基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和二階多項(xiàng)式的高程異常擬合精度分析

宣善欽 邵先鋒

(國網(wǎng)安徽省電力有限公司建設(shè)分公司，安徽 合肥 230022)

1 概述

傳統(tǒng)的高程測量是利用幾何水準(zhǔn)法來進(jìn)行的，對于一些地勢起伏多變的區(qū)域，水準(zhǔn)法的實(shí)施就變得非常艱難，并且范圍較大的水準(zhǔn)測量需要大量的人力和物力，測量的效率也相對較低[1]。衛(wèi)星定位技術(shù)可以快速獲取點(diǎn)位的高程信息，但基準(zhǔn)面為參考橢球面，與傳統(tǒng)高程測量的基準(zhǔn)面存在差距，稱為高程異常。

目前針對高程異常的影響，常采用多項(xiàng)式構(gòu)建擬合方程，基于最小二乘準(zhǔn)則擬合出多項(xiàng)式的參數(shù)，以此來外推高程異常值。唐詩華等針對GPS高程擬合方法的精度問題，根據(jù)測量實(shí)例比較了各種最小二乘法的擬合能力[2]。研究表明：最小二乘估計(jì)在高程擬合中精度最高。雷道豎通過研究發(fā)現(xiàn)整體最小二乘法進(jìn)行GPS高程擬合優(yōu)于傳統(tǒng)最小二乘法[3]。在高程擬合方面，岳仁賓[4]以及陳福釗[5]通過實(shí)例驗(yàn)證了應(yīng)用擬合法求解高程異常是可行的。

隨著機(jī)器學(xué)習(xí)算法的不斷發(fā)展，如BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，采用機(jī)器學(xué)習(xí)來進(jìn)行高程異常擬合也引起了許多學(xué)者的廣泛關(guān)注。鄧才林等采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對湖南省新化縣進(jìn)行高程異常擬合[6]。閆少霞對BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擬合結(jié)果進(jìn)行了精度分析，并將其應(yīng)用于礦區(qū)開采沉陷問題中[7]。

本文分別基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與二階多項(xiàng)式進(jìn)行高程異常擬合，分別采用內(nèi)符合精度和外符合精度對擬合結(jié)果進(jìn)行精度評定，比較與分析兩種高程異常擬合的精度。

2 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和二階多項(xiàng)式的高程異常擬合方法

2.1 基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的高程異常擬合

基本BP算法包括兩個(gè)方面：信號的前向傳播和誤差的反向傳播。即計(jì)算實(shí)際輸出時(shí)按從輸入到輸出的方向進(jìn)行，而權(quán)值和閾值的修正從輸出到輸入的方向進(jìn)行。

如圖1所示，xj表示輸入層第j個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸入，j=1,…,M；wij表示隱含層第i個(gè)節(jié)點(diǎn)到輸入層第j個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的權(quán)值；θi表示隱含層第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的閾值；φ(x)表示隱含層的激勵(lì)函數(shù)；wki表示輸出層第k個(gè)節(jié)點(diǎn)到隱含層第i個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的權(quán)值，i=1,…,q；ak表示輸出層第k個(gè)節(jié)點(diǎn)的閾值,k=1,…,L；ψ(x)表示輸出層的激勵(lì)函數(shù)；ok表示輸出層第k個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸出。

1)信號的前向傳播過程。

隱含層第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸入neti：

(1)

隱含層第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸出yi：

(2)

輸出層第k個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸入netk：

(3)

輸出層第k個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸出ok：

(4)

2)誤差的反向傳播過程。

誤差的反向傳播，即首先由輸出層開始逐層計(jì)算各層神經(jīng)元的輸出誤差，然后根據(jù)誤差梯度下降法來調(diào)節(jié)各層的權(quán)值和閾值，使修改后的網(wǎng)絡(luò)的最終輸出能接近期望值[19]。

對于每一個(gè)樣本p的二次型誤差準(zhǔn)則函數(shù)為Ep：

(5)

系統(tǒng)對P個(gè)訓(xùn)練樣本的總誤差準(zhǔn)則函數(shù)為：

(6)

根據(jù)誤差梯度下降法依次修正輸出層權(quán)值的修正量Δwki，輸出層閾值的修正量Δak，隱含層權(quán)值的修正量Δwij，隱含層閾值的修正量Δθi。

(7)

輸出層權(quán)值調(diào)整公式：

(8)

輸出層閾值調(diào)整公式：

(9)

隱含層權(quán)值調(diào)整公式：

(10)

隱含層閾值調(diào)整公式：

(11)

對式(1)～式(6)求偏導(dǎo)可得：

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

將式(12)～式(16)代入式(7)～式(11)可得基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的高程異常擬合算法：

(17)

(18)

(19)

(20)

2.2 基于二階多項(xiàng)式的高程異常擬合方法

基于二階多項(xiàng)式的高程異常擬合的函數(shù)關(guān)系式可表達(dá)為：

ζ=a0+a1x+a2y+a3xy+a4x2+a5y2

(21)

其中，(a0,…,a9)為二階多項(xiàng)的系數(shù);(x，y)為觀測點(diǎn)位的平面坐標(biāo);ζ為點(diǎn)位的高程異常。

若區(qū)域內(nèi)有m個(gè)GNSS測量點(diǎn)，選擇其中n個(gè)作為擬合點(diǎn)有m個(gè)已知點(diǎn)，根據(jù)Gauss-Markov模型構(gòu)建誤差方程：

V=AX-ζ

(22)

其中，

根據(jù)式(22)構(gòu)建Lagrange損失函數(shù)：

Φ=VTPV+2KT(V-AX+ζ)

(23)

基于最小二乘準(zhǔn)則eTPe=min，利用自由極值原理對式(23)對X，V和K求導(dǎo)并令導(dǎo)數(shù)為0可得：

(24)

(25)

(26)

由式(24)可得誤差向量表達(dá)式：

V=P-1K

(27)

將式(27)代入到式(26)中可得Lagrange乘子的表達(dá)式：

K=P(AX-ζ)

(28)

將式(28)代入式(25)可得參數(shù)X的最小二乘解：

X=(ATA)-1ATζ

(29)

3 實(shí)驗(yàn)分析

本文的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)采用某地區(qū)所測的點(diǎn)位平面坐標(biāo)、正常高以及大地高見表1。點(diǎn)位的空間分布如圖2所示，分別采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和多項(xiàng)式來進(jìn)行高程異常擬合。為了能客觀地評定GPS水準(zhǔn)計(jì)算的精度，采用內(nèi)符合精度和外符合精度檢核，內(nèi)符合精度表明的是擬合點(diǎn)與所選模型的符合程度，而外符合精度表示的是檢核點(diǎn)與所選模型的符合程度。

表1 某地區(qū)GPS水準(zhǔn)聯(lián)測數(shù)據(jù)

1)內(nèi)符合精度。

(30)

其中，n為參與計(jì)算的已知點(diǎn)個(gè)數(shù)。

2)外符合精度。

(31)

其中，n為參與檢核點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

分別采用基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和基于二階多項(xiàng)式進(jìn)行該地區(qū)高程異常擬合，結(jié)果如圖3，表2，表3所示。

表2 多項(xiàng)式與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的擬合點(diǎn)殘差

表3 多項(xiàng)式與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的檢核點(diǎn)殘差

由上述公式計(jì)算出兩種方法的內(nèi)外符合精度，具體結(jié)果如表4所示。

根據(jù)圖3和表2～表4可以發(fā)現(xiàn)：BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合可以通過不斷地調(diào)整它的權(quán)值與閾值來調(diào)整它的擬合誤差，在圖3a)中，我們可以清楚地看到由BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來擬合得到的誤差在0附近波動，波動較小，而二階多項(xiàng)式擬合得到的誤差的波動幅度明顯比由BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合得到的誤差要大，表明BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合的中誤差比較小。在圖3b)中，由BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合法的檢核點(diǎn)誤差整體效果更優(yōu)。通過計(jì)算內(nèi)外符合精度也說明BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的效果要優(yōu)于二階多項(xiàng)式的擬合結(jié)果。

表4 多項(xiàng)式與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的內(nèi)外符合精度 cm

4 結(jié)語

本文對基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和基于二階多項(xiàng)式的高程異常擬合結(jié)果進(jìn)行了精度分析，采用內(nèi)外符合精度對擬合精度進(jìn)行了精度評定，結(jié)果表明：基于BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的效果要優(yōu)于基于二階多項(xiàng)式的擬合結(jié)果。