指向數(shù)學核心素養(yǎng)的初中“數(shù)學活動”教學

顧廣林

《普通高中數(shù)學課程標準（2017 年版）》提出了六條數(shù)學核心素養(yǎng)，從學生學科素養(yǎng)的連續(xù)性出發(fā)，初中階段也應(yīng)承接高中數(shù)學核心素養(yǎng)的基本理念與內(nèi)涵，不同之處就是由學生心理、生理發(fā)展階段不同而對應(yīng)的要求沒有高中這么高。廣大初中教師應(yīng)認識到學科核心素養(yǎng)對學生成長和發(fā)展的重要意義，積極探索教學的途徑和策略。蘇科版初中數(shù)學教材中的“數(shù)學活動”是運用知識解決實際問題或探究某個數(shù)學專題而設(shè)計的版塊，筆者以為，初中“數(shù)學活動”版塊的教學是發(fā)展初中生數(shù)學核心素養(yǎng)的途徑之一。

一、初中“數(shù)學活動”指向數(shù)學核心素養(yǎng)

蘇科版初中數(shù)學教材中“數(shù)學活動”的開展涉及測量、設(shè)計、調(diào)查、實驗等多種方式，有利于學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。

“數(shù)學活動”需要測量，一般是測量一些實物的距離或高度，然后應(yīng)用這些數(shù)據(jù)通過數(shù)學知識和方法解決不可直接測量的距離或高度的問題。一方面，測量活動需要在實際場景中選擇適當?shù)臏y量工具和測量方法，需要研究測量對象，分析其中的數(shù)學關(guān)系，構(gòu)建解決這個問題的數(shù)學模型，進一步探討這個模型能否解決一般性的問題，再從抽象的層面將其拓展。這樣學生把學到的知識與真實問題聯(lián)系起來，經(jīng)歷動手操作、測量數(shù)據(jù)、數(shù)據(jù)分析、小組協(xié)作、信息交流等活動。另一方面，測量活動需要解釋模型，需要理解模型中的運算對象，設(shè)計運算程式，需要較強的計算和代數(shù)推理能力，不同活動小組的測量數(shù)據(jù)有時差距較大，需要反思測量工具和測量方法，進行誤差校正，有利于培養(yǎng)思維的嚴謹性。因此，測量活動能夠發(fā)展學生的建模、推理、抽象等素養(yǎng)。

“數(shù)學活動”需要設(shè)計，一般是依托所學數(shù)學知識和數(shù)學方法對滿足一定條件的幾何圖形、景觀等進行創(chuàng)造性地設(shè)計。開展規(guī)劃設(shè)計活動是一種體驗式的學習，需要運用圖形進行直觀想象或者構(gòu)造圖形幫助描述和分析解決問題的思路，也需要把握圖形與數(shù)量關(guān)系的關(guān)聯(lián)。我們通過表現(xiàn)性和反思性評價，培養(yǎng)學生有條理地表達，注重有論據(jù)、有邏輯的推理，不斷提升學生的思維品質(zhì)。在學生規(guī)劃設(shè)計的過程中，實踐活動都應(yīng)該由學生來操作，以此獲得一些感性知識，并在此基礎(chǔ)上再進行展示交流、理性思考，引導(dǎo)學生將自己的規(guī)劃設(shè)計與他人交流。這說明設(shè)計活動不只是簡單的操作和思考，要通過作品展示、交流評價、思維碰撞和理性驗證等活動優(yōu)化原有的設(shè)計方案。這種實踐和思維活動能夠發(fā)展學生的直觀想象、推理和抽象等素養(yǎng)。

“數(shù)學活動”需要調(diào)查，其過程一般為“收集數(shù)據(jù)→制成圖表→分析數(shù)據(jù)→形成報告”。收集數(shù)據(jù)需要走進社會，在社會大課堂中學習，能在實踐應(yīng)用中對“樣本”等知識進一步理解和構(gòu)建，鍛煉學生的交往和合作能力。分析數(shù)據(jù)通常需要運用統(tǒng)計和概率知識，需要合理選擇統(tǒng)計圖表或統(tǒng)計量，分析數(shù)據(jù)中蘊含的規(guī)律或結(jié)論，可以加深對統(tǒng)計知識的理解，有助于形成統(tǒng)計觀念，提高數(shù)據(jù)分析的意識和能力。有些調(diào)查活動主要是收集現(xiàn)實生活中的數(shù)量關(guān)系，并用方程、不等式和函數(shù)等數(shù)學模型進行解釋，感悟數(shù)學的應(yīng)用價值。有些數(shù)學活動需要估算（測），而要估算（測）一個問題通常也需要調(diào)查得到數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)進行處理，它與抽象密不可分。［1］因此，調(diào)查活動在創(chuàng)造性運用多種知識解決問題的過程中，能夠發(fā)展學生數(shù)據(jù)分析、抽象和建模等素養(yǎng)。

“數(shù)學活動”需要實驗，也就是借助一定的工具圍繞主題從數(shù)學的視角進行實踐性探索和應(yīng)用活動，實驗過程中需要動手操作、積極猜想、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、驗證結(jié)果、積極反思實驗過程。顯性操作主要有折疊、剪拼、科學實驗等，實驗為學生理解知識提供“支架”，積累活動經(jīng)驗，有助于學生直觀想象、抽象和邏輯推理等素養(yǎng)的發(fā)展，有助于數(shù)學思想和方法的形成。有些科學實驗需要小組合作和數(shù)據(jù)分析，提高學生的實踐能力和合作能力，并以此誘發(fā)類比、猜想、歸納和驗證（證明）等思維活動，對已有的知識和方法在應(yīng)用中進一步建構(gòu)和理解。有些對特殊化條件獲得的實驗結(jié)果常常需要推廣到一般性結(jié)論。由此，實驗?zāi)軌蛟凇白觥敝邪l(fā)展學生抽象、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等素養(yǎng)。

二、指向數(shù)學核心素養(yǎng)的初中“數(shù)學活動”教學案例

“數(shù)學活動”教學要挖掘情境中的核心內(nèi)容，據(jù)此設(shè)計核心問題或?qū)W習（評價）任務(wù)，教學中應(yīng)該鼓勵或引導(dǎo)學生提出問題或生成問題，形成學習任務(wù)，從而引發(fā)學生的操作和認知活動，也就是引導(dǎo)學生用數(shù)學的方法正確地“做事”。以蘇科版教材“數(shù)學活動——確定藏寶地”［2］為例，簡要敘述教學過程。

1.對情境提出問題。

回顧本章主要內(nèi)容（由直角坐標系確定點），向?qū)W生提問：你覺得還有哪些問題需要探究？給出教材中的情境，如何解決問題？引導(dǎo)學生最終生成任務(wù)：由已知點的位置畫出直角坐標系。

由情境提出問題，可以培養(yǎng)學生探索解決問題的思路能力，理解要探究問題的來龍去脈。

2.如何確定直角坐標系。

（1）確定直角坐標系的單位長度。一是引導(dǎo)學生通過自己的觀察和操作，感悟到要畫出地圖坐標系的關(guān)鍵是確定坐標系的單位長度。二是引導(dǎo)學生從兩個特殊點入手，基于兩個特殊點的直觀形象關(guān)系，感知和把握由給定特殊點確定坐標系單位長度的方法，再由特殊推廣到一般情形下確定坐標系單位長度的方法。這種探索活動是學生親身經(jīng)歷感性逐漸上升到理性的數(shù)學抽象過程，目的是培養(yǎng)學生的直觀想象、由特殊到一般的類比能力和抽象等核心素養(yǎng)。

（2）引導(dǎo)學生確定直角坐標系。確定藏寶地，關(guān)鍵是畫出直角坐標系。學生在畫圖中發(fā)現(xiàn)原點難以確定，這就需要引導(dǎo)學生理解圖中兩點的位置確定，那么藏寶地的位置就是確定的。為此，教師要引導(dǎo)學生悟出借助透明紙上的坐標系來確定隱藏的坐標系，從而在地圖中畫出藏寶地，當然也可以通過透明紙上藏寶地位置直接描出地圖上的藏寶地。通過這個深度探究活動，發(fā)展學生的動手操作能力、推理能力以及溝通已知與未知的能力。

3.引導(dǎo)學生構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)圖。

“數(shù)學活動”不是簡單的知識應(yīng)用，而是需要對已有知識進行拓展或再一次建構(gòu)，形成可遷移的“高品質(zhì)”的知識，這樣才能更好地應(yīng)用它解決問題，這也是安排“數(shù)學活動”版塊的意圖之一。為此就要引導(dǎo)學生畫知識結(jié)構(gòu)圖（圖1），將拓展知識納入學生已有的知識系統(tǒng)，發(fā)展學生的抽象和推理等核心素養(yǎng)。

圖1 知識結(jié)構(gòu)圖

4.根據(jù)藏寶圖實際尋找藏寶地。

教師在學校花園內(nèi)預(yù)先確定藏寶圖中兩個標記點的位置，藏好寶物，并準備多種測量工具。學生分成小組根據(jù)畫好的地圖進行計算、測量等活動尋找寶物。

從課前學情調(diào)研和課堂教學看，學生已具備一定的關(guān)于比例的認知，課堂上部分學生也對在現(xiàn)實生活中如何尋找寶物很感興趣，所以這個環(huán)節(jié)滿足了學生學習的欲望，為后續(xù)的相似三角形學習奠定基礎(chǔ)。安排這個理論與實踐相結(jié)合的環(huán)節(jié)，一是鍛煉學生綜合運用多種方法尋找寶藏的能力。面對實際場景，如何選擇工具展開實際操作，如何修正誤差，對學生來說都是挑戰(zhàn)，但是學生學習熱情空前高漲，尋寶現(xiàn)場呈現(xiàn)出一幅忙碌的景象，在“做事”中學生的動手實踐等多種能力和素養(yǎng)得到發(fā)展，且產(chǎn)生積極的情感和態(tài)度。二是在真實情境應(yīng)用中以操作促進思維發(fā)展，讓學生對獲得的知識和方法在實踐中實現(xiàn)再次理解和建構(gòu)，進一步完善認知結(jié)構(gòu)和思維結(jié)構(gòu)。在地圖上畫出藏寶地只是“紙上談兵”，“數(shù)學活動”需要彌補常規(guī)數(shù)學課的不足，要重視實踐活動，從小課堂走進社會大課堂，較好地實現(xiàn)“數(shù)學活動”實踐育人的價值。

5.課后完成反思評價表。

作為研究性學習活動的課后延伸，課后反思有利于學生真正悟出所學知識、所開展活動背后的道理。筆者所設(shè)計的課后反思評價表（見下頁表1）中“你還有確定藏寶物位置的方法嗎？”一問難度較大，需要高階思維和合作學習來完成。

三、指向數(shù)學核心素養(yǎng)的初中“數(shù)學活動”教學建議

1.豐富學生的活動經(jīng)歷。

教學需要傳授，更需要學生的親身經(jīng)歷。在經(jīng)歷中體驗，在體驗中領(lǐng)悟，才有可能讓經(jīng)驗的“根”扎得更深、讓智慧的“葉”開得更茂。［3］“數(shù)學活動”中的調(diào)查、設(shè)計、實驗、測量等探究性活動提供了應(yīng)用知識解決實際問題的機會，因此，必須創(chuàng)設(shè)自主活動的氛圍，豐富“數(shù)學活動”經(jīng)歷，既要有顯性經(jīng)歷，也應(yīng)該引導(dǎo)學生經(jīng)歷比較分析、抽象概括和回顧反思等真正的思維過程。有了這些活動經(jīng)歷，學生才能從中獲得解決問題的一般性研究方法，形成自然、合理、主動的數(shù)學思維，學生的思維領(lǐng)悟與思想感悟?qū)⒅饾u豐富。當然，“數(shù)學活動”經(jīng)歷也要有層次，既要有體驗，也要掌握思想和方法，升華情感和價值觀，從而在豐富的經(jīng)歷中發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。

表1 課后反思評價表

2.培養(yǎng)學生的問題意識。

“數(shù)學活動”的本質(zhì)是思維活動，思維活動的激發(fā)基于“問題”，沒有問題就沒有思維，“數(shù)學活動”教學價值就在于它是基于問題的。因此，教學中要通過操作活動，從實際情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學問題和提出問題，并用數(shù)學的語言進行表達。如果把“數(shù)學活動”變成教師規(guī)定好的“任務(wù)”，它就失去了應(yīng)有的價值，而成為學生的學習負擔。教學中應(yīng)鼓勵學生生成問題，同時，盡量將簡化問題、提出假設(shè)等解決問題的關(guān)鍵過程留給學生自己去做。培養(yǎng)問題意識可以增強學生的學習動機，激發(fā)思維活動，有效發(fā)展學生數(shù)學核心素養(yǎng)。

3.重視操作和思維的融合。

“數(shù)學活動”是知識的應(yīng)用，以操作為載體，多種感官協(xié)調(diào)作用，在實踐中促進對知識更深入的理解。教學中要尊重和信任學生，培養(yǎng)學生的學習興趣，鼓勵學生活動和猜想，引導(dǎo)學生以多樣化的學習方式建構(gòu)知識結(jié)構(gòu)和積累經(jīng)驗。這不僅需要學生具備動手操作能力和一定的活動經(jīng)驗，更需要教師設(shè)計具有一定思維深度的活動，找準活動與思維的契合點，將活動中的思維要素開發(fā)出來，使活動成為思維發(fā)展的源泉，引發(fā)學生的思維，使他們外顯的操作與內(nèi)隱的思維協(xié)調(diào)發(fā)揮作用，這樣才能在應(yīng)用知識的過程中得到對數(shù)學本質(zhì)較為深刻的理解，實現(xiàn)“數(shù)學活動”是“數(shù)學的活動”的目的。這種有思維深度的探究性活動才是深度學習，才能發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。