讓直線和平面動起來

劉桂饒

【摘 要】 證明立體幾何中的平行關系時，為了讓學生迅速找到目標線和面，通過直尺平移直線實現突破，從而讓后續的推理論證變得直觀。

【關鍵詞】 直觀感知;位置關系;操作確認;線線平行;線面平行;平移

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出：直觀想象是借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態和變化，利用圖形理解和解決數學問題的素養，是高中數學課程的六大核心素養之一。在立體幾何的教學中，我們應該運用直觀感知、操作確認、推理論證等方法認識和探索空間圖形的性質，建立空間觀念。

直線與平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行（以下簡稱線面平行的判定）。用符號表示為：若aα，bα，a ∥b，則a∥α。利用線面平行的判定定理判定線面平行時，在面α內尋找與a平行的直線b是難點。

由兩個平面平行定義得：如果兩個平面平行，那么一個平面內的直線平行于另一個平面（以下簡稱面面平行的性質）。用符號表示為：若α∥β，aα，則a∥β。利用面面平行的性質判定線面平行時，找過直線a且與平面β平行的平面是難點。

如何突破這些難點，迅速解決相關問題？請看下列幾個案例：

【案例1】如圖1，在四棱錐P-ABCD中，M，N分別是AB，PC的中點，若ABCD是平行四邊形，求證：MN∥平面PAD。（江蘇出版社《普通高中課程標準實驗教科書》必修2，第38頁）

分析方法1：

（1）利用線面平行的判定定理證明MN∥平面PAD，就是在平面PAD內找到一條直線a與MN平行。

（2）猜想直線PA、PD、AD與MN平行？但它們與MN都異面。

（3）平面PAD內哪條直線與MN平行？

（4）如圖2，嘗試用三角尺平移MN到面PAD內：點M到點A;點N到PD上，設為E（直觀感知E為線段PD的中點）。

（5）由此本題可以取PD的中點E，通過證明AE ∥MN，從而證明MN∥平面PAD（證明略）。

分析方法2：

（1）利用面面平行的性質證明MN∥平面PAD，就是要找到過直線MN且與平面PAD平行的平面。

（2）過直線MN且與平面PAD平行的平面是哪個平面？

（3）嘗試平移平面PAD到過直線MN。我們可以通過平移直線來實現。

（4）如圖3，平移直線AD到過點M，交CD于F（直觀感知F即為線段PD的中點）。相交直線MN、MF所確定的平面NMF即為所找平面。

（5）由此本題可以取CD的中點F，通過證明平面NMF∥平面PAD，從而證明MN∥平面PAD（證明略）。

【案例2】如圖4，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC。

（1）求證：D1C⊥AC1;

（2）試在棱DC上確定一點E，使D1E∥平面A1BD，并說明理由。（2008年江蘇省高考考試說明，典型題示例第51頁）

分析：

（1）利用線面平行的判定定理解本題時，發現無法平移D1E到平面A1BD內，因為D1E不確定，點E未知。如何解決？

（2）逆向思維，平面A1BD內哪條直線與D1E平行？A1D？A1B？BD？分別平移A1D，A1B，BD到過點D1（D1E雖不確定，但其中點D1是已知的）。

（3）如圖5，平移A1D到過點D1時，與DC不相交;如圖6，平移BD到過點D1時，與DC也不相交;如圖7，平移A1B到過點D1時，與DC相交，其交點設為E。

（4）由作法知：A1D1∥AD，A1D1∥平面ABCD，所以A1D1平行于平面ABCD與平面A1D1EB的交線BE，從而四邊形ABED為平行四邊形，所以E為棱DC中點，所以當點E為棱DC中點時，D1E∥平面A1BD。

（5）由此本題可以取棱DC的中點E，通過證明D1E∥A1B，從而證明MN∥平面PAD（證明略）。

【案例3】如圖8，已知有公共邊AB的兩個全等矩形ABCD和ABEF不在同一平面內，P，Q分別是對角線AE，BD上的動點，當滿足什么條件時，PQ∥平面CBE？（江蘇出版社《普通高中課程標準實驗教科書》必修2，第38頁）

分析方法1：

（1）利用線面平行的判定定理來確定P，Q兩點。

（2）顯然，EB、BC與PQ不平行，CE呢？（EB、BC均與PQ異面，三條直線中只可能是CE）

（3）如圖9，沿線段EA平移CE（AE與CE有交點），與EA、BD分別相交于P、Q。

（4）由作法知，A，Q，C是平面EAC和平面ABCD的公共點，所以A，Q，C三點共線。Q為AC，BD的交點，為BD的中點，此時P是AE的中點。所以當P、Q分別是AE，BD的中點時，PQ∥平面CBE。（證明略）

分析方法2：

（1）利用面面平行的性質來確定P，Q兩點：平移平面CBE。

（2）如圖10，在平面ABEF內平移BE交AE于P，交AB于N;在平面ABCD內平移BC，過N交BD于Q。

（3）由作法知：平面ABEF內，有=;平面ABCD內，=。又EA=BD，所以P，Q滿足EP=BQ時，PQ∥平面CBE。（證明略）

回顧與反思：

方法1和方法2中結論不同，方法1的結論僅是方法2中的一種特殊情況。那么方法1是不是只找到了一種特殊情況而漏掉了一般情況？讓我們回到方法1中接著分析：

（5）CE是面CBE內很特殊的與PQ平行的直線，面CBE內會不會還有其余直線與PQ平行呢？是怎樣的直線？

（6）讓我們平移PQ到平面CBE內看看：點P到點E;點Q到直線BC上（不一定是點C）。

（7）如圖11，取線段BC除端點外任意一點M，連接EM。沿線段AE平移EM（AE與EM有交點），分別與AE、BD相交于點P、Q。

（8）由作法知：A，Q，M是平面EAM和平面ABCD的公共點，所以A，Q，M三點共線。平面EAM內，=，平面ABCD內，=，所以=，即EP=BQ。此時PQ∥平面CBE（證明略）。

（9）如圖12，M為線段BC延長線上任意一點，連接EM。沿線段AE平移EM，分別與AE、BD相交于點P、Q。同樣，當點P、Q滿足EP=BQ時，PQ∥平面CBE。

（10）如圖13，當M為線段BC反向延長線上任意一點時，連接EM，沿線段AE平移EM，發現EM與BD不相交（此時線段EA、線段EM，均在線段BD同側，沿線段AE平移線段EM時，是遠離線段BD而去，故與線段BD不相交）。

綜合以上分析，方法1可以得到與方法2同樣的結論：當P，Q滿足EP=BQ時，PQ∥平面CBE。（證明略）

在進行復雜邏輯推理或者數學運算時，我們可以運用直觀想象來探尋邏輯推理或者數學運算的方向，把復雜問題簡單化。這樣的課堂能充分發揮學生的主觀能動性，讓學生積極參與其中，動手操作，從實踐中猜想數學規律，進而檢驗猜想的真假，既活躍了數學課堂的氣氛，激發學生學習數學的興趣，又讓學生體驗到了數學發現和創造的歷程，發展了他們的創新意識，形成了數學直觀。