問(wèn)渠哪得清如許,為有源頭活水來(lái)
———電源輸出功率極值的教學(xué)設(shè)計(jì)和思考

◇ 山東 李統(tǒng)軍

物理教學(xué)中知識(shí)的概括、方法的總結(jié)、題型的歸類往往特別重要,而教學(xué)過(guò)程中應(yīng)用一些特殊的結(jié)論,往往可以給解決某些問(wèn)題帶來(lái)極大的方便.但是這樣的結(jié)論往往因?yàn)闆](méi)有注重追本溯源的推演,而很難被學(xué)生熟練掌握和靈活運(yùn)用,因此有必要在教學(xué)中重視“特殊結(jié)論”得出的過(guò)程,以此加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和記憶,進(jìn)而做到熟練靈活運(yùn)用,從而提升學(xué)生的物理學(xué)科核心素養(yǎng).南宋理學(xué)家朱熹有一句詩(shī),“問(wèn)渠哪得清如許,為有源頭活水來(lái)”,說(shuō)的是“要問(wèn)為何水會(huì)這樣清澈,是因?yàn)橛杏啦豢萁叩脑搭^為它源源不斷地輸送活水”.筆者通過(guò)電源輸出功率極值的教學(xué)設(shè)計(jì)和思考,試圖撬開(kāi)源頭活水的一角,讓思維的清泉汩汩長(zhǎng)流.

無(wú)論是新課教學(xué)還是復(fù)習(xí)課教學(xué),教師應(yīng)當(dāng)具備知識(shí)點(diǎn)追本溯源的能力,以此增強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念和公式的理解和記憶.

【教學(xué)片段1】利用閉合電路的能量守恒定律,引出功率的定義.

根據(jù)能量守恒定律,非靜電力做的功應(yīng)該等于內(nèi)外電路中電能轉(zhuǎn)化為其他形式的能的總和,即W＝Q外＋Q內(nèi),所以EIt＝UIt＋I(xiàn)2rt.如果等式兩邊同除以時(shí)間t,可得EI＝UI＋I(xiàn)2r.

由此引發(fā)學(xué)生對(duì)等式兩邊的討論,教師進(jìn)而引入電路中三個(gè)功率的定義,并進(jìn)行相應(yīng)分析.

1)電源的總功率P總＝EI.物理意義：描述電源內(nèi)部非靜電力做功的快慢,也可以理解為提供電路電能的快慢.P總、I成正比關(guān)系,P總-I圖象為過(guò)原點(diǎn)的傾斜直線,圖象斜率k＝E.適用條件：適用于一切電路.

2)電源的輸出功率P出＝UI.物理意義：描述電源外部靜電力做功的快慢,也可以理解為外電路消耗電能的快慢.P出、I并非簡(jiǎn)單的正比關(guān)系,因?yàn)镮的變化會(huì)引起U的變化,當(dāng)無(wú)法直接得出P出的時(shí)候,可以通過(guò)作差法間接得出P出＝EI－I2r.由此引發(fā)學(xué)生的思考,得出這其實(shí)是一個(gè)開(kāi)口向下的二次函數(shù),對(duì)稱軸在I軸正方向.適用條件：適用于一切電路.

3)電源的熱功率P內(nèi)＝I2r.物理意義：描述電源內(nèi)部靜電力做功的快慢,也可以理解為內(nèi)電路消耗電能的快慢.P內(nèi)、I顯然也是二次函數(shù)的關(guān)系,開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為P軸,因?yàn)镮不能取負(fù)值,所以為二次函數(shù)的半支.適用條件：適用于一切電路.

點(diǎn)評(píng)

電路的能量守恒公式是得出功率表達(dá)式的源頭,再與P-I關(guān)系圖象相結(jié)合,更利于功率公式的理解和記憶.

例1某同學(xué)將一直流電源的總功率P總、輸出功率P出和電源內(nèi)部的發(fā)熱功率Pr隨電流I變化的圖象畫(huà)在了同一坐標(biāo)上,如圖1中的a、b、c所示,由圖象可知( ).

A.反映Pr變化的圖象是c

B.電源電動(dòng)勢(shì)為8V

C.電源內(nèi)阻為2Ω

D.當(dāng)電流為0.5 A時(shí),外電路的電阻為6Ω

圖1

解析

a為P總-I關(guān) 系圖象,根據(jù)P總＝EI可得E＝4V.b為P出-I關(guān)系圖象,根據(jù)P出＝EI－I2r可得r＝2Ω;c為Pr-I關(guān)系圖象,再根據(jù)閉合電路歐姆定律可得當(dāng)I＝0.5A時(shí),R＝6Ω,正確答案：A、C、D.

點(diǎn)評(píng)

根據(jù)圖象和表達(dá)式的數(shù)形關(guān)系,再結(jié)合待定系數(shù)法可以求出電源的電動(dòng)勢(shì)和內(nèi)阻.再結(jié)合閉合電路歐姆定律和已知條件,即可求出外電阻的大小.

【教學(xué)片斷2】如何求解電源的輸出功率的最大值?

電源輸出功率何時(shí)最大呢? 要解決這個(gè)問(wèn)題必須從輸出功率的表達(dá)式入手.不同的表達(dá)式會(huì)產(chǎn)生不同的解題方法.

圖2

方法1因?yàn)镻出＝EII2r,所以我們可以應(yīng)用二次函數(shù)最值法求解P出的最大值.根據(jù)P出-I的圖象利用數(shù)形結(jié)合思想不難得出：當(dāng)I＝的時(shí)候,輸出功率取最大值,為.結(jié)合圖2所示電路,根據(jù)閉合電路歐姆定律,當(dāng)R＝r時(shí),電源輸出功率最大.

方法2直接利用P出＝I2R,并結(jié)合閉合電路歐姆定律將電流代入,推導(dǎo)過(guò)程如下：不難看出,分母部分是我們熟悉的基本不等式的形式,當(dāng)且僅當(dāng)R＝r時(shí),輸出功率最大,最大值依然等于

如此可以總結(jié)出電源輸出功率最大的規(guī)律：當(dāng)R＝r時(shí),輸出功率最大,且R可以理解為外電阻的等效總電阻.

點(diǎn)評(píng)

所謂殊途同歸,雖然采用的數(shù)學(xué)方法不同,但是得出的結(jié)論卻是相同的.

【教學(xué)片斷3】規(guī)律的得出無(wú)疑給解題帶來(lái)了很大的方便,當(dāng)外電路結(jié)構(gòu)復(fù)雜,解題難度增大時(shí),是否可以繼續(xù)沿用得出的結(jié)論呢?

例2如圖3 所示,電源電動(dòng)勢(shì)E＝2 V,內(nèi)阻r＝1Ω,電阻R0＝2Ω,可變電阻的阻值范圍為0～10Ω.求可變電阻為多大時(shí),R上消耗的功率最大,最大值為多少.

分析仔細(xì)分析會(huì)發(fā)現(xiàn),本題與我們得出的結(jié)論似乎沒(méi)有直接的聯(lián)系,因?yàn)轭}中要求的是滑動(dòng)變阻器R的最大功率.如果按照正常的思路分析依然可以通過(guò)兩種數(shù)學(xué)方法得出R功率的最大值.但這樣的解題方式太費(fèi)力,而直接應(yīng)用得出的結(jié)論,將會(huì)事半而功倍.

我們可以將電源和電阻R0看成一個(gè)整體,作為一個(gè)等效的新電源,如此可變電阻R的最大功率就轉(zhuǎn)化為等效電源的最大輸出功率了,而等效電源的內(nèi)阻r′＝R0＋r.因此當(dāng)滑動(dòng)變阻器R＝R0＋r時(shí),輸出功率最大,且最大值為

圖3

點(diǎn)評(píng)

采用等效電源的方法,方便而快捷,不需要復(fù)雜的推導(dǎo)驗(yàn)算過(guò)程,有助于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維,加深其對(duì)規(guī)律的拓展和應(yīng)用.可見(jiàn)規(guī)律本身也可以成為求解問(wèn)題的源頭,即可以直接利用結(jié)論求解.

【教學(xué)片斷4】規(guī)律的直接運(yùn)用一般都是有條件的,當(dāng)無(wú)法滿足規(guī)律的條件時(shí),我們又該怎么處理呢?

例3如圖4 所示,E為電源電動(dòng)勢(shì),r為電源內(nèi)阻,R1為定值電 阻 (R1＞r),R2為可變電阻,以下說(shuō)法正確的是( ).

A.當(dāng)R2＝R1＋r時(shí),R2獲得最大功率

B.當(dāng)R1＝R2＋r時(shí),R1獲得最大功率

C.當(dāng)R2＝0時(shí),R1獲得最大功率

D.當(dāng)R2＝0時(shí),電源的輸出功率最大

分析當(dāng)R2＝0 時(shí),電路的電流I最大,根據(jù)P＝I2R1不難得出此時(shí)R1的功率最大.因?yàn)镽2是變量,等效電源法是建立在內(nèi)阻是定值的基礎(chǔ)上推導(dǎo)得出的,所以選項(xiàng) A 正確,選項(xiàng)B 錯(cuò)誤,選項(xiàng)C 正確.根據(jù)已知條件R1＞r,我們發(fā)現(xiàn)無(wú)法滿足R1＋R2＝r的條件,即無(wú)法根據(jù)前面描述的電源輸出功率最大的結(jié)論對(duì)選項(xiàng)D 進(jìn)行分析,那么此時(shí)該如何處理呢? 我們也可以通過(guò)作出P出和外電阻R的關(guān)系曲線進(jìn)行求解.

圖4

作出如圖5 所示的P出-R圖象,不難看出當(dāng)外電阻R無(wú)法達(dá)到與內(nèi)阻r相等的時(shí)候,外電阻和內(nèi)電阻阻值越近,電源的輸出功率越大,這同樣適用于等效電源的處理.由此可以得出選項(xiàng)D 也是正確的.

圖5

點(diǎn)評(píng)

任何規(guī)律的得出都是有一定條件的,如果不能滿足條件,規(guī)律也無(wú)法應(yīng)用,這時(shí)就需要更加細(xì)致地審題,選擇合適的方法解決問(wèn)題,避免思維定勢(shì)的影響.

綜上所述,通過(guò)4個(gè)教學(xué)片斷的設(shè)置,以問(wèn)題鏈的方式,層層深入,不斷加深學(xué)生對(duì)電路功率公式的理解和運(yùn)用;以不同題型的變化,深入淺出,讓電源輸出最大功率的結(jié)論和等效電源法深入人心;再以題目條件的細(xì)微變化,提醒學(xué)生在運(yùn)用規(guī)律時(shí)需要分析是否符合結(jié)論的條件,如果不滿足則需另辟蹊徑,迂回作戰(zhàn).對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)通過(guò)這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)無(wú)論是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解,還是問(wèn)題解決的能力、思維的發(fā)散、細(xì)節(jié)的處理等物理學(xué)科的基本學(xué)科素養(yǎng)都得到了顯著的提升.物理課堂就是需要探尋源頭活水,激發(fā)學(xué)生的潛能,增強(qiáng)學(xué)生的自主探究能力和理解運(yùn)用能力.