齊次化聯立方程，簡化圓錐曲線解題運算

趙立春 (江蘇省南京市寧海中學 210024)

眾所周知，圓錐曲線問題是高考數學的一個重要考點，更是由于其對學生計算能力的考查尤其突出而成為難點．在解決此類大題的過程中，學生往往思路特別清晰，但卻在運算上耗費大量時間，陷入算不出來、算不下去的窘境．

事實上，將直線方程與圓錐曲線方程聯立后，利用“1”的代換實現齊次化，順理成章地將聯立后的方程轉化為一元二次方程，利用一元二次方程的兩根關系，可化簡解題過程，避免繁瑣運算，提高解題正確率．

1 知識鋪墊

問題 如何用平面中的點P(a,b)來設直線方程？

2 考題探究

(1)求橢圓C的方程．

(2)設橢圓C的左頂點為A，記直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2.

①若m=0，求k1·k2的值；

(2)利用定點A(-2,0)，直線l的方程可設為λ(x+2)+μy=1．

點評獨特巧妙之處在于齊次化聯立一箭雙雕，①②兩問順著同一條路徑，同時解決．

3 方法應用

由例1、例2的解題過程發現，齊次化聯立的適用范圍在于：

(1)橢圓上有定點P和動弦AB；

類似地，齊次化聯立也適用于雙曲線和拋物線問題．

故可得直線l的方程為8x+y-24=0.

例4已知拋物線C:y2=4x，過點M(1,2)作C的兩條弦MA,MB，設MA,MB的斜率分別為k1,k2，當k1,k2變化且滿足k1+k2=-1時，試問：直線AB是否過定點？若是，求出該點的坐標.

點評由以上解題過程，齊次化聯立的一般步驟可概括如下：

(1)題型識別.

①有心二次曲線上出現定點和動弦；

(2)利用定點重新設出直線l和曲線的方程.

(3)聯立之后利用“1”的代換實現齊次化，從而將問題轉化成一元二次方程根與系數的關系來解決．

4 拓展延伸

問題 如果定點不在二次曲線上，是否也可以用此法解決呢？答案是肯定的．

圖1

(1)求橢圓C的方程．

(2)如圖1,直線l與橢圓C交與不同的兩點A,B(都在x軸上方)，且∠OFA+∠OFB=180°．

①當A為橢圓C與y軸正半軸的交點時，求直線l的方程；

②是否存在一個定點，無論∠OFA如何變化，直線l總過該定點？若存在，求出該定點的坐標；若不存在，請說明理由．

下面用齊次化聯立處理第②問．

利用F(-1,0)這個定點，l的方程可設為m(x+1)+ny=1(*).

將(*)式中的“1”代入(** )，得

由x+1≠0，則兩邊除以(x+1)2,得

1°若n=0，代入(*)式得m(x+1)=1，若要恒過定點，則x=-1，此時等式不成立，舍去；

2°若m=-1，代入(*)式得-(x+ 1) +ny= 1，恒過定點(-2,0)．

綜上得，直線l恒過定點(-2,0)．

著名的數學家和教育家波利亞有一句膾炙人口的名言：“掌握數學就意味著善于解題.”提高學生數學思維能力的重要途徑之一是解題，而教師要實現這一目標就必須進行解題教學研究．本文在解析幾何題海中分析出齊次化聯立模型，讓學生學會選擇簡單高效的方法，間接地為學生爭取寶貴的時間，訓練他們良好的思維習慣，繼而讓學生能仿而嫻熟、熟而有悟、悟而生巧、巧而創新，從而在達到解決一類問題的同時，實現學生的自我完善及綜合能力的提高.