多變量函數(shù)問題解題策略研究

李建華

摘要：高考中對函數(shù)問題的綜合考查常以壓軸題出現(xiàn)，綜合考查學生的數(shù)學思想和數(shù)學能力，但又不外乎考查函數(shù)單調(diào)性、極值、函數(shù)零點和最值、不等式恒成立及證明函數(shù)不等式問題等常見題型，在這些題型中卻又經(jīng)常會涉及雙變量或多變量函數(shù)問題，對于這類問題，考生往往不知如何入手，有些考生做過相關(guān)練習，但只要條件一變，又會無從下手，針對此，特精心挑選了幾個典型例題進行講解、歸納、對比，從中歸納出兩種有效的常用解題策略及途徑。

關(guān)鍵詞：輪換;同構(gòu);非同構(gòu);構(gòu)造

中圖分類號：G4 文獻標識碼：A ?文章編號：1003-9082（2020）07-00-01

函數(shù)是整個高中數(shù)學的核心，貫穿于整個高中數(shù)學教材，也是高考重點考查的知識點之一，既有主觀題，也有客觀題，客觀題更是以壓軸題的形式出現(xiàn)，通過對函數(shù)知識的考查來考查學生的數(shù)學思想和數(shù)學能力。但主要題型還是函數(shù)單調(diào)性、極值、零點和最值，不等式恒成立和證明不等式問題，對于這些問題中的常見題型，學生一般都掌握得不錯，但對于雙變量或多變量問題，學生大都能聽懂但不能掌握，特挑選以下例題做一分析對比總結(jié)，希望對考生有所幫助。

題型一、同構(gòu)式變形構(gòu)造新函數(shù).就是將不同的變量放入了同一個關(guān)系式，但可將這個關(guān)系式視為一個函數(shù)，關(guān)系式與變量大小之間的關(guān)系靠函數(shù)的單調(diào)性進行聯(lián)結(jié)，實現(xiàn)了將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性問題。

例1;已知函數(shù)，x∈（0，+∞），當x1

A.（-∞，e） B.（-∞，e] C. D.

分析：此題顯然是常見的不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍問題，一般是要分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，或利用不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性問題。由所給條件結(jié)構(gòu)形式，很明顯含有雙變量，且屬于輪換對稱式，只需將其進行同構(gòu)變形，轉(zhuǎn)化為單調(diào)性問題來解決，我們會看到，其最終目的是轉(zhuǎn)化為單變量（常見）函數(shù)問題。由0

反饋練習;已知。

（1）討論的單調(diào)性;

（2）設，求證：

x1x2∈（0，+∞），。

留給讀者解決，提示：觀察所證不等式為雙變量且為輪換對稱式，又x1，x2任取，進而可定序x2>x1，再由第（1）問單調(diào)性可去掉絕對值符號，實現(xiàn)同構(gòu)變形。

但有些雙變量、甚至更多變量問題，其所給條件或結(jié)論表面上是否屬于輪換對稱式就非常不明顯，這就給學生解決問題帶來了障礙，事實上，高考對函數(shù)的綜合考查，無論是雙變量或更多變量問題最終還是要轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)問題來解決，轉(zhuǎn)化的手段基本就是同構(gòu)變形構(gòu)造新函數(shù)，或者是利用條件和結(jié)論變形消元構(gòu)造新函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為常見函數(shù)問題來達到解題目的。

例2;已知函數(shù)。

（1）當a=-2時，求曲線在點處的切線方程;

（2）若有兩個極值點x1，x2且x1e2。（同構(gòu)變形構(gòu)造新函數(shù)）

分析：（1）省略;

（2）該題含有雙變量及一個參數(shù)，但所證結(jié)論結(jié)構(gòu)上顯然不是輪換對稱式，故不能直接進行同構(gòu)變形，這就使許多學生看似似曾相識，卻又無從下手。若從條件式結(jié)構(gòu)看，就知道要對所證結(jié)論先進行變形，從而找到解題突破口，具體如下：

∵x1，x2是得兩個極值點，且x1

∴有，∴，

從而，再往后就有了解題思路了，要證x1x2>e2，兩邊取自然對數(shù)，即證，亦即證明

即可，此式結(jié)構(gòu)顯然是雙變量輪換對稱式，可進行同構(gòu)變形構(gòu)造新函數(shù)來解決，即不等式左邊分子分母同除以x1得，令，則有，亦即，令，則在t>1時恒成立，即g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴g（t）>g（1）=0恒成立，從而原命題x1x2>e2成立。

題型二、非同構(gòu)消元變形構(gòu)造新函數(shù)。

例3;已知函數(shù)，其導函數(shù)的最大值為0。

（1）求實數(shù)的值;

（2）若，證明：x1+x2>2。

分析：對于問題（2），無論從條件還是結(jié)論的結(jié)構(gòu)形式，雖然涉及雙變量，但顯然無法進行同構(gòu)變形，那么對于多變量函數(shù)問題，那就必須消元構(gòu)造新的函數(shù)，這就是在這里要重點強調(diào)的對于這類問題的另一種解題途徑。特別地，若是雙變量不等式問題，可充分利用函數(shù)單調(diào)性來消元。

反饋練習 讀者可自行練習2016年新課標卷Ⅰ、2018年新課標卷Ⅰ第21題，體會雙變量消元構(gòu)造新函數(shù)的思想方法。

至此，你會發(fā)現(xiàn)，對于復雜的多變量函數(shù)問題的解決方法基本就是上述兩種途徑，只要多加練習體會，還是可以掌握的。