關于費耶算子逼近定理的一種簡化證明

高 義

(北方民族大學數學與信息科學學院，寧夏銀川 750021)

0 引言

一個周期為2π且連續的函數f(x)，在它的連續點x0，并不能保證其傅立葉級數收斂到f(x0).為此，數學教材[1]在討論傅立葉級數的收斂性時引進了費耶算子(亦稱費耶和，1904年由匈牙利數學家費耶首次提出)：

(1)

其中f(x)∈C2π，C2π表示以2π為周期的連續函數全體.該算子可以彌補某個連續函數f(x)的傅立葉級數未必收斂到f(x)的缺憾.事實上，費耶算子是傅立葉級數部分和的算術平均.為方便讀者，本文將費耶算子由傅立葉級數部分和的算術平均生成的推導過程重復如下(細節可參考文獻[1]).若f(x)∈C2π，則f(x)可以展開成傅立葉級數(本文只討論連續函數的情形，事實上，只要f(x)在[-π,π]絕對可積亦可以展開成傅立葉級數)，即

其中

若傅立葉級數的部分和記作

將ak，bk代入到Sn(f;x)中，得

(2)

注意到

(3)

則函數f(x)的傅立葉和為

(4)

為此，定義費耶和為

(5)

由式(4)，得

注意到

(6)

則費耶和可以寫作為式(1)的形式.

若記

不難得到

人們稱Dn(x)為狄利克雷核，Kn(x)為費耶核.從卷積[2]的觀點看，傅立葉和是f(x)與Dn(x)的卷積，而費耶算子是f(x)與Kn(x)的卷積.教材[1]用分析的方法證明了費耶算子的逼近定理，即如下的定理.

定理1若f(x)∈C2π，則

即費耶算子σn(f;x)在實軸上一致收斂于f(x)，其中

本文利用柯羅夫金定理[3]給出定理1的另外一種簡化的證明.

1 準備知識

為證明定理1，需作如下的準備知識.

定義1[4]假設L是映某個函數空間S到自身的映照，如果它將S中每一個正的元素都映照為正的元素，那么說L是一個正算子.另外，如果對于S中的任……