基于學生數學認知方式進行教學設計的路徑思考

【摘? ?要】透過學生的認知方式設計和實施課堂教學，可以提高數學教學的效率。而了解學生認知方式的途徑主要有三：一是教師要有意識、有準備、有問題地與學生進行交流;二是教師要對學生作業、試卷上所書寫內容進行分析;三是教師要有意識地與學生進行“心理換位”。在此基礎上，教師可以做出基于學生數學認知方式進行教學設計的科學路徑選擇。

【關鍵詞】教學;認知方式;小學數學

《現代漢語詞典》（第7版）將“方式”一詞界定為“說話做事所采取的方法和形式”，由此可以將“認知方式”界定為“學生認識知識時思維活動所采取的方法和形式”。衡量思維質量的有思維品質指標，即敏捷性、靈活性、批判性與獨創性等;數學思維的形式常見的有三種，即直覺思維、形象思維與邏輯思維。學生在進行數學思維時，總是喜歡使用自己的訓練有素的認知方式進行探究活動，這就要求數學教師透過學生的認知方式設計和實施教學，以提高數學教學的效率。那么，教師如何探究學生的認知方式呢？

一、探究學生關于具體數學教學素材的認知方式途徑

一線教師在教學實踐活動中通過有計劃、有步驟、有意圖、有組織、有目的地觀察、試驗與總結等，可歸納出如下一些途徑。

其一，教師要做有心人，通過觀察，有意識、有準備、有問題地與學生進行交流，如依據學生在課堂上回答問題或板演等活動，了解不同學生對于同一個數學知識點的認知方式，將其作為教學經驗存留于自己的認知結構中。這種教學經驗一經形成，將會遷移到以后有關這個知識點的教學中。在課堂交流時，教師還可以讓學生對一些獨特的想法進行相應的解釋，及時獲悉學生想法的來源，以了解學生的具體認知方式。

其二，教師要對學生作業、試卷上所書寫內容進行分析，以了解學生的認知方式。特別是非常規題，學生往往不能借助現成的數學模型或方法加以解答，而會創造一些新的解題途徑，這是考查學生數學認知方式的資源平臺;教師自行命題時，也可以有意識、有目的地合理利用數學試題的內容或形式，探查學生的認知方式。教師還需要就試卷上學生的書寫內容對其進行訪談，以便深入了解學生在問題解決中的具體認知方式。

其三，教師要有意識地與學生進行“心理換位”，探查學生的認知方式。教師在設計教學時，應設身處地地將自己的心理活動置于學生的立場，模仿學生的思維展開活動環節，探尋與獲取知識，以此來揣摩學生在進行數學認知時的心理過程。如此，教師就會深切地體會到學生在學習數學知識時心理上的那種舉步維艱的困惑，有針對性地設計出有利于學生學習的教學。[1]

二、探究學生發生具體數學認識的認知方式示例

教師需要依據學生在產生認識時具體的心理活動特點以及在解決問題時所采用的具體的方法與途徑，來推測學生所使用的認知方式。由于知識的形式特點不同，學生主體的個性心理特點不同，學生所使用的認知方式也不盡相同。探究發現學生的認知方式需要根據具體問題、具體學生進行具體分析，不可能給出一個萬應性的框架。這里，筆者用教學中的一個例子加以說明。

例：一段長若干厘米的繩子，第一次截去20%后，第二次再截去剩下的20%，結果發現，第一次截去的繩長比第二次截去的繩長多2厘米。求原來的繩長。

這是六年級期中考卷中的一道題，學生答題時八仙過海，各顯其能，有幾種不同的解答方法，下面實錄幾個同學的典型解法。

同學甲的方法：假設這條繩子的長度為100厘米，第一次截去20%，截去了20厘米，剩下80厘米;第二次截去80厘米的20%，截去16厘米;因此，第一次截去的比第二次截去的多4厘米。而已知條件是第一次截去的比第二次截去的多2厘米，依據比例性質，這條繩子的原長為50厘米。

同學乙的方法：假設這條繩子的長度為x厘米，第一次截去20%，截去了20% x厘米，剩下（1-20%）x厘米;第二次截去（1-20%）x厘米的20%，截去20%（1-20%）x厘米;因此，由第一次截去的比第二次截去的多2厘米知，20%x-20%（1-20%）x=2，20%x-20%x+20%×20%x=2，即0.04x=2，知x=50，即這條繩子原長50厘米。

同學丙的方法：直接在試卷上列出這樣一個解答問題的綜合算式，2÷20%×20%=50（厘米）（后用①表示這個算式），因此，得到原繩的長為50厘米，沒有做任何文字上的解釋。[2÷20%×20%應為2÷（20%×20%），編者注]

同學甲與同學乙的數學認知方式本質上是相同的，他們的解題思路是將所要求解的未知數據假設為已知數據（同學甲設其為100厘米，同學乙設其為x厘米），通過過渡性的中間環節，最終成功獲得解決。

不過，同學甲與同學乙的解題方法在細節上還是有所區別的，同學甲的假設是一個具體數據（通常使用的是單位“1”），得到第一次截去的比第二次截去的多4厘米的結論，實際是多2厘米，因此按比例得到結論是50厘米;而同學乙直接設繩子的原長為x厘米，將x作為已知參加運算，得到第一次截去的比第二次截去的多20%x-20%（1-20%）x（后用②表示這個算式）的結論，從而列出一元一次方程，解方程得到繩子的原長為50厘米。

同學丙的算式①看上去似乎是一種直覺的結果，在評卷批分時，筆者猶豫不決，是給分還是不給分？或者按照怎樣的比例給分？最后決定詢問同學丙，請她解釋算式①是如何得到的。

同學丙使用圖示法進行了相應的解釋：設繩子的原長為AB，在圖1中，第一次截去20%，截去的長度為CB，剩下的AC等于繩子原長的80%;在圖2中，第二次截去的是第一次所剩下的繩子原長的80%，即在AC的基礎上再截去20%，即圖2中的DC，其長度為繩子原長的80%×20%，剩下的是AD，即繩子原長的80%×80%;比較圖2與圖3發現，圖2中的DC與圖3中的CE相等，于是CB比DC長為EB，從而知EB等于繩子原長的20%×20%，同學丙據此列出了算式①，得到了問題的答案。

同學丙的解釋，筆者認為是一種直覺思維轉化為邏輯思維的過程。她的思維方式偏向于幾何直觀，這種直觀跳過了同學乙的算式②的兩個相同的數量20%x互相抵消的過程。

同學甲、乙所使用的認知方式與同學丙所使用的認知方式具有本質上的差異，前者主要使用的是數據分析，通過列綜合式，運用運算法展開計算活動。同學丙的認知方式的主要特點是偏于幾何圖形直觀，她憑借圖形看出了繩子原長80%的20%（如圖2）與繩子原長的20%的80%（如圖3）相等，由此觀察到了第一次截去的比第二次截去的多繩子原長20%的20%，從而正確地列出了算式，獲得了問題的解決。

三、基于學生數學認知方式教學設計的路線選擇

由于學生在數學認識或解決問題時的認知方式不盡相同。因此，教師在設計和實施教學時需做好兩件事情：其一，平衡學生的認知方式，采用多種認知方式觀察客觀事物的空間形式、數量關系;其二，按照學生心理發展的階段性特點，幫助學生建立或者提升有價值的認知方式，如從列綜合式解應用題提升為列方程解應用題。

例如，筆者通過分析三位同學所使用的兩種典型的認知方式后發現，依據皮亞杰的研究結論，六年級的學生應該處于從“具體運演的第二水平”階段過渡到“形式運演”階段，“形式運演的主要特征是他們有能力處理假設而不是單純地處理實體”[2]。因此，教師在教學設計及其課堂實施中，就需要盡可能地選擇同學乙（退一步說，也可以選擇同學甲）的認知方式，而不能選擇同學丙的認知方式。

這是因為六年級學生的心理發展已經具備了通過假設進行邏輯思維的可能。如果學生不能夠、不愿意（如同學丙的情況）使用形式運演，數學教師就有責任、有義務通過教學設計及其課堂實施幫助學生從“具體運演的第二水平”階段過渡到“形式運演”階段。因此，教師的教學設計應選擇同學乙的認知方式（即采用列方程解應用題），而不應該選擇同學丙的認知方式進行課堂教學活動，以此發揮該題的教學價值。

參考文獻：

[1]張昆. 整合數學教學設計的取向——基于知識發生的邏輯取向與心理取向的研究[J]. 中國教育學刊，2011（6）.

[2]皮亞杰. 發生認識論原理[M]. 王憲鈿，譯.胡世襄，校.北京：商務印書館，1996.

（安徽省淮北師范大學數學科學學院? ?235000）