董曉莉


在現實生活中,存在周而復始、循環往復的現象,這種周而復始的性質我們稱之為周期性,具有這樣性質的函數叫周期函數。周期性具有簡單、和諧、對稱等數學美,也蘊含著等價變換和數形結合的重要數學思想方法。因此,我們要十分重視周期問題,充分利用好周期的屬性,幫助我們去分析問題和解決問題。下面例說中學數學中的周期問題,期望能夠起到拋磚引玉的作用。
一、周期函數的定義、教學及作用
1.周期函數的定義
對于函數f(x),如果存在一個常數T(T=0),使得當自變量x取定義域內的任意一個值時,都有f(x+T)=f(x),那么函數f(x)就是周期函數,非零常數T稱作這個函數的周期。對于一個周期函數f(x),如果在它所有的周期中存在一個最小的正數,那么這個最小的正數就叫作f(x)的最小正周期。在周期函數的定義中我們要注意兩個地方,一是對任意的自變量x,恒等式f(x+T)=f(x)都應該成立;二是并不是所有周期函數都有最小正周期。
2.周期函數的教學
在高中數學教學中,周期的定義是在三角函數這一章中出現的,這主要是因為三角函數是刻畫圓周運動的數學模型,“周而復始”的基本特征蘊含在三角函數的性質之中。課本通過探究和觀察三角函數的圖像,使學生先直觀理解,再抽象掌握周期性及周期的定義,然后學會簡單的三角函數的周期求法,因此,教材的安排就顯得合情合理了。在此基礎上,為今后利用周期性去解決一些實際問題創造了必要條件。
3.周期函數的作用
從周期的定義可以看出,周期函數最大的特點就是函數值f(x+T)和函數值f(x)是相等的,所以其最大的作用之一是在求一個函數值遇到困難時,可以轉化為求另一個函數值。另一方面,根據周而復始、循環往復的現象,可以利用數形結合的方法去思考問題。也就是說,我們要從周期的代數意義和幾何意義兩個方面去考慮解決問題。
二、怎樣確定函數的周期
1.代換法
總之,周期是函數的一個重要屬性,而學生對它的認知往往是簡單膚淺的,這個問題在教學中一定要引起教師的高度重視,要想方設法拓展學生對周期內涵和外延的認知程度,特別是它蘊含的等價變換和數形結合的重要數學思想方法,應該讓學生去親身體驗和感受,這對提高學生的數學核心素養大有裨益。