三容對象臨界比例度法的參數計算與仿真實驗

彭 程， 謝迎新

（華北科技學院電子信息工程學院，河北三河065201）

0 引 言

臨界比例度法，又稱穩定邊界法［1］、連續循環法［2］，是一種重要的PID參數整定方法，在四旋翼飛行器穩定控制［3］、羅茨風機風量調節［4］、溫度控制［5-7］、直流電機調速［8］、船用升降設備位置控制［9］、反應堆功率控制［10］以及變量施肥控制［11］等不同控制問題中均有成功應用。

自動化專業本科“過程控制系統”課程中會講授臨界比例度法，實驗課也經常會針對該方法開展訓練［12-15］。在以往的教學實踐中，通常只是將臨界比例度法作為一種PID參數整定方法加以介紹，一般不會將該方法與“自動控制原理”課程中講授過的系統穩定性判據聯系起來，學生也只是將臨界比例度法理解為一個獨立的知識點。使用臨界比例度法的關鍵是通過實驗得到臨界比例系數和等幅振蕩周期。對于一些特定形式的被控過程，如果已知被控對象、執行器和測量變送器的數學模型，上述兩個參數是可以計算出來的。文獻［1，10］中均提出過這一觀點，并分別采用奈奎斯特穩定判據和根軌跡法進行了計算，但是沒有進行詳細的理論分析。本文以有自衡特性和無自衡特性3容對象為例，給出了臨界比例度法參數的計算公式，并設計了Matlab／Simulink仿真實驗，以便于學生更好地理解和掌握該方法。

1 臨界比例度法

考慮圖1所示的單回路控制系統，圖中R（s）、E（s）、U（s）、Y（s）和B（s）分別為系統的參考輸入、偏差、控制量、被控量和反饋量，C（s）、Gv（s）、Gp（s）和Gm（s）分別為控制器、執行器、被控對象和測量變送器的傳遞函數。

圖1 單回路控制系統結構圖

若Y（s）和B（s）在階躍型參考輸入R（s）和增益為臨界比例系數Kc的比例控制器C（s）作用下產生周期為Tc的等幅振蕩，則PID控制器

的3個參數：比例系數KP、積分時間常數TI和微分時間常數TD，可以由表1 確定［1］。

表1 臨界比例度法PID控制器參數計算

臨界比例度法不需要已知被控對象、執行器和測量變送器的數學模型，只需在實驗過程中逐步增大比例控制器的比例系數，直到Y（s）和B（s）產生等幅振蕩，記錄臨界比例系數Kc和等幅振蕩的周期Tc的值，就可以確定PID控制器的參數。

2 臨界比例度法參數的解析計算

2.1 有自衡特性3容對象

如前所述，臨界比例度法的關鍵問題是確定參數Kc和Tc的值。本節針對有自衡特性3容對象

式中：K ＞0為對象增益；T1＞0、T2＞0、T3＞0為時間常數。為研究參數Kc、Tc與模型參數T1、T2、T3以及K之間的關系，給出下面的引理。

引理1 對于正常數T1、T2和T3，有

成立。

證明：令

則

由多項和平方展開公式計算可得：

易知M1＞0，M2＞0，故M1＝M2成立。證畢。

引理2 對于正常數T1、T2和T3，有成立。

證明 因為

同時考慮到

所以

成立。證畢。

在引理1和引理2的基礎上，可以給出如下的定理。

定理1 對于式（2）給出的有自衡特性3容對象，若已知模型參數T1、T2、T3和K，令比例控制器

則Y（s）和B（s）在單位階躍參考輸入R（s）＝1／s作用下將產生等幅振蕩，且等幅振蕩的周期

證明 （1）證法1。

由引理1可知，

由上述計算結果可知，以C（s）＝αKc為比例控制器的開環系統的幅相特性曲線經過復平面上的（－α，j0）點，對應的頻率為ωc。

根據奈奎斯特穩定判據容易知道，當α＞1時，開環幅相特性曲線順時針包圍（－1，j0）點兩次，閉環系統不穩定，并且有兩個不穩定閉環極點；當α＜1時，開環幅相特性曲線不包圍（－1，j0）點，閉環系統穩定；而α＝1，即比例控制器C（s）＝Kc時，閉環系統臨界穩定，階躍輸入下閉環系統響應會出現等幅振蕩，且振蕩周期

證畢。

（2）證法2。

比例控制器C（s）＝Kc作用下閉環特征多項式

對閉環特征多項式列勞斯表，有

勞斯表s1行中

即勞斯表出現了全0行，閉環系統必然存在位于實軸或者虛軸上的、關于原點對稱的極點。由勞斯表s2行構造輔助方程

容易知道構造輔助方程之后勞斯表第一列元素均為正，故閉環系統沒有實部大于零的極點，即關于原點對稱的閉環極點是位于虛軸上的，而第3個閉環極點位于負實軸上。解輔助方程可得虛軸上的共軛虛數極點

故在比例控制器C（s）＝Kc作用下閉環系統臨界穩定，階躍響應會出現等幅振蕩，且振蕩周期

證畢。

（3）證法3。

由根軌跡分析可知，不管比例控制器的比例系數KP如何變化，根軌跡3個分支之中有1個分支始終位于負實軸上，即閉環系統總有1個穩定的閉環實極點；而另外2個分支在離開負實軸之后會隨著比例系數KP的增大，逐漸靠近并穿越虛軸。即隨著比例系數KP的增大，閉環系統會呈現出穩定、臨界穩定到不穩定的變化規律。

比例控制器C（s）＝Kc時，閉環特征多項式

令D（s）＝0，可得閉環極點為

和

閉環系統的3個極點分別位于虛軸和負實軸上，故比例控制器C（s）＝Kc作用下閉環系統臨界穩定，閉環系統階躍響應會出現等幅振蕩，且振蕩周期

證畢。

定理1的3種證明方法將“自動控制原理”和“過程控制系統”兩門課的知識點聯系起來，分別從奈奎斯特穩定判據、勞斯穩定判據和根軌跡法的角度揭示了有自衡特性3容對象臨界比例度法參數Kc、Tc的取值規律。

2.2 無自衡特性3容對象

對于無自衡特性3容對象

式中：T1＞0、T2＞0、T3＞0為時間常數。其臨界比例度法參數Kc和Tc的計算原理可以由下面的定理2給出。與定理1的證明過程類似，可以從奈奎斯特穩定判據、勞斯穩定判據和根軌跡法3種角度出發進行證明。這里僅給出使用奈奎斯特穩定判據的證明方法。

定理2 對于式（7）給出的無自衡特性3容對象，若已知模型參數T1、T2和T3，令比例控制器

則Y（s）和B（s）在單位階躍參考輸入R（s）＝1／s作用下將產生等幅振蕩，且等幅振蕩的周期

證明 設比例控制器

式中：β＞0為正常數，則系統開環傳遞函數

令s＝jω，可得開環系統頻率特性

令

將ωc代入開環幅頻特性和相頻特性的表達式，可得

以及

由上述計算結果可知，以C（s）＝βKc為比例控制器的開環系統的幅相特性曲線經過復平面上的（－β，j0）點，對應的頻率為ωc。

根據奈奎斯特穩定判據容易知道，當β＞1時，閉環系統不穩定；當β＜1時，閉環系統穩定；而β＝1，即比例控制器C（s）＝Kc時，閉環系統臨界穩定，階躍輸入下閉環系統響應會出現等幅振蕩，且振蕩周期

證畢。

3 仿真實驗設計

在教學實踐中，使用了Matlab／Simulink軟件進行臨界比例度法仿真實驗。在使用Matlab／Simulink軟件模擬3容對象的臨界比例度法參數調節過程之后，可以使用定理1和定理2計算出參數Kc、Tc的理論值，以檢驗參數整定過程的正確性。要求學生完成的實驗內容包括：

①針對有自衡特性3容對象，根據圖1建立Simulink仿真文件。

②取消積分和微分控制作用，逐步增大比例控制器的比例系數，使閉環系統階躍響應呈現等幅振蕩，記錄臨界比例系數Kc和等幅振蕩的周期Tc的值。

③按照表1的規則，編寫Matlab程序計算P、PI和PID控制器參數，將參數寫入Simulink仿真文件，進行仿真，記錄峰值時間、超調量、調節時間和穩態誤差，比較不同控制器作用下閉環系統響應的特點。

④編寫Matlab程序計算臨界比例度法參數的理論值，并與②中的結果進行對比，如果不一致，找出原因。

⑤改變Simulink仿真文件中被控對象的模型參數，使其成為無自衡特性3容對象，重復②～④的仿真內容。

在實驗課之前，向學生講授定理1及其證明方法，要求學生利用課余時間使用奈奎斯特穩定判據、根軌跡法或者勞斯穩定判據之中的一種方法自行分析臨界比例度法參數與無自衡特性3容對象模型參數之間的關系，并進行理論證明，以培養學生的理論分析能力。

4 數值算例

限于篇幅，本節使用兩個算例進一步驗證定理1和定理2的正確性，不展示臨界比例度法參數整定過程和控制效果，兩例中均假設Gv（s）＝1、Gm（s）＝1。

例1 有自衡特性3容對象

其模型參數為T1＝2 s、T2＝10 s、T3＝20 s和K ＝3。

由定理1計算可得Kc＝6.600 0，進而可以求出ωc＝ 0.282 8 rad／s，Tc＝ 22.214 4 s。比例控制器C（s）＝6.600 0作用下閉環系統的單位階躍響應如圖2所示。觀察圖2可知階躍響應出現了等幅振蕩，并且振蕩周期與理論計算結果一致，驗證了定理1的正確性。

圖2 有自衡特性3容對象的閉環單位階躍響應

例2 無自衡特性3容對象

其模型參數為T1＝0.2 s、T2＝2 s和T3＝7 s。

由定理2計算可得Kc＝0.128 6，進而可以求出ωc＝ 0.267 3 rad／s，Tc＝ 23.509 5 s。比例控制器C（s）＝0.128 6作用下閉環系統的單位階躍響應如圖3所示。與例1的情況類似，觀察圖3可以驗證定理2正確性。

圖3 無自衡特性三容對象的閉環單位階躍響應

5 結 語

針對有自衡特性和無自衡特性3容對象這兩類典型的過程控制對象，研究了臨界比例度法參數與模型參數之間的關系，以此為基礎，設計了臨界比例度法Matlab／Simulink仿真實驗。具體結論如下：

（1）對于有自衡特性3容對象，臨界比例系數Kc是模型參數T1、T2、T3和K的顯函數，等幅振蕩周期Tc是T1、T2、T3的顯函數；對于無自衡特性3容對象，Kc是模型參數T1、T2和T3的顯函數，Tc是和T2和T3的顯函數。

（2）使用“自動控制原理”課程講授過的穩定性判別方法證明了3容對象臨界比例度法參數與模型參數之間的關系。在理論指導下設計了臨界比例度法Matlab／Simulink仿真實驗，有利于學生更好地掌握該方法，提升理論分析和實踐能力。