微積分在經濟中的應用
——彈性分析

竇躍文

(天津市河東區職工大學 天津 300170)

數學學科是當今社會最為重要和最為基礎的學科,它不僅為自然科學、工程技術以及社會科學提供了有力的工具,而且隨著現代科學技術和社會的發展,不斷產生新的高科技,成為現代經濟技術的關鍵部分。微積分作為數學的一個分支,在經濟科學、管理科學中也有著廣泛的應用,隨著計算機技術及其它高科技的普及和發展,它在經濟及其管理中的重要性日漸突出,并且越來越多的滲透到經濟領域。

經濟學應用數學有客觀基礎。經濟學研究的對象是人與人之間通過“物的交換”是有量化規則的，經濟學基本范疇如需求、供給、價格等是量化的概念，經濟學所揭示的規律性往往需要數量的說明。彈性分析就是研究價格變化對市場需求量和供給量的影響程度。

一、彈性的概念

函數的改變量與函數的變化率實際上是絕對改變量與絕對變化率，僅僅研究這些還是不夠，在市場上，假若一千克大米由2元上漲1元和一千克黃金由100000元上漲100元，哪一種商品價格的波動對你震動比較大，顯然是大米，雖然大米每千克單位價格的改變量是1，黃金每千克單位的改變量是100，但這兩個量是絕對改變量，實際上大米的漲幅是1/2=50%，黃金的漲幅是100/100000=0.1%，當然大米的漲幅對我們振動比較大。這里就涉及到相對改變量，同樣對一個函數y=f(x)，當自變量x相對改變時，因變量y的相對改變受到什么影響。于是我們引入彈性這個概念。

彈性是用來描述一個經濟變量對另一個經濟變量變化時,所做出反應的強弱程度。即彈性是用來描述一個量對另一個量的相對變化率的一個量。

從定義可以看出函數f(x)的彈性是函數的相對該變量與自變量的相對改變量比值的極限，它是函數的相對變化率，或解釋成當自變量變化百分之一時函數變化的百分數。彈性是一個無量綱的數值，這一數值與計量單位無關。

例1.當a、b、α為常數時，求下列函數的彈性函數及在點x=1處的點彈性，并闡述其經濟意義。

二、常用彈性函數

彈性分析(elasticity analysis)和邊際分析(marginal analysis)是經濟學上研究自變量和因變量間定量變動關系的兩種基本手段。邊際分析是分析變量間絕對變動關系；而彈性分析是分析變量間相對變動關系，包括需求彈性、供給彈性、廣告彈性等。

(一)需求彈性

需求彈性是衡量一種商品的需求對于其影響因素變化做出反應的敏感程度。即需求彈性是需求的一種影響因素(自變量)的值每變動百分之一所引起的需求量變化的百分比。需求量是指在一定條件下，消費者有支付能力并愿意購買的商品量。消費者對某種商品的需求量是由多種因素決定的，商品價格是影響需求量的一個主要因素，但還有許多其它因素，如消費者的收入增減、其它代用品的價格、社會消費水平等都會影響需求量。按影響需求的因素主要分為需求價格彈性(demand elasticity)、需求交叉彈性(cross-price elasticity)、需求收入彈性(income elasticity)。

1.需求價格彈性

(1)缺乏彈性(inelasticity)Edp<1：需求量的變動率小于價格的變動率；

(2)富有彈性(elasticity)Edp >1；

(3)單一彈性(unitary elasticity)Edp = 1，特殊商品，計劃支出：在該商品上的支出不變；

(4)完全彈性(perfect elasticity)Edp→∞，特殊情況，完全競爭企業需求曲線、計劃價格；

(5)完全無彈性(perfect inelasticity)Edp=0，特殊情況，價格的變動對需求量完全無影響絕對必需第三方支付。

決定需求價格的因素有：該商品的必需程度(necessity)，替代品的可獲性(availability of substitute goods)，在消費總支出中占有比例的大小(rate)，考察的時間長短(time)，商品定義的寬窄(scope)。不同國家、不同時期、不同地區不同人的需求價格彈性不相同，不能簡單的照搬。

(2)Edp|p = 4= -0.92，Edp|p = 4.35= -1，Edp|p = 5= -1.15。

2.需求收入彈性

3.需求交叉價格彈性

EYX>0：替代品，兩種商品可以相合替代，彈性越大，替代性越強；

EYX<0：互補品，彈性絕對值越大，互補性越強；

EYX=0：獨立品。

交叉彈性的應用于判斷商品間的替代、互補關系，分析替代品、互補品價格變動對本產品的需求影響。

(二)供給彈性

(三)廣告彈性

需求的廣告彈性 = 需求量變動的百分比 / 廣告支出變動的百分比。廣告彈性系數越大，銷售量對廣告預算變化的反應就越敏感。

在商品經濟中，商品經營者關心的是提價(Δp>0)或降價(Δp<0)對總收益的影響。下面利用需求價格彈性的概念，可以得出價格變動如何影響銷售收入的結論，即需求價格彈性對企業收入的影響。企業的銷售收入與商品價格和銷售量相關：R(Q)= P·Q，

dR(Q)= QdP + PdQ= QdP(1-Edp)，

dR(Q)/dP=Q(1-Edp)。

∴當Edp>1(稱為高彈性)時,dR(Q)/dP<0,企業收入與價格變動方向相反，此時,降價(Δp<0)將使收益增加，提價(Δp>0)將使收益減少；

當Edp<1(稱為低彈性)時，dR(Q)/dP>0，企業收入與價格變動方向相同，此時,降價(Δp<0)將使收益減少，提價(Δp>0)將使收益增加；

當Edp=1(稱為單位彈性)時,dR(Q)/dP=0，此時,無論是降價還是提價均對收益沒有明顯的影響。

故：當商品的需求價格彈性不同時，企業的定價策略也不一樣。

由此對例2而言當p=4時，|Edp|<1(低彈性),此時降價使收益減少，提價使收益增加；當p=4.35時,|Edp|=1(單位彈性),此時降價、提價對收益沒有明顯的影響；當p=5時,|Edp|>1(高彈性),此時降價使收益增加，提價使收益減少。

彈性分析為經濟管理決策提供數學模型支撐和科學依據，在很大程度上影響企業管理者對市場的分析和決策，為企業增創收益。