基于BP神經網絡和二階多項式的高程異常擬合精度分析

宣善欽 邵先鋒

(國網安徽省電力有限公司建設分公司，安徽 合肥 230022)

1 概述

傳統的高程測量是利用幾何水準法來進行的，對于一些地勢起伏多變的區域，水準法的實施就變得非常艱難，并且范圍較大的水準測量需要大量的人力和物力，測量的效率也相對較低[1]。衛星定位技術可以快速獲取點位的高程信息，但基準面為參考橢球面，與傳統高程測量的基準面存在差距，稱為高程異常。

目前針對高程異常的影響，常采用多項式構建擬合方程，基于最小二乘準則擬合出多項式的參數，以此來外推高程異常值。唐詩華等針對GPS高程擬合方法的精度問題，根據測量實例比較了各種最小二乘法的擬合能力[2]。研究表明：最小二乘估計在高程擬合中精度最高。雷道豎通過研究發現整體最小二乘法進行GPS高程擬合優于傳統最小二乘法[3]。在高程擬合方面，岳仁賓[4]以及陳福釗[5]通過實例驗證了應用擬合法求解高程異常是可行的。

隨著機器學習算法的不斷發展，如BP神經網絡，采用機器學習來進行高程異常擬合也引起了許多學者的廣泛關注。鄧才林等采用BP神經網絡對湖南省新化縣進行高程異常擬合[6]。閆少霞對BP神經網絡和RBF神經網絡的擬合結果進行了精度分析，并將其應用于礦區開采沉陷問題中[7]。

本文分別基于BP神經網絡與二階多項式進行高程異常擬合，分別采用內符合精度和外符合精度對擬合結果進行精度評定，比較與分析兩種高程異常擬合的精度。

2 基于BP神經網絡和二階多項式的高程異常擬合方法

2.1 基于BP神經網絡的高程異常擬合

基本BP算法包括兩個方面：信號的前向傳播和誤差的反向傳播。即計算實際輸出時按從輸入到輸出的方向進行，而權值和閾值的修正從輸出到輸入的方向進行。

如圖1所示，xj表示輸入層第j個節點的輸入，j=1,…,M；wij表示隱含層第i個節點到輸入層第j個節點之間的權值；θi表示隱含層第i個節點的閾值；φ(x)表示隱含層的激勵函數；wki表示輸出層第k個節點到隱含層第i個節點之間的權值，i=1,…,q；ak表示輸出層第k個節點的閾值,k=1,…,L；ψ(x)表示輸出層的激勵函數；ok表示輸出層第k個節點的輸出。

1)信號的前向傳播過程。

隱含層第i個節點的輸入neti：

(1)

隱含層第i個節點的輸出yi：

(2)

輸出層第k個節點的輸入netk：

(3)

輸出層第k個節點的輸出ok：

(4)

2)誤差的反向傳播過程。

誤差的反向傳播，即首先由輸出層開始逐層計算各層神經元的輸出誤差，然后根據誤差梯度下降法來調節各層的權值和閾值，使修改后的網絡的最終輸出能接近期望值[19]。

對于每一個樣本p的二次型誤差準則函數為Ep：

(5)

系統對P個訓練樣本的總誤差準則函數為：

(6)

根據誤差梯度下降法依次修正輸出層權值的修正量Δwki，輸出層閾值的修正量Δak，隱含層權值的修正量Δwij，隱含層閾值的修正量Δθi。

(7)

輸出層權值調整公式：

(8)

輸出層閾值調整公式：

(9)

隱含層權值調整公式：

(10)

隱含層閾值調整公式：

(11)

對式(1)～式(6)求偏導可得：

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

將式(12)～式(16)代入式(7)～式(11)可得基于BP神經網絡的高程異常擬合算法：

(17)

(18)

(19)

(20)

2.2 基于二階多項式的高程異常擬合方法

基于二階多項式的高程異常擬合的函數關系式可表達為：

ζ=a0+a1x+a2y+a3xy+a4x2+a5y2

(21)

其中，(a0,…,a9)為二階多項的系數;(x，y)為觀測點位的平面坐標;ζ為點位的高程異常。

若區域內有m個GNSS測量點，選擇其中n個作為擬合點有m個已知點，根據Gauss-Markov模型構建誤差方程：

V=AX-ζ

(22)

其中，

根據式(22)構建Lagrange損失函數：

Φ=VTPV+2KT(V-AX+ζ)

(23)

基于最小二乘準則eTPe=min，利用自由極值原理對式(23)對X，V和K求導并令導數為0可得：

(24)

(25)

(26)

由式(24)可得誤差向量表達式：

V=P-1K

(27)

將式(27)代入到式(26)中可得Lagrange乘子的表達式：

K=P(AX-ζ)

(28)

將式(28)代入式(25)可得參數X的最小二乘解：

X=(ATA)-1ATζ

(29)

3 實驗分析

本文的實驗數據采用某地區所測的點位平面坐標、正常高以及大地高見表1。點位的空間分布如圖2所示，分別采用BP神經網絡和多項式來進行高程異常擬合。為了能客觀地評定GPS水準計算的精度，采用內符合精度和外符合精度檢核，內符合精度表明的是擬合點與所選模型的符合程度，而外符合精度表示的是檢核點與所選模型的符合程度。

表1 某地區GPS水準聯測數據

1)內符合精度。

(30)

其中，n為參與計算的已知點個數。

2)外符合精度。

(31)

其中，n為參與檢核點的個數。

分別采用基于BP神經網絡和基于二階多項式進行該地區高程異常擬合，結果如圖3，表2，表3所示。

表2 多項式與BP神經網絡的擬合點殘差

表3 多項式與BP神經網絡的檢核點殘差

由上述公式計算出兩種方法的內外符合精度，具體結果如表4所示。

根據圖3和表2～表4可以發現：BP神經網絡擬合可以通過不斷地調整它的權值與閾值來調整它的擬合誤差，在圖3a)中，我們可以清楚地看到由BP神經網絡來擬合得到的誤差在0附近波動，波動較小，而二階多項式擬合得到的誤差的波動幅度明顯比由BP神經網絡擬合得到的誤差要大，表明BP神經網絡擬合的中誤差比較小。在圖3b)中，由BP神經網絡擬合法的檢核點誤差整體效果更優。通過計算內外符合精度也說明BP神經網絡的效果要優于二階多項式的擬合結果。

表4 多項式與BP神經網絡的內外符合精度 cm

4 結語

本文對基于BP神經網絡和基于二階多項式的高程異常擬合結果進行了精度分析，采用內外符合精度對擬合精度進行了精度評定，結果表明：基于BP神經網絡的效果要優于基于二階多項式的擬合結果。