強(qiáng)Gorenstein投射對(duì)象K的直和項(xiàng).

充分性由命題2.4可得.

定理2.13設(shè)A是正合范疇,且A有可數(shù)直和與可數(shù)直積.則

證設(shè)n≥0,且sup{GpdM|M∈A}≤n.下面證明sup{GidM|M∈A}≤n.首先證明若M是A中的強(qiáng)Gorenstein投射對(duì)象,則GidM≤n.設(shè)M∈A是強(qiáng)Gorenstein投射的,則由注2.11知存在一個(gè)短正合序列MPM,其中P∈P.由文獻(xiàn)[8,定理12.8]的對(duì)偶可得如下行、列正合的交換圖

其中Ii是內(nèi)射的,i=0,···,n?1.因?yàn)镻是投射的,由引理2.9知idP≤n,所以由命題1.2的對(duì)偶知C∈I.設(shè)E是A中的內(nèi)射對(duì)象,則由命題2.7知pdE≤n,所以對(duì)任意的i≥n+1,因此由注2.11的對(duì)偶知N是強(qiáng)Gorenstein內(nèi)射的.故GidM≤n.

其次證明對(duì)任意的M∈A,GidM≤n.

設(shè)M∈A,由條件知GpdM=m≤n.下面對(duì)m進(jìn)行歸納.

當(dāng)m=0時(shí),M是Gorenstein投射的.由命題2.12,存在A中的強(qiáng)Gorenstein投射對(duì)象G,使得M是G的直和項(xiàng).由第一步知GidG≤n.由命題2.5的對(duì)偶知GidM≤n.

設(shè)m≥1.由文獻(xiàn)[7,命題2.7]知存在短正合序列KNM,其中N∈GP,GpdK≤m?1.由歸納假設(shè)知GidK≤n,GidN≤n.于是由文獻(xiàn)[8,定理12.8]的對(duì)偶,命題2.8的對(duì)偶和文獻(xiàn)[7,定理2.4]的對(duì)偶知GidM≤n.

對(duì)偶地可證若sup{GidM|M∈A}≤n,則sup{GpdM|M∈A}≤n.故結(jié)論成立.

設(shè)A是有足夠多投射對(duì)象,足夠多內(nèi)射對(duì)象以及可數(shù)直和與可數(shù)直積的正合范疇.令

稱GgdimA為A的整體Gorenstein維數(shù).

3 正合范疇中的Gorenstein導(dǎo)出函子

定義3.1設(shè)M∈A,對(duì)象M的真左Gorenstein投射分解是一個(gè)正合序列

其中每個(gè)Gi∈GP,并且對(duì)任意的i≥0,短正合序列Ki+1GiKi是HomA(GP,?)-正合的,即對(duì)任意的G∈GP,序列

正合,其中K0=M.

定義3.2設(shè)且GM是M的一個(gè)真左Gorenstein投射分解.對(duì)任意的i≥0及任意的N∈A,定義

由比較定理(文獻(xiàn)[8,定理12.4]和文獻(xiàn)[11,P175])知的定義合理.

對(duì)偶地,可以定義A中對(duì)象的余真右Gorenstein內(nèi)射分解,且由文獻(xiàn)[7,命題2.7,引理2.3]的對(duì)偶知A中每個(gè)Gorenstein內(nèi)射維數(shù)有限的對(duì)象都有余真右Gorenstein內(nèi)射分解.于是對(duì)任意的任意的M∈A及i≥0,可以合理地定義.

命題3.3(1)設(shè)A中的對(duì)象M有有限投射維數(shù),則對(duì)任意的N∈A及任意的i≥0,.

(2)設(shè)A中的對(duì)象N有有限內(nèi)射維數(shù),則對(duì)任意的M∈A及任意的i≥0,.

證(1)設(shè)pdM=n<∞,則M有長(zhǎng)度為n的投射分解

設(shè) 0≤i≤n?1,則短正合序列Ki+1PiKi中每一項(xiàng)都有有限投射維數(shù).設(shè)G是A中的一個(gè)Gorenstein投射對(duì)象,用HomA(G,?)作用在上述短正合序列上,由文獻(xiàn)[7,引理2.3]知序列

正合.這表明M的投射分解是M的真左Gorenstein投射分解.故對(duì)任意的N∈A及任意的i≥0,.

(2)對(duì)偶地可以證明.

定理3.4設(shè)M,N∈A.若M的Gorenstein投射維數(shù)有限,N的Gorenstein內(nèi)射維數(shù)有限,則對(duì)任意的i≥0,.

證設(shè)GpdM<∞,則由文獻(xiàn)[7,命題2.7]知M有真左Gorenstein投射分解G?M,且存在A中的短正合序列,其中G0∈GP,pdK1=GpdM?1.設(shè)H是A中的Gorenstein內(nèi)射對(duì)象,則存在A中的短正合序列其中E∈I,H0∈GI.因?yàn)镵1的投射維數(shù)有限,所以由引理2.6知故序列

正合.于是對(duì)任意α∈HomA(K1,H),存在β∈HomA(K1,E),使得α=tβ.又因?yàn)镋∈I,所以序列

正合.故存在γ∈HomA(G0,E),使得β=γf.因此有以下交換圖

令δ=tγ.則δ∈HomA(G0,H),且α=δf.所以

正合.繼續(xù)該過(guò)程可知M的Gorenstein投射分解GM是HomA(?,GI)-正合的.同理可以證明N的余真右Gorenstein內(nèi)射分解NH是HomA(GP,?)-正合的.于是有交換圖

其中除第一行和第一列外,其他行和列均正合.由文獻(xiàn)[11,命題1.4.16]知,對(duì)任意的i≥0,定理證畢.

由定理3.4,對(duì)M,N∈A,若GpdM<∞,GidN<∞,則記

命題3.5設(shè)sup{GidN|N∈A}<∞,M∈GfP,則對(duì)任意的n≥0,下列條件等價(jià)

(1)GpdM≤n.

(2)對(duì)任意的N∈A和任意的i>0,.

(3)對(duì)任意的N∈A,.

(4)對(duì)任意的Q∈P,.

證(1)?(2)?(3)?(4)顯然.下證(4)?(1).

設(shè)Q是A中的投射對(duì)象,由命題2.7知idQ=GidQ.因?yàn)閟up{GidN|N∈A}<∞,所以idQ=GidQ<∞.由命題3.3知. 由命題 2.8 知GpdM≤n.

對(duì)偶地有

命題3.6設(shè)sup{GpdN|N∈A}<∞,則對(duì)任意的n≥0,下列條件等價(jià)

(1)GidN≤n.

(2)對(duì)任意的M∈A和任意的i>0,.

(3)對(duì)任意的M∈A,.

(4)對(duì)任意的E∈I,.