以史為鑒創(chuàng)新教學

劉兆偉

一、起疑：提出設想

學校五年級數(shù)學組在進行“多邊形的面積”單元（蘇教版五年級上冊）集體備課時，有教師提出這樣的設想：可以先教學三角形的面積，再教學平行四邊形和梯形的面積，其理由是多邊形中最簡單、最基本的是三角形，任意多邊形都可以分割成若干個三角形，如果知道了三角形的面積公式，那么就可以通過分割求和的方式推導出平行四邊形和梯形的面積公式。這樣的想法在邏輯上是可行的，但問題是現(xiàn)行教材中都是先教學平行四邊形的面積公式，再依據(jù)其推導出三角形的面積公式。能否跳過平行四邊形的面積先教學三角形的面積呢？

二、慎思：可行性分析

數(shù)學史對于學生的數(shù)學學習有著重要的指導作用，學生學習數(shù)學知識的過程可以看作數(shù)學史的濃縮。以史為鑒，從數(shù)學史的角度對上述問題進行分析，能夠讓教師對一些問題獲得更為透徹的理解。

史寧中教授在其所著的《數(shù)學思想概論（第2輯）》中提到：幾何學是古埃及人發(fā)明的，因為實際需要，他們創(chuàng)造了一套有效的計算土地面積的方法，其中包括三角形、長方形和梯形的面積公式，還包括圓面積的近似公式，這些公式被記錄在公元前1700年左右的萊茵德紙草書上。古埃及人用來計算長方形面積的方法為“長乘寬”，古埃及人還知道，直角三角形的面積為長方形面積的一半。顯然，古埃及人是依據(jù)長方形的面積計算方法得到直角三角形的面積計算方法的。

公元1世紀左右，我國第一部數(shù)學專著《九章算術》中也記載了三角形的面積計算方法，人教版教材和蘇教版教材中（如圖1）都以“你知道嗎”欄目向學生介紹了這種計算方法。學生從“你知道嗎”中了解我國古代數(shù)學家是通過“以盈補虛”的方法將三角形等積轉化成長方形，并得到三角形的面積計算方法“半廣以乘正從”。

公元5世紀，古印度的著名數(shù)學家阿耶波多在其所著的《阿里亞哈塔歷書》一書中記載了一般三角形的面積公式。在該書“算術篇”第6回中，阿耶波多準確地給出了一般三角形的面積公式“對于一個三角形，底的一半與高的乘積即為其面積”，顯然這個公式也是依據(jù)長方形的面積公式推導而來的。

從數(shù)學史可以看到，古人是依據(jù)長方形的面積公式得到三角形的面積公式的，并不是依據(jù)平行四邊形的面積公式推導出三角形的面積公式的，所以教師完全可以先教學三角形的面積。

三、明辨：價值叩問

通過上述分析，教師發(fā)現(xiàn)先教學三角形的面積公式是可行的。但有教師提出疑問：依據(jù)平行四邊形的面積公式推導三角形的面積公式極其簡單，學生很容易理解，而依據(jù)長方形的面積公式推導三角形的面積公式在思維上有一定的難度，學生學起來比較困難。放著簡單的路不走，偏走一條困難的路，有價值嗎？確實，沒有價值的教學創(chuàng)新是沒有必要的，因此需要對這兩種不同教學思路的價值進行分析。

（一）“簡單”未必簡單

蘇教版教材在“三角形的面積”一課中安排了兩個例題，例4讓學生計算三個放置于平行四邊形中的三角形的面積（如圖2），從中學生初步發(fā)現(xiàn)三角形的面積公式，例5則依據(jù)兩個完全一樣的三角形與拼成的平行四邊形之間的關系推導并確定三角形的面積公式，其他版本教材中的教學思路與之大致相同。

如果僅從知識獲得的角度來看，按照教材中的步驟進行教學確實簡單、高效。但學生的數(shù)學學習不僅要獲得知識、技能，更要在獲得知識的過程中感悟數(shù)學思想方法、積累數(shù)學活動經(jīng)驗、發(fā)展思維能力。從這個角度來看，在依據(jù)平行四邊形的面積公式推導三角形的面積公式的過程中，最為重要、最為關鍵的是學生怎么能夠想到將三角形轉化成平行四邊形，怎樣將三角形轉化成平行四邊形。教材中的處理方式是直接將最為關鍵的方法呈現(xiàn)給學生，這樣學生完成剩下的探究任務當然不存在任何困難，但在這樣的探究過程中學生充當?shù)闹皇遣僮鞴さ慕巧?，難以獲得深刻的感悟，并發(fā)展思維能力。

如果不給學生提供關鍵方法，會怎樣呢？于是，教師選擇了一個班進行調(diào)研。先在這個班教學平行四邊形的面積，隨后直接出示一個三角形，讓學生探尋其面積。結果，學生能夠想到的方法是將三角形沿高剪成兩個三角形，并打算將其拼成長方形，這樣的想法源自將平行四邊形轉化成長方形時獲得的經(jīng)驗。在探究未果后，教師提醒學生想想其他方法，但學生還是千方百計地想要將三角形等積轉化成長方形，甚至還有學生發(fā)現(xiàn)沿高剪拼的方法能夠將等腰三角形等積轉化成長方形，就是沒有學生想到用兩個完全一樣的三角形拼成一個平行四邊形。

可見，如果教材不做安排，想要讓學生自發(fā)地想到用兩個完全一樣的三角形去拼成一個平行四邊形是非常困難的，“簡單”未必簡單。

（二）困難，但有價值

無論是先學習平行四邊形的面積，還是先學習三角形的面積，本單元第一課時必然承載著讓學生感悟轉化思想的教學目標。如果選擇困難的方式，讓學生先學習三角形的面積，有沒有獨特的價值呢？

1.統(tǒng)一轉化方法，完善認知結構

如果按照教材中的順序進行教學，學生在學完本單元后，頭腦中留下的知識結構如圖3所示，即多邊形的面積公式中最先學習的是長方形的面積，正方形、平行四邊形的面積公式與長方形的面積公式直接相關，而三角形、梯形的面積公式則與長方形的面積公式間接相關。雖然在學習平行四邊形、三角形、梯形的面積公式時都運用了轉化的方法，但它們轉化的方式是不一樣的，平行四邊形轉化成長方形是等積轉化，而三角形、梯形轉化成平行四邊形是加倍轉化。

當先教學三角形的面積，讓學生感悟“以盈補虛”的思想方法后，再讓學生學習平行四邊形、梯形的面積時，他們完全能通過“以盈補虛”的方法將平行四邊形和梯形等積轉化成長方形。這樣不僅在轉化方法上統(tǒng)一了，而且學生還可以對多邊形的面積形成新的知識結構圖（如圖4）。在這個知識結構圖中，長方形的面積公式處于中心位置，其他四個圖形的面積公式都與長方形的面積公式直接相關，從而使面積公式教學緊扣度量的本質(zhì)（度量的本質(zhì)是用單位去測量）。從中學生還能感悟到在探尋圖形的面積時，對于長方形和正方形這樣“方”的圖形可以用面積單位直接度量，對于其他“不方”的圖形可將其“化斜為方”后，再用面積單位去度量，同時，學生在后續(xù)學習圓的面積時自然會想到“化圓為方”，從而統(tǒng)一了轉化方法，完善了認知結構。

4.通過完全歸納，得到一般三角形的面積公式

師：前面我們分別研究了直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形，并得到了它們的面積計算公式，現(xiàn)在你能計算一個三角形的面積嗎？

大家通過研究得到了三種不同的三角形面積公式，這三個公式之間有什么聯(lián)系呢？

交流中明確：依據(jù)積的變化規(guī)律，兩個數(shù)相乘，不管哪個因數(shù)除以2，其積必然也除以2，所以這三個公式的計算結果是一樣的，我們一般用S=a×h÷2來計算（如圖11）。

師：回顧一下研究的過程，我們是怎么得到三角形的面積公式的？

小結：我們先研究了一個方格圖中的直角三角的面積，在研究中我們初步感悟到可以將一個直角三角形轉化成長方形并算出它的面積。接著，我們將轉化的方法運用到一般直角三角形的面積研究之中，并得到了直角三角形的面積公式，然后我們將這個公式類推到銳角三角形、鈍角三角形之中，最后歸納出了三角形的面積公式。

（三）鞏固練習，運用公式（略）

（四）回顧反思，拓展延伸

師：通過今天的學習，你有哪些體會？（生答略）

師：今天，我們依據(jù)長方形的面積公式得到了三角形的面積公式。想知道古人是怎么得到三角形的面積公式的嗎？請閱讀書中的“你知道嗎”，讀完后說說你的體會。

交流中明確：我們研究三角形面積的思路與古人的思路是一致的，其中第二、第三種方法就是“以盈補虛”。

結合圖形與公式S=a÷2×h讓學生理解“以盈補虛”和“半廣以乘正從”的意義（如圖12）。

師：以后我們還會研究平行四邊形、梯形的面積，你們打算怎么研究呢？

學生提出可以用“以盈補虛”的方法將它們轉化成長方形，并嘗試轉化。

（設計意圖：課的最后讓學生閱讀“你知道嗎”，不僅讓學生感悟到古人的智慧，同時也能夠讓學生將探究過程中所使用的方法與“以盈補虛”建立聯(lián)系，從中感悟轉化的思想方法，并積累數(shù)學活動經(jīng)驗。）

經(jīng)過實踐發(fā)現(xiàn)，先教學三角形的面積，學生不僅能夠獨立地發(fā)現(xiàn)結論，還能從中感悟到“以盈補虛”的數(shù)學思想方法，并能將其遷移到平行四邊形和梯形面積的探究之中。由于學生探究三角形面積公式的過程與古人發(fā)現(xiàn)公式的過程正好吻合，能夠從中受到數(shù)學文化的熏陶，感悟古人的智慧與創(chuàng)造。

（江蘇省高郵實驗小學東校區(qū)? ?225600）