弱網與擬網及其收斂性探究

丁玄伊，朱培勇

(電子科技大學數學科學學院，四川成都 611731)

0 引 言

從文獻[1]可以看出:早年間偏序定義并不統一，其中給出的三種偏序的定義，其實就是現在的傳遞關系、擬序和偏序.文獻[1]提到將滿足三種性質的偏序集引入網中，網的某一定理不成立.在文獻[2]，作者系統的討論了三種關系的序結構. 眾所周知，收斂性是數學研究的重要課題.在拓撲學中網收斂是大多數收斂問題的概括與抽象，因此對網與網收斂問題進行研究是拓撲學研究的重要內容之一.在文獻[5]中就利用了非標準分析的方法, 在非標準擴大模型下, 對網收斂性進行了非標準刻畫.

早期的偏序集定義不統一, 不同的偏序集引入網的概念會使得網的各種性質或多或少發生改變.如今的網大多都是由滿足三條性質的偏序集引入，因此能否在偏序中去掉自反性或者反稱性，保留傳遞性引入比拓撲學中的網更弱的新型網，用于刻畫收斂性問題?引入的新型網是否像拓撲學中的網一樣能夠很好地或者較好地刻畫與描述一些數學對象?本文將就這兩個問題進行研究.

1 預備知識

定義1[2]設是集合S上的一個二元關系.(1)稱是S上的一個傳遞關系，如果對于?x,y,z∈S,當xy并且yz時，總有xz；(2)稱是S上的一個擬序關系，如果是具有自反性(?x,y∈S，總有xx)的傳遞關系；(3)稱是S上的一個偏序關系，如果是一個具有反稱性(?x,y∈S，當xy且yx時，有x=y)的擬序關系.

因此，自然有如下定義

定義2(1)當是S上的一個偏序關系時，稱序偶(S,)是一個偏序集(見[3])；……