初中方程思想求幾何面積

（重慶市育才中學校，重慶 404100）

間接法（設未知數列方程組）：對于三角形、四邊形中出現比例的時候，由這些線段組成圖形的面積，通?？梢栽O未知數列方程組求解。根據需要可以分成設一個未知數列一元一次方程，也可以設多個未知數列方程組，同時除了結合性質之外，還可以通過添加輔助線來達到構建方程組的目的。接下來，我將結合具體例子來分享：

例1.（結合性質，設一個未知數解決，不添加輔助線）如圖，若正方形APHM，BNHP，CQHN 的面積分別為7，4，6，則陰影部分的面積是_____.

解：

例2.（添加輔助線，結合比例關系，設兩個未知數解決）如圖△ABC 內三個三角形的面積分別為5，8，10，求四邊形AEFD 的面積.

解：

例3.（添加輔助線，設兩個未知數，列方程組解決）如圖，△ABC 的面積為1，D，E 為AC 的三等分點，F，G 為CB 的三等分點.（1）求四邊形PECF的面積；（2）求四邊形PFGN 的面積.

解：

例3 變式.（添加輔助線，開放性探究問題）知識回顧：小明在學習完三角形中線的知識后,對三角形中線與面積關系產生了濃厚的興趣,如圖（1）,在三角形ABC 中,若點D 是BC 的中點，他知道S △ABD=S △ACD，如圖(2)，三角形ABC 中，若BD=13BC，則S △ABD=___S △ACD.(你知道嗎?請你填一填.)

探索研究：

有了這樣的知識,小明又進行了深入探究,如圖(3),三角形ABC 內線段BD、CE 相交于點O.已知OB=OD,OC=2OE.設△BOE、△BOC、△COD 和四邊形AEOD 的面積分別為S1,S2,S3,S4 小明很快得出了S1：S3 的值,相信你也知道答案了吧,請你填一填：S1：S3=___.

如果S2=2,如何求S4 的值呢?小明想：要求的S4 是四邊形的面積,直接求有點困難,而我現在所知道的都是三角形之間的面積關系,于是他就想到了連接AO,將四邊形分成了兩個三角形,然后分別設S △AEO=x,S △ADO=y,從而根據相互間的面積關系建立二元一次方程組進行求解,聰明的你會了嗎?請你將解答過程寫下來,求出S4 的值。

嘗試運用：如圖(4),三角形ABC 的面積是1,D、E 為AC 的三等分點,F、G 是BC 的三等分點,則四邊形PECF 的面積是___.(直接寫答案)

解：∵BD=13BC，∴CD=2BD，設△ABC 的邊BC 上的高為h，

∴S △ABD=12BD×h,S △ACD=12CD×h=12×2BD×h=2S △ABD，

∴S △ABD=12S △ACD，

故答案為：12，

探索研究：∵OB=OD，∴S2=S △BOC=S △COD=S3，∵OC=2OE，∴S2=S △BOC=2S △BOE=2S1，

∴S3=2S1，∴S1：S3=1：2，故答案為：1：2；

當S2=2 時,S3=S2=2,S1=12S2=1，∵OB=OD，∴S △AOB=S △AOD，即：x+1=y ①，

∵OC=2OE，∴S △AOC=2S △AOE，即：y+2=2x ②，

聯立①②解得,{x=3y=4，∴S4=x+y=7；

嘗試運用：

如圖,∵D、E 為AC 的三等分點，

∴S △BCE=13S △ABC=13

∵F、G是BC的三等分點,S△ACF=13S△ABC=13，

設S △PCF=x,S △PCE=y.

連接PC，PG，

∵F、G 是BC 的三等分點，

∴S △PBG=S △PGF=S △PCF=x，

∴S △BCE=S △PBG+S △PGF+S △PCF+S △PCE=3x+y=13 ①，

同理：S △ACF=S △PAD+S △PDE+S △PCE+S △PCF=x+3y=13 ②，

∴①+②得,4x+4y=23，

∴x+y=16，

即：四邊形PECF 的面積是x+y=16，

故答案為：16.

例4.（結合性質，作多條輔助線，多次設未知數解決）如圖，E，F 分別是四邊形ABCD 的邊AB，BC 的中點，DE 與AF 交于點P，點Q 在線段DE 上，且AQ ∥PC.求梯形APCQ 的面積與平行四邊形ABCD 的面積的比值.

總結：方程思想在解決幾何問題當中的應用，是通過方程把幾何與代數內容有機結合起來，把一個本來需要逆向思考的問題，變得正向思考化，從而大大地降低了解題的難度。不管是設一元列方程還是設多元列方程組，都是為了更好地數形結合起來，給學生解題創造更多的可能，讓孩子們感受到數學美好與和諧，感受到數學快樂。