例說中學數學中的周期問題

董曉莉

在現實生活中，存在周而復始、循環往復的現象，這種周而復始的性質我們稱之為周期性，具有這樣性質的函數叫周期函數。周期性具有簡單、和諧、對稱等數學美，也蘊含著等價變換和數形結合的重要數學思想方法。因此，我們要十分重視周期問題，充分利用好周期的屬性，幫助我們去分析問題和解決問題。下面例說中學數學中的周期問題，期望能夠起到拋磚引玉的作用。

一、周期函數的定義、教學及作用

1.周期函數的定義

對于函數f（x），如果存在一個常數T（T=0），使得當自變量x取定義域內的任意一個值時，都有f（x+T）=f（x），那么函數f（x）就是周期函數，非零常數T稱作這個函數的周期。對于一個周期函數f（x），如果在它所有的周期中存在一個最小的正數，那么這個最小的正數就叫作f（x）的最小正周期。在周期函數的定義中我們要注意兩個地方，一是對任意的自變量x，恒等式f（x+T）=f（x）都應該成立;二是并不是所有周期函數都有最小正周期。

2.周期函數的教學

在高中數學教學中，周期的定義是在三角函數這一章中出現的，這主要是因為三角函數是刻畫圓周運動的數學模型，“周而復始”的基本特征蘊含在三角函數的性質之中。課本通過探究和觀察三角函數的圖像，使學生先直觀理解，再抽象掌握周期性及周期的定義，然后學會簡單的三角函數的周期求法，因此，教材的安排就顯得合情合理了。在此基礎上，為今后利用周期性去解決一些實際問題創造了必要條件。

3.周期函數的作用

從周期的定義可以看出，周期函數最大的特點就是函數值f（x+T）和函數值f（x）是相等的，所以其最大的作用之一是在求一個函數值遇到困難時，可以轉化為求另一個函數值。另一方面，根據周而復始、循環往復的現象，可以利用數形結合的方法去思考問題。也就是說，我們要從周期的代數意義和幾何意義兩個方面去考慮解決問題。

二、怎樣確定函數的周期

1.代換法

總之，周期是函數的一個重要屬性，而學生對它的認知往往是簡單膚淺的，這個問題在教學中一定要引起教師的高度重視，要想方設法拓展學生對周期內涵和外延的認知程度，特別是它蘊含的等價變換和數形結合的重要數學思想方法，應該讓學生去親身體驗和感受，這對提高學生的數學核心素養大有裨益。