施密特正交化過程的教育形態(tài)

趙甫榮

(綿陽師范學院，四川綿陽 621000)

0 引言

數學教材由于篇幅限制，都是定義，定理，證明，例題四部曲，其特點是數學內容豐富，編排精煉.正如張奠宙指出[1-2]：數學的學術形態(tài)通常表現為冰冷的美麗，而數學知識的教育形態(tài)正是一種火熱的思考. 傳統高等代數教學中，先簡單介紹標準正交基的優(yōu)點，直接給出施密特正交化過程，然后證明，緊接著給出兩個例子，介紹如何利用公式得到標準正交基. 這樣做邏輯上沒有問題，但是不符合學生的認知規(guī)律，不利于培養(yǎng)學生的數學直覺.對于一流大學數學專業(yè)的學生或許能夠輕易跨過抽象難關， 但是對地方院校數學專業(yè)的學生來說，這樣講，感覺像“空中樓閣”，從天上掉下來的.如何在地方師范院校講施密特正交化過程？ 曹廣福在其專著中概括弗賴登塔爾數學教育的兩個基本觀點[2]：(1) 數學教育應該結合學生的生活體驗與數學現實； (2) 數學教育是數學的“再創(chuàng)造”. 張奠宙在賴登塔爾的數學教育理論基礎上提出：數學教學的目標之一，是要把數學知識的學術形態(tài)轉化為教育形態(tài)[1,3-5,6].在地方院校，數學課的教學重點之一是講清楚定理和概念的發(fā)現過程，這樣有利于學生理解.正如曹廣福指出[2]“數學定理和概念不是憑空而來的，需要探索其發(fā)現過程.定理和概念的發(fā)現過程即數學的再創(chuàng)造，往往和定理本身一樣重要，更能體現數學的思想. 人們未必可以從史料中將背景挖掘出來，但可以通過合情合理的推理，闡述這些理論的深刻內涵”.在上述理論指導下，基于地方院校數學專業(yè)學生的數學現實，筆者重新設計關于施密特正交化過程的教學. 并通過實踐，將教學效果與傳統教學效果相比較.

下面根據在地方院校的實踐結果，對比傳統教學和基于上述理論設計的教學結果.在第一個年級，筆者按照傳統方式教學.

1 傳統教學

1.1 傳統教學是如下講授的

復習標準正交基的優(yōu)點：容易計算坐標；方便計算兩個向量的內積.直接給出定理.

定理[9](施密特正交化過程)α1,α2,α3,...,αn歐幾里得空間V的一組基，

則β1，β2，β3，...，βn是歐式空間V的正交基.

然后給作為重點出嚴格證明，再給出類似如下一個例題.

例1[9]在歐幾里得空間3中，設

利用施密特正交化過程，把α1，α2，α3變成單位正交的向量組， 給出嚴格的解答. 最后留一個和例題類似的作業(yè)作為鞏固.

學生能做簡單的習題.但是前一周星期五上完課，下周星期一上課時，調查一個問題“誰記住施密特正交化過程這個公式？”，結果中間前兩排18名同學，只有3名同學能夠記住公式.

1.2 新的教學過程

基于毛衛(wèi)華, 張勝祥, 萬安華[8]的啟發(fā)，探索施密特正交化過程的教學形態(tài).

|A|2|α1|2|α2|2|α3|2.

然后重點講授(施密特正交化過程)的幾何直觀背景.在歐幾里得空間3中兩個三維向量α,β，其內積(α,β)=|α|.|β|cosθ，講清楚其幾何意義.

表示α在β方向投影的長度；

表示α在β方向的投影向量；

α1，α2，α3，...，αn是歐式空間n的一組基，

β1=α1,

強調右邊幾何意義，通過幾何直觀理解β2與β1垂直，

強調右邊的幾何意義，通過幾何直觀理解β3與β1垂直，β3與β2垂直. 再補上后面表達式.

這個發(fā)現過程就是此施密特正交化過程，純其自然將其作為定理.再給出如下例題，

例2在歐幾里得空間3中，設

(a)把A分解成A=CD，其中C是列向量兩兩互相垂直的向量，D是主對角線元位1的上三角矩陣.

(b)把A分解成A=TB，其中T是列向量兩兩互相垂直， 并且長度為1的向量，B是主對角線為正的上三角矩陣.

解 (a)設A的3個列向量為α1，α2，α3， 可得

那么

取

C=(β1,β2,β3)，

即可.

(b)由(a)可知

通過此例告訴學生，為什么需要不同的標準正交基.

再給出引例的證明.

證若|A|=0，上式成立. 若|A|≠0 ，將α1，α2，α3正交化，

可得

那么

由于β1,β2,β3互相垂直，可得

|α1|2=|β1|2，|α2|2≥|β2|2，|α3|2≥|β3|2;

|A|2=|A′A|=|β1|2|β2|2|β3|2|α1|2|α2|2|α3|2.

最后才給出定理的嚴格證明. 同樣是前一周星期五上完課，下周星期一上課調查同樣的問題，結果中央前兩排18名同學，有7名同學立馬舉手表示記得公式，難能可貴的是有9名同學用了大約1分鐘時間自己推導出公式. 課堂氣氛也很活躍. 有一次作者替另外一位老師上非數學專業(yè)學生的《線性代數》，剛好講到這一知識點，按照此方式講，課堂氣氛非常活躍，同學們甚至感覺驚喜.

2 總結

大一專業(yè)課，搶前排座位的同學都是學習努力的同學.按照傳統教學，之所以記住的同學少，是因為學生對此公式沒有形成自己的認識，只能死記硬背公式，做習題時套公式. 傳統數學教學注重證明，注重邏輯的嚴密.證明固然重要，但寫進教材的證明是經過數學家和數學教育家的精心組織和安排的，把數學家解決問題的思維過程，分析問題和思想方法淹沒在知識里，表現為學術形態(tài). 對學生來說非常枯燥，感覺像空中樓閣. 善于思考的學生會問：已經有如下最簡單，最直觀的標準正交基了，

ε1=(1,0,0)′，,ε2=(0,1,0)′，,ε3=(0,0,1)′

為什么還要找各式各樣的標準正交基？沒有清楚回答，抹殺學生的興趣和求知欲.

按照第二教學設計進行教學過程，重點是介紹此公式的幾何直觀背景，即在地方院校數學專業(yè)學生的數學現實基礎之上，重走此定理的發(fā)現過程. 在這類學校，直接在Rn上講相關理論，有很大一部分學生學起來很吃力，但是先在R3維空間上講清楚之后，再在n維空間上講相關理論，他們理解就沒有難度了.也就是將施密特正交化過程的學術形態(tài)轉化成了其教學形態(tài).這樣的教學設計無聲地告訴學生此知識點是如何產生的，為什么重要，解決了什么問題.

按照后者進行教學，效果好的原因是按照數學教學形態(tài)進行教學，有利于提高和培養(yǎng)學生的數學直覺及素養(yǎng)，更加重要的是對于地方師范院校數學專業(yè)這些普通的學生，感覺數學概念，定理和公式原來離自己那么近，更有信心和動力學好數學.這樣的教學讓普通的學生覺得自己能學數學，通過日積月累的進步給學生信心，讓同學們覺得自己能學好數學.教材呈現的是數學的學術形態(tài)， 教師的責任之一是把數學的學術形態(tài)轉換成數學的教育形態(tài)[1]. 數學的教育形態(tài)會根據學生的數學現實而變化，不同教師設計的教學形態(tài)也不一樣，這就是數學教育的多樣性.