永不“重復(fù)”的鑲嵌圖案

張旭穎 靳銘宇

周期性密鋪與非周期性密鋪

重復(fù)排列某一單元形，使其能夠不留任何縫隙且完全無重疊的填滿自身所在的整個(gè)空間，叫做圖形的密鋪。顯然，正方形、正三角形和正六邊形是可以的。首先，正方形、正三角形、正六邊形的邊長具有等長性。除此以外，正方形四個(gè)內(nèi)角均為90度;正三角形三個(gè)內(nèi)角均為60度，正六邊形六個(gè)內(nèi)角均為120度。它們的內(nèi)角都是360度的約數(shù)。但通過正五邊形在進(jìn)行平鋪時(shí)，不能做到無縫拼接，因?yàn)檎暹呅蔚拿總€(gè)角的度數(shù)為108度，如果3個(gè)正五邊形進(jìn)行拼接，那這3個(gè)正五邊形的角度之和為324度，而4個(gè)正五邊形進(jìn)行拼接的話，度數(shù)之和就變成為432度，均不等于360度，因此，只用單純的正五邊形無法進(jìn)行平面的無縫的周期性密鋪。

正多邊形的密鋪

但如果我們用另一種形狀來補(bǔ)全正五邊形拼接圖案缺口的話，就可以得到密鋪的平面。實(shí)際上，若采用多種形狀的瓷磚互相組合，無窮盡的密鋪圖案就會隨之出現(xiàn)。值得注意的是，這種方法得出的圖案與正方形密鋪的圖案有所不同，正方形所組成的圖案具有平移對稱性，例如若將正方形密鋪平移一個(gè)正方形的長度，則可以得到相同的圖案，它存在正方形這個(gè)可自我重復(fù)的單元形，即它是周期性的;而采用多種形狀互相組合的圖案則可能是非周期性的，如果將圖案分割無窮次，它們就可以被看做是鋪展在無窮平面上，由此便能算出兩種貼磚數(shù)量的整體比例，對于這種計(jì)算，重復(fù)圖案的比例一定是有理數(shù)，如果不是，就說明圖案永遠(yuǎn)不會完全重復(fù)。

彭羅斯鑲嵌不重復(fù)的奧秘

1973年，英國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家羅杰·彭羅斯提出了一種具有五次旋轉(zhuǎn)對稱的拼圖。正五邊形可以分割為六個(gè)小的正五邊形和五個(gè)三角形，而對小五邊形進(jìn)行再分割后，就產(chǎn)生了一個(gè)五角星形和一個(gè)類似帆船的形狀。這4種形狀以不規(guī)則、非周期的方式延展，只利用這4個(gè)形狀，就能對平面進(jìn)行密鋪，而不存在一個(gè)可重復(fù)的單元形。這就是非周期性的鑲嵌圖案。隨即，這種密鋪圖案被命名為P1型彭羅斯鑲嵌。

正五邊形的分割

第二年，彭羅斯又對這些形狀進(jìn)行修改，他將一個(gè)菱形分割成兩部分，他運(yùn)用這分離的兩部分，創(chuàng)造出了一種新型的拼接方式。這兩種圖案分別形象地被稱為“風(fēng)箏”和“飛鏢”。這便是P2型彭羅斯鑲嵌。

但無論是風(fēng)箏形還是飛鏢形，這些角的度數(shù)，都是36度的整數(shù)倍，而這幾種度數(shù)通過不同的組合方法，都可以組成360度，此外，菱形的四條邊具有等長性，且分割出的飛鏢和風(fēng)箏的邊都有互相對應(yīng)的等長的邊。邊緣可以完全對應(yīng)，角度也可以完全對應(yīng)，因此，飛鏢形和風(fēng)箏形可以進(jìn)行平面的無縫拼接。

P2 型彭羅斯鑲嵌，由風(fēng)箏形和飛鏢形構(gòu)成

而彭羅斯創(chuàng)造出的第三種非周期平面圖形密鋪方案（P3型彭羅斯鑲嵌）是由一個(gè)36度、72度菱形和一個(gè)72度、108度菱形構(gòu)成的。這三種鑲嵌方式本質(zhì)上都是五重旋轉(zhuǎn)，只是表現(xiàn)形式不同。

暗藏玄機(jī)的彭羅斯鑲嵌

彭羅斯發(fā)明的圖案的拼接方式，實(shí)際上是把人工發(fā)明的黃金比例的數(shù)學(xué)概念與日常生活中的數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)到了一起。 P1型的彭羅斯鑲嵌通過五邊形的不斷膨脹、不斷延伸而成，它的膨脹率為黃金分割值的平方;P2型彭羅斯鑲嵌中，兩個(gè)飛鏢與風(fēng)箏圖案膨脹一次后其風(fēng)箏圖案和飛鏢圖案的數(shù)量之比等于黃金分割值; P3型的基礎(chǔ)圖形為菱形，經(jīng)過一次延伸后，面積為原來的黃金分割值的平方倍，它們都和黃金分割有著密不可分的聯(lián)系。也許這也是它們看起來如此美妙的原因。

由“風(fēng)箏”和“飛鏢”組成的圖案，看似規(guī)律，其實(shí)永遠(yuǎn)不會自我重復(fù)

彭羅斯鑲嵌在建筑上的應(yīng)用——美國舊金山公交樞紐大樓

數(shù)學(xué)的吸引力就在于此，它將思維滲透至身邊不起眼的事物中，又蔓延至浩瀚無邊的宇宙。俄羅斯數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基曾說：“不管數(shù)學(xué)的任一分支是多么抽象，總有一天會應(yīng)用在這實(shí)際世界上。”用思考的眼光看世界，你會發(fā)現(xiàn)，從不起眼的地磚到飛在天空的風(fēng)箏都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的魅力。