環R+uR+vR+uvR上線性碼的MacWilliams恒等式

王艷萍

(宿州學院數學與統計學院，安徽宿州 234000)

0 引言

自Hammons 等人研究了二元碼可看成在Gray映射下的二元像[1]，Gray映射就被編碼愛好者作為重點研究的對象，使有限域上的碼有了新的討論.而對于一些碼的重量分布，一些學者也進行了大量討論.如：文獻[2-5]研究了Z4上碼的一些分布以及對應的MacWilliams 恒等式；文獻[6-10]討論了不同環上的一些MacWilliams 恒等式.而本文先是給出了環R+uR+vR+uvR(u2=-u,v2=-v,uv=vu)上的定義，接著給出了該環上的碼對應的不同重量計數器，最后在此基礎上研究了環上線性碼以及和它們對偶碼之間的不同分布所對應的MacWilliams 恒等式.這些理論研究，為編碼譯碼提供了重要的理論依據.

1 預備知識

記R=R+uR+vR+uvR={a+ub+vc+uvd|a,b,c,d∈R}，且滿足u2=-u,

v2=-v,uv=vu.環R：以<λ>為極大理想；設p是奇數，是R/<λ>的特征.R是有限鏈環，則R不是有限鏈環.假定下文所有的R都是R+uR+vR+uvR.

αiαj=0(i≠j).而<αi>={αix|x∈R},有R?<α1>⊕<α2>⊕<α3>⊕<α4>.于是?r∈R，可以唯一有r=α1x+α2y+α3z+α4t,x,y,z,t∈R.

?X,Y∈Rn，X=(x0,x1,…,xn-1)，Y=(y0,y1,…,yn-1)，內積：

X?Y=x0y0+x1y1+…+xn-1yn-1，

若X?Y=0，稱X,Y正交.環Rn上的線性碼C,C的對偶碼：C⊥={x|x?y=0,?y∈C}，

若C=C⊥,稱C是自對偶碼.定義：

C1={x∈Rn|?y,z,t∈Rn,α1x+α2y+α3z+α4t∈C},

C2={y∈Rn|?x,z,t∈Rn,α1x+α2y+α3z+α4t∈C}，

C3={z∈Rn|?x,y,t∈Rn,α1x+α2y+α3z+α4t∈C}，

C4={t∈Rn|?x,y,z∈Rn,α1x+α2y+α3z+α4t∈C}，

由文[11]：Ci(i=1,2,3,4)為R上長n的線性碼；C=α1C1+α2C2+α3C3+α4C4，且表示唯一.

2 Gray映射

定義φ:R→R4,?r=α1x+α2y+α3z+α4t∈R,x,y,z,t∈R，有φ(r)=(x,y,z,t)

且定義wL(r)=wH(x,y,z,t).將其擴展成Φ：Rn→R4n，?c=(c0,c1,…cn-1)∈Rn，

Φ(c)=(x0,x1,…,xn-1,y0,y1,…,yn-1,z0,z1,…,zn-1,t0,t1,…,tn-1)∈R4n，

命題1環R碼C=α1C1+α2C2+α3C3+α4C4，則：

(1)C⊥亦是R上的線性碼；(2)Φ(C)=C1?C2?C3?C4,|C|=|C1||C2||C3||C4|;

3 線性碼的MacWilliams 恒等式

碼C的廣義對稱重量計數器：

C的Lee重量分布：{B0,B1,…,B4n}，其中Bi：Lee重量是i的碼字的個數，0i4n；C的Lee重量計數器：則

令q=|R/<λ>|，有|R|=q4l.無特殊說明，本文設R={g1,g2,…,gq4l}，且g1,g2,…,gq4l是按照一定順序排列的互不相同的元素.本文記g1=0，?c=(c0,c1,…cn-1)∈Rn，ni(c)：c中值是gi的元素成分個數，0iq4l.對?gi∈Rn，記I(i)=wL(gi).C的完全重量計數器：

定理1C是R上長為n的線性碼，則：

(1)LeeC(X,Y)=SweC(X4,X3Y,X2Y2,XY3,Y4);

(2)SweC(X0,X1,X2,X3,X4)=CweC(XI(1),XI(2),…,XI(q4l))；

(3)HamC(X,Y)=SweC(X,Y,Y,Y,Y);

(4)LeeC(X,Y)=HamΦ(C)(X,Y);

(5)HamC(X,Y)=CweC(X,Y,…,Y).

證明(1)對?c∈C，n=w0(c)+w1(c)+w2(c)+w3(c)+w4(c)，

wL(c)=w1(c)+2w2(c)+3w3(c)+4w4(c)，則

(2)如果I(i)=j,1iq4l,0j4，則ni(c)計數于wj(c)，易證

SweC(X0,X1,X2,X3,X4)=CweC(XI(1),XI(2),…,XI(q4l))；

(3)wH(c)=w1(c)+w2(c)+w3(c)+w4(c)，則

(5)因g1=0，則wH(c)=n2(c)+n3(c)+…+nq4l(c)，進而

aj,i,bj,i,dj,i,fj,i∈Fp,0im-1,0jl-1，此表示唯一.

對?c∈R，c為上述的表示.R上的復值映射θc：對?c′∈R有

擴展到Rn，Θc：?c′∈Rn,Θc(c′)=θ1(c?c′).下面我們給出后續知識用到的重要引理.

證明……