基于分?jǐn)?shù)階微分的白平衡水下圖像增強(qiáng)

鄒蔓婷

（四川大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，成都 610065）

0 引言

水是接近于無(wú)色的，但是水下拍攝的圖像會(huì)呈現(xiàn)出藍(lán)色或者綠色，這與光的特性有關(guān)。人類所感知的顏色是由物體反射光的性質(zhì)決定的[1]。在地球表面非水下的部分中，光線的傳播介質(zhì)主要為空氣，然而在水下的部分，光線經(jīng)過的主要介質(zhì)是水。不同于光在空氣中的發(fā)生的均勻吸收和散射[2]，水下環(huán)境特殊的物理和化學(xué)特性嚴(yán)重影響了水下圖像的質(zhì)量，給水下成像帶來(lái)了更多需要被克服的問題。水下圖像總是呈現(xiàn)偏色，如綠藍(lán)色，這是由于紅，綠，藍(lán)光衰減比不同造成的。另外，這些粒子在水下場(chǎng)景反射的光線到達(dá)攝像機(jī)之前，懸浮顆粒水下吸收了大部分的光能，改變了光線的方向，導(dǎo)致圖像對(duì)比度低，失真和模糊。

白平衡算法是經(jīng)典的顏色校正算法，該算法在水下圖像顏色的校正值效果顯著，但是，由于該算法未考慮對(duì)紋理細(xì)節(jié)的增強(qiáng)，校正后的水下圖像存在模糊等問題，本文的研究目標(biāo)是為了進(jìn)一步提高水下圖像質(zhì)量，嘗試將分?jǐn)?shù)階微分的思想與用于水下圖像顏色校正的白平衡算法結(jié)合，利用各自的特點(diǎn)和優(yōu)勢(shì)，在兩種不同的方法之間找到了有利的平衡和折衷，實(shí)現(xiàn)了一種基于分?jǐn)?shù)階微分的水下圖像增強(qiáng)技術(shù)。

圖1 典型水下圖像

通過推導(dǎo)分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)值實(shí)現(xiàn)方法，Pu[3]為分?jǐn)?shù)階微分在圖像處理中的應(yīng)用奠定了工程基礎(chǔ)，并證明和分析了分?jǐn)?shù)階微分在圖像處理中的優(yōu)勢(shì)。Sanjay等人[4]的解釋了一種新的邊緣檢測(cè)算法，它是由分?jǐn)?shù)階微分算子并通過使用分?jǐn)?shù)階傅里葉變換得到的。最近，Pu 等人[5-6]利用分?jǐn)?shù)階微分濾波器對(duì)圖像進(jìn)行增強(qiáng)。構(gòu)造了基于分?jǐn)?shù)階微分的掩模與分?jǐn)?shù)階Retinex框架，證明了分?jǐn)?shù)階在圖像處理中具有更好的增強(qiáng)效果。Yu 等人[7]提出了基于八個(gè)方向的分?jǐn)?shù)階微分的紋理增強(qiáng)方法。Sridevi 和Kumar[8]利用基于Caputo 定義的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)對(duì)圖像進(jìn)行增強(qiáng)。

Saadia 和Rashdi[9]介紹了一種自適應(yīng)的圖像增強(qiáng)技術(shù)，自動(dòng)選擇每個(gè)像素的分?jǐn)?shù)階。該方法在梯度幅值大、階數(shù)小的情況下，選擇較高的分?jǐn)?shù)階。高朝邦等人[10]將分?jǐn)?shù)階微分算子應(yīng)用于四元數(shù)，對(duì)分?jǐn)?shù)階微分算子進(jìn)行了推廣，并開發(fā)了一套掩膜，稱為四元數(shù)分?jǐn)?shù)階微分算子（QFD）。

與整數(shù)階算子不同，由于分?jǐn)?shù)階微分算子特有的弱導(dǎo)性，在對(duì)信號(hào)高頻信息進(jìn)行提升的同時(shí)，相比于整數(shù)階微分算子，可以保留更多的低頻信息，因此，在保存圖像紋理細(xì)節(jié)方面有著獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。在此基礎(chǔ)上本文提出了一種改進(jìn)的基于分?jǐn)?shù)階微分的白平衡水下圖像增強(qiáng)方法。將增強(qiáng)一幅水下圖像主要有兩個(gè)步驟。①求取基于分?jǐn)?shù)階微分算子增強(qiáng)的水下圖像；②將增強(qiáng)后的水下圖像進(jìn)行白平衡校正。能夠極大地提高水下圖像的對(duì)比度和清晰度，而且算法的復(fù)雜度低、運(yùn)行速度快。

1 白平衡算法

白平衡是數(shù)碼相機(jī)處理中的重要步驟，在數(shù)碼相機(jī)中用于在各種照明條件下調(diào)整像素的顏色。當(dāng)使用不同光源進(jìn)行照明時(shí)，設(shè)備會(huì)從同一物體上采集到的白色，由于色溫的影響，圖像的顏色會(huì)有很大差異[11]。色溫是溫度的單位。與認(rèn)知中的冷色和暖色不同，紅色的色溫最低，藍(lán)色的色溫最高。例如，在晴朗的藍(lán)天下拍攝物體時(shí)，由于色溫較高，圖像看起來(lái)會(huì)更冷[12]。對(duì)于同一被攝對(duì)象，由于在黃昏拍攝時(shí)色溫較低，因此圖像看起來(lái)較暖。白平衡算法是基于色溫的對(duì)顏色進(jìn)行校正的方法。該算法是基于Von Kries 模型開發(fā)的，并且通過更改每個(gè)通道的色彩增益來(lái)進(jìn)行色彩校正，如以下公式所示：

式中，L、M、S 表示色彩的初始值，kL、kM、ks分別為L(zhǎng)、M、S 的增益系數(shù)。通常，取RGB 顏色空間中的三個(gè)顏色通道作為公式（1）中的初始值，可得：

根據(jù)確定增益系數(shù)的方式，出現(xiàn)了許多不同的白平衡算法。目前常用的白平衡算法有Gray World、max-Gray、shades of Gray 和 Gray Edge 算法。

1.1 Gray World算法

該算法基于灰色世界假設(shè)，該假設(shè)認(rèn)為在一幅彩色圖像中，其RGB 三個(gè)通道灰度的平均值趨近于同一個(gè)值從物理的角度可以描述為，灰度世界假設(shè)物體反射光線的均值是固定的，這個(gè)值就是“灰色”。一副彩色圖像的RGB 均值就是這個(gè)相等的“灰色”。可以表示為：

通過增益系數(shù)均衡紅色（R）、綠色（G）和藍(lán)色（B）通道的平均值實(shí)現(xiàn)對(duì)顏色的校正。由式（2）可知，顏色校正后的圖像可以表示為：

1.2 max-Gray算法

max-Gray 算法基于White Patch 假設(shè)。該假設(shè)認(rèn)為，如果圖像中包含白點(diǎn)或者白色區(qū)域，由于白色可以反射物體的光照，那么，RGB 分量中最大的值將被作為該分量的光照顏色。用公式可以表示為：

式中，f(X) 表示圖像的像素點(diǎn)，e 表示光照，k 表示校正光照的常數(shù)。根據(jù)上式可以計(jì)算出RGB 三通道各自的最大值Rmax、Gmax、Bmax。增益系數(shù)可以表示為：

該算法最大的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)單效率高，但是由于該算法是基于圖像中包含白色區(qū)域，當(dāng)圖像未包含白點(diǎn)或者白色區(qū)域時(shí)，算法就顏色校正效果并不明顯。

1.3 Shades of Gray算法

該算法是在Gray World 算法中引入了閔可夫斯基距離（Minkowski Distance），用閔氏距離代替灰度世界算法中簡(jiǎn)單求均值的方法。可以表示為：

特別地，當(dāng)p 的取值為1 時(shí)，上式表示灰度世界算法；但p 的取值為∞時(shí)，上式表示Max-Gray 算法，等價(jià)于求f(X)的最大值；當(dāng) p 的取值在（1,∞）時(shí)，就是常規(guī)的Shades of Gray 算法。Finlayson 等人證明了當(dāng)p的取值為6 時(shí)，該算法效果最好。

1.4 Gray Edge算法

該算法是一種更通用的白平衡算法，基于自然界所有物理表面的平均反射差分是固定的假設(shè)，同樣基于閔氏距離，兼容了上述算法。可以表示為：

式中，fσ(X)=f?Gσ，表示圖像與高斯濾波Gσ的卷積表示對(duì) X 求導(dǎo)運(yùn)算，選擇不同的n,p,σ參數(shù)，可表示上述不同的算法。

該類算法原理簡(jiǎn)單，通過利用圖像的統(tǒng)計(jì)特征來(lái)學(xué)習(xí)光源的特性，非常快速，而且算法適用性強(qiáng)，但是存在的問題是，它是在灰色世界假設(shè)的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，所以有時(shí)應(yīng)用受到限制，應(yīng)用效果不是很好。

2 分?jǐn)?shù)階微分?jǐn)?shù)學(xué)基礎(chǔ)

2.1 分?jǐn)?shù)階微積分的基本定義

分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)（Fractional derivatives）有很多定義方式，常用的定義方式有 Grünwald-Letnikov、Riemann-Liouville 和 Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)等[13]。

（1）Grünwald-Letnikov 定義：

式中，G 表示 Grünwald-Letnikov，v 表示階數(shù)，a 是時(shí)間t 的初值。

（2）Riemann-Liouville 定義：

（3）Caputo 定義：

式中，Γ（*）表示伽馬函數(shù)。Grunwald-Letnikov 定義和Riemann-Liouville 定義都是由整數(shù)階微積分直接拓展而來(lái)的，對(duì)一般的函數(shù)而言，G-L 與R-L 定義是等價(jià)的。Caputo 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義主要側(cè)重于非零初值，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)含有更豐富的信息量，而Grunwald-Let?nikov 微積分定義更適合于數(shù)值計(jì)算，所以本文將采用Grunwald-Letnikov 定義，將基于分?jǐn)?shù)階微分應(yīng)用在水下圖像增強(qiáng)中。

2.2 分?jǐn)?shù)階掩膜

根據(jù)R-L 定義式，可以推導(dǎo)出一元信號(hào)分?jǐn)?shù)階積分的差分表達(dá)式為：

由上式可知，差分方程的前n 項(xiàng)系數(shù)為：

由于數(shù)字圖像是二維離散的信號(hào)，要構(gòu)造出二維圖像分?jǐn)?shù)階微分的數(shù)值實(shí)現(xiàn)算法，首先，必須了解分?jǐn)?shù)階微分對(duì)信號(hào)的作用規(guī)律[14]。

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像的微分操作，把微分公式擴(kuò)展到二維，分別從八個(gè)方向?qū)D像進(jìn)行計(jì)算。構(gòu)造Tiansi掩膜算子，如表1 所示。

表1 分?jǐn)?shù)階微分掩膜算子

這里，分別給出了3×3 大小的分?jǐn)?shù)微分模板和分?jǐn)?shù)Tiansi 算子模板（即5×5 分?jǐn)?shù)微分掩模算子）。如表2-表 3 所示。

表2 3×3 分?jǐn)?shù)階微分模板

表3 分?jǐn)?shù)階微分Tiansi 算子模板

信號(hào)函數(shù)f(t)∈L2(R)的傅里葉變換可以表示為：

f( )t的整數(shù)n 階導(dǎo)數(shù)可以定義為：

將上式中的整數(shù)n 階推廣到分?jǐn)?shù)v 階，其分?jǐn)?shù)v階導(dǎo)數(shù)f(v)(t)(v∈R+)，根據(jù)傅里葉變換的性質(zhì)有：

式中，w表示頻率，w?( 0,1) 表示低頻，在圖像中表示紋理細(xì)節(jié)變化不明顯的部分；w＞1 表示高頻，在圖像中表示邊緣或者灰度變化明顯的區(qū)域。根據(jù)公式（12）、（14）可繪制分?jǐn)?shù)階微分幅頻特性曲線和二維圖像分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階微分對(duì)比，如圖2 和圖3 所示。

圖2 分?jǐn)?shù)階微分算子的幅頻特性

圖3 二維圖像分?jǐn)?shù)階與整數(shù)階微分對(duì)比

由圖可見，當(dāng)微分算子階次為0 時(shí)，微分算子并不改變信號(hào)。除0 階外，分?jǐn)?shù)階和整數(shù)階微分算子都對(duì)信號(hào)進(jìn)行了增強(qiáng)，且增強(qiáng)幅度隨頻率和階數(shù)非線性增加。一階與二階微分算子都可以增強(qiáng)信號(hào)，二階相比于一階，雖然低頻信號(hào)的增強(qiáng)幅度很弱，但高頻信號(hào)的增強(qiáng)幅度非常明顯。在w?( 0,1) 的低頻部分，分?jǐn)?shù)階微分算子具有比整數(shù)階（v=1,2）更高的信號(hào)提升幅度，由圖3 可知，在二維圖像中保留了更多的紋理細(xì)節(jié)；在w＞1 的高頻區(qū)域，分?jǐn)?shù)階微分算子雖然略低于整數(shù)階微分算子，但也可以對(duì)信號(hào)幅度進(jìn)行改善。由此可以看出，分?jǐn)?shù)微分算子具有弱導(dǎo)數(shù)性質(zhì)，不僅對(duì)中高頻信號(hào)的幅度進(jìn)行了增強(qiáng)，也保留了信號(hào)的低頻部分。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

上一節(jié)本文介紹了分?jǐn)?shù)階微分弱導(dǎo)性，對(duì)圖像的低頻信號(hào)有較好的提升效果，因此本文分別采用3×3、5×5、7×7 的分?jǐn)?shù)階掩模算子對(duì)水下圖像進(jìn)行增強(qiáng)，經(jīng)過實(shí)驗(yàn)對(duì)比，選擇V=0.3 和0.5 階時(shí)對(duì)水下圖像增強(qiáng)處理是最有效的。

圖4 左側(cè)是原始圖像與放大后的局部信息，右側(cè)是經(jīng)過大小為5×5、0.5 階微分處理后的圖像，可以看出水下圖像出現(xiàn)了更多的紋理細(xì)節(jié)，放大后，像素點(diǎn)更密集，證明了分?jǐn)?shù)階微分在水下圖像中的增強(qiáng)效果。

圖4 原始圖像與分?jǐn)?shù)階微分圖像

通過對(duì)本文提及的白平衡算法進(jìn)行仿真，雖然，上述白平衡方法能在一定程度上恢復(fù)色偏問題，對(duì)水下圖像的對(duì)比度都頗有改善，但是校正后的圖像還是模糊并且亮度較低。因此本文將采用改進(jìn)的白平衡算法對(duì)水下圖像進(jìn)行增強(qiáng)，圖5 是上述算法對(duì)經(jīng)典水下圖像的處理結(jié)果。

圖5 白平衡算法對(duì)比圖

原始圖像具有典型水下圖像的特征，光在水中發(fā)生吸收和散射，出現(xiàn)色偏和模糊的問題。經(jīng)過Gray World 算法校正后顏色偏藍(lán)；max-RGB 算法顏色校正效果不明顯，并且處理后的圖像模糊程度加劇；Shades of Gray 處理效果與Gray World 算法接近，校正后的圖像偏藍(lán)色調(diào)。Gray Edge 算法提升了水下圖像的亮度，校正后圖像顏色任然呈現(xiàn)藍(lán)綠色。經(jīng)過大量試驗(yàn)，在水下圖像中使用大小為5×5，0.5 階的掩膜算子對(duì)圖像進(jìn)行預(yù)處理，再進(jìn)行白平衡算法，水下圖像的對(duì)比度大大提升，并且圖像呈現(xiàn)出更多的紋理細(xì)節(jié)，主觀上看可以獲得更好的水下圖像顏色校正效果，由此可知，本文改進(jìn)的白平衡算法更適用于對(duì)水下圖像進(jìn)行色彩的校正。

為了進(jìn)一步證明分?jǐn)?shù)階微分掩膜在水下圖像上的增強(qiáng)效果，本文選取信息熵以及無(wú)參考的水下圖像質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)UCIQE 和UIQM 進(jìn)行對(duì)比。其中，信息熵越大，圖像包含的信息越多；對(duì)比度越強(qiáng)，物體的細(xì)節(jié)越清晰；UCIQE 和UIQM 的數(shù)值越大，水下圖像的增強(qiáng)效果越好。采用MATLAB R2017b，Windows 10 計(jì)算上述圖像評(píng)價(jià)指標(biāo)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表4 所示。

表4 本文算法與經(jīng)典白平衡算法的質(zhì)量評(píng)價(jià)對(duì)比

實(shí)驗(yàn)結(jié)果（見表4）表明基于分?jǐn)?shù)階微分的白平衡算法處理后的水下圖像的UCIQE、UIQM 和信息熵指標(biāo)均有所提升。證明了此方法可以有效地提升水下圖像的紋理細(xì)節(jié)，使水下圖像的色彩信息更加豐富，同時(shí)能有效地改善水下圖像色偏問題，顏色逼真更符合人眼的視覺效果。

4 結(jié)語(yǔ)

在充分考慮了水下環(huán)境的特殊性后，本文介紹了經(jīng)典的白平衡算法，對(duì)該算法結(jié)合分?jǐn)?shù)階微分的思想進(jìn)行改進(jìn)，根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分的G_L 定義式，推導(dǎo)出分?jǐn)?shù)階掩膜算子，將分?jǐn)?shù)階微分算子構(gòu)造的掩膜應(yīng)用于水下圖像增強(qiáng)中，與傳統(tǒng)的水下圖像增強(qiáng)方法進(jìn)行了比較，通過實(shí)驗(yàn)該證明了分?jǐn)?shù)階微分算子在水下圖像增強(qiáng)中的優(yōu)勢(shì)，基于分?jǐn)?shù)階微分的白平衡算法對(duì)顏色的校正有更好的效果，既保留了圖像的紋理細(xì)節(jié)，提高了圖像的對(duì)比度，也改善了水下圖像偏藍(lán)偏綠的問題，得到了良好的水下圖像增強(qiáng)結(jié)果。證明了分?jǐn)?shù)階微分算子可以在水下環(huán)境中保留更多的紋理細(xì)節(jié)，對(duì)水下圖像增強(qiáng)算法具有非常重要的意義。