環(huán)R+uR+vR+uvR上線性碼的MacWilliams恒等式

王艷萍

(宿州學院數學與統計學院，安徽宿州 234000)

0 引言

自Hammons 等人研究了二元碼可看成在Gray映射下的二元像[1]，Gray映射就被編碼愛好者作為重點研究的對象，使有限域上的碼有了新的討論.而對于一些碼的重量分布，一些學者也進行了大量討論.如：文獻[2-5]研究了Z4上碼的一些分布以及對應的MacWilliams 恒等式；文獻[6-10]討論了不同環(huán)上的一些MacWilliams 恒等式.而本文先是給出了環(huán)R+uR+vR+uvR(u2=-u,v2=-v,uv=vu)上的定義，接著給出了該環(huán)上的碼對應的不同重量計數器，最后在此基礎上研究了環(huán)上線性碼以及和它們對偶碼之間的不同分布所對應的MacWilliams 恒等式.這些理論研究，為編碼譯碼提供了重要的理論依據.

1 預備知識

記R=R+uR+vR+uvR={a+ub+vc+uvd|a,b,c,d∈R}，且滿足u2=-u,

v2=-v,uv=vu.環(huán)R：以<λ>為極大理想；設p是奇數，是R/<λ>的特征.R是有限鏈環(huán)，則R不是有限鏈環(huán).假定下文所有的R都是R+uR+vR+uvR.

αiαj=0(i≠j).而<αi>={αix|x∈R},有R?<α1>⊕<α2>⊕<α3>⊕<α4>.于是?r∈R，可以唯一有r=α1x+α2y+α3z+α4t,x,y,z,t∈R.

?X,Y∈Rn，X=(x0,x1,…,xn-1)，Y=(y0,y1,…,yn-1)，內積：

X?Y=x0y0+x1y1+…+xn-1yn-1，

若X?Y=0，稱X,Y正交.環(huán)Rn上的線性碼C,C的對偶碼：C⊥={x|x?y=0,?y∈C}，

若C=C⊥,稱C是自對偶碼.定義：

C1={x∈Rn|?y,z,t∈Rn,α1x+α2y+α3z+α4t∈C},

C2={y∈Rn|?x,z,t∈Rn,α1x+α2y+α3z+α4t∈C}，

C3={z∈Rn|?x,y,t∈Rn,α1x+α2y+α3z+α4t∈C}，

C4={t∈Rn|?x,y,z∈Rn,α1x+α2y+α3z+α4t∈C}，

由文[11]：Ci(i=1,2,3,4)為R上長n的線性碼；C=α1C1+α2C2+α3C3+α4C4，且表示唯一.

2 Gray映射

定義φ:R→R4,?r=α1x+α2y+α3z+α4t∈R,x,y,z,t∈R，有φ(r)=(x,y,z,t)

且定義wL(r)=wH(x,y,z,t).將其擴展成Φ：Rn→R4n，?c=(c0,c1,…cn-1)∈Rn，

Φ(c)=(x0,x1,…,xn-1,y0,y1,…,yn-1,z0,z1,…,zn-1,t0,t1,…,tn-1)∈R4n，

命題1環(huán)R碼C=α1C1+α2C2+α3C3+α4C4，則：

(1)C⊥亦是R上的線性碼；(2)Φ(C)=C1?C2?C3?C4,|C|=|C1||C2||C3||C4|;

3 線性碼的MacWilliams 恒等式

碼C的廣義對稱重量計數器：

C的Lee重量分布：{B0,B1,…,B4n}，其中Bi：Lee重量是i的碼字的個數，0i4n；C的Lee重量計數器：則

令q=|R/<λ>|，有|R|=q4l.無特殊說明，本文設R={g1,g2,…,gq4l}，且g1,g2,…,gq4l是按照一定順序排列的互不相同的元素.本文記g1=0，?c=(c0,c1,…cn-1)∈Rn，ni(c)：c中值是gi的元素成分個數，0iq4l.對?gi∈Rn，記I(i)=wL(gi).C的完全重量計數器：

定理1C是R上長為n的線性碼，則：

(1)LeeC(X,Y)=SweC(X4,X3Y,X2Y2,XY3,Y4);

(2)SweC(X0,X1,X2,X3,X4)=CweC(XI(1),XI(2),…,XI(q4l))；

(3)HamC(X,Y)=SweC(X,Y,Y,Y,Y);

(4)LeeC(X,Y)=HamΦ(C)(X,Y);

(5)HamC(X,Y)=CweC(X,Y,…,Y).

證明(1)對?c∈C，n=w0(c)+w1(c)+w2(c)+w3(c)+w4(c)，

wL(c)=w1(c)+2w2(c)+3w3(c)+4w4(c)，則

(2)如果I(i)=j,1iq4l,0j4，則ni(c)計數于wj(c)，易證

SweC(X0,X1,X2,X3,X4)=CweC(XI(1),XI(2),…,XI(q4l))；

(3)wH(c)=w1(c)+w2(c)+w3(c)+w4(c)，則

(5)因g1=0，則wH(c)=n2(c)+n3(c)+…+nq4l(c)，進而

aj,i,bj,i,dj,i,fj,i∈Fp,0im-1,0jl-1，此表示唯一.

對?c∈R，c為上述的表示.R上的復值映射θc：對?c′∈R有

擴展到Rn，Θc：?c′∈Rn,Θc(c′)=θ1(c?c′).下面我們給出后續(xù)知識用到的重要引理.

證明R上的所有非零理想：Rr,s,t,w=<α1λr>⊕<α2λs>⊕<α3λt>⊕<α4λw>，0r,s,t,wl.對?c,c′∈R，且令c,c′為上述表示，有

定理2環(huán)R上的碼C，有

接下來對廣義對稱重量計數器的MacWilliams 恒等式進行討論.

設D0={0},D1=(<α1>∪<α2>∪<α3>∪<α4>)D0，

D2=((<α1>⊕<α2>)∪(<α1>⊕<α3>)∪(<α1>⊕<α4>)∪(<α2>⊕<α3>)∪ (<α2>⊕<α4>)∪(<α3>⊕<α4>))(D1∪D0)，

D3=((<α1>⊕<α2>⊕<α3>)∪(<α1>⊕<α2>⊕<α4>)∪(<α1>⊕<α3>⊕<α4>) ∪(<α2>⊕<α3>⊕<α4>))(D2∪D1∪D0)，

D4=(<α1>⊕<α2>⊕<α3>⊕<α4>))(D3∪D2∪D1∪D0)，

則?c∈Dj,wL(c)=j,0j4.

定理3對?c∈R，有

(3)如果g∈D2，令g∈(<α1>{0})⊕(<α2>{0})，則有

易證

(4)如果g∈D3，令g∈(<α1>{0})⊕(<α2>{0})⊕(<α3>{0})，

同理

定理4環(huán)R上的碼C，有SweC(X0,X1,X2,X3,X4)

X0+(3ql-4)X1+(3q2l-9ql+6)X2+(q3l-4q2l+5ql-2)X3-(ql-1)3X4，

X0+(2ql-4)X1+(q2l-6ql+6)X2+(-2q2l+6ql-4)X3+(ql-1)2X4，

X0+(ql-4)X1+(6-3ql)X2+(3ql-4)X3+(1-ql)X4，

X0-4X1+6X2-4X3+X4).

證明由定理1(2)與定理2可得SweC⊥(X0,X1,X2,X3,X4)

|D0|=1,|D1|=4(ql-1),|D2|=6(ql-1)2,|D3|=4(ql-1)3,|D4|=(ql-1)4,?c∈Dj,wL(c)

=j,0j4，則由定理3得：

=(X0+4(ql-1)X1+6(ql-1)2X2+4(ql-1)3X3+(ql-1)4X4)w0(c)

(X0+(3ql-4)X1+(3q2l-9ql+6)X2+(q3l-4q2l+5ql-2)X3-(ql-1)3X4)w1(c)

(X0+(2ql-4)X1+(q2l-6ql+6)X2+(-2q2l+6ql-4)X3+(ql-1)2X4)w2(c)

(X0+(ql-4)X1+(6-3ql)X2+(3ql-4)X3+(1-ql)X4)w3(c)

(X0-4X1+6X2-4X3+X4)w4(c)，因此可證結論成立.

注由定理1(3)，再結合定理4，易證推論1的結論.