π的故事

徐丁點

π可以這樣來計算

在探索π的道路上，不同國家的數學家們采取了不同的方法。中國人對π值的計算當屬劉徽和祖沖之兩位數學家，他們用割圓術的方法計算出了π值;國外的一些數學家則利用一些數學公式計算出了π值，這些美妙的公式讓眾多數學愛好者趨之若鶩。就連當代的數論大師阿特勒·塞爾伯格都表示之所以喜歡數學，是因為德國的萊布尼茨給出的公式深深地打動了他，奇數1、3、5、7……以如此簡潔的形式組合在一起竟可算出神秘的π，這就宛如一幅優美的畫卷或是一首動聽的歌曲，激起了人們對數學研究的熱情。

如果說π的精確公式讓人感受到數學的簡潔和精妙，那么法國科學家蒲豐的投針實驗則開啟了用統計思維觀察和分析世界的大門。這個實驗操作很簡單：找一根粗細均勻、長度為d的細針，并在一張白紙上畫一組間距為l的平行線，然后反復將針任意投擲在白紙上，記錄下針與任意平行線相交的次數，通過分析可以得到針與任意平行線相交的概率為 ，將此公式變形可得到圓周率的估計公式 。如果n次中有k次與平行線相交，概率p就可以用近似，當投擲的次數越多，近似程度就越高。

韋達（16 世紀） 法國利用倍角公式和數列極限給出根式形式公式

萊布尼茲（17 世紀） 德國從一個簡單的反三角函數恒等式出發，借助求導、級數展開和定積分等工具得出

蒲豐實驗是人類首次使用隨機方法處理確定性問題，開辟了π值估計的一條全新的道路。在此基礎上，人類依托計算機技術的進步，孕育出一種全新的數學方法——隨機模擬法（又稱蒙特卡洛法），這種方法已成為現代社會解決復雜實際問題的一種強大工具之一。

π的妙用

人們對π的小數位數字追求的動力，一方面來自于破記錄的好勝心，另一方面也源于現實生活的實際需要。在計算機技術高度發達的今天，如何檢測一臺計算機的性能以及比較兩臺計算機的性能差異是很現實的問題。而π作為一個無限不循環小數，又擁有眾多的計算方法，自然適合于計算機進行運算并作為檢測指標。

利用對π位數的計算已經成為工程師檢驗計算機可靠性、精確性、運算速度以及容量的有力手段。讓檢驗過的π值計算程序在待測機上運行，看是否能夠多次準確無誤地計算到預估的精度，從中發現計算機硬件或軟件中存在的故障，這對于投入使用之前的新機測試具有重要意義。例如1986年，一個π的計算程序成功檢驗出一批“克雷-2（CRAR-2）”型電子計算機中的一臺有某些模糊的硬件問題;又例如當英特爾公司推出奔騰CPU時，就通過對π的計算找到程序設計上的一個小問題。到了1995年，日本東京大學計算機專家更是制作出世界上第一個計算π的軟件——Super π，可用于測試計算機CPU的穩定性和運算速度。

中國人用割圓術計算π 值

高效地算出更多位數的π值，推動著計算機技術和制造業不斷向前發展。正如屢次創造計算π值記錄的日本計算機專家金田康正所說：“挑戰圓周率的計算記錄對于計算機的性能和改進是非常有益的?！迸c此同時，計算機也能幫助檢驗π值計算公式的優劣。用一臺計算機在相同條件下采用不同公式計算π到相同位數，哪一個公式所需時間少，則哪一個公式就更優越。1991年，兩位中國工程師李文軍和梁建平在同一臺計算機上，分別用高斯的公式? 和李文軍的公式? 進行前20位π值計算，發現后者所用時間更短，所以更優越。

沃利斯（17 世紀） 英國將萊布尼茲的公式通過簡單的代數轉換，形成連分數形式

歐拉（18 世紀） 瑞士利用多項式理論給出無窮級數形式公式

在信息傳播領域，為保證信息交換過程中的安全，就需要研制安全可靠的加密機制，密碼學隨之誕生和發展。由于π擁有無限數位，并且其數位數字的排列具有隨機性和均勻分布的特點，所以能夠提供安全而充足的加密編碼，同時消除被統計分析方式破解的風險，因此常數π在密碼學中也發揮著獨特的作用?；讦械乃惴ㄓ泻芏喾N，例如有一種矩陣加密算法是從π的數位數字中提取加密矩陣元素，得到的矩陣沒有任何規律性，加密后的密文也沒有規律性。密文的解密只有選擇相同的加密矩陣，算出逆矩陣，用逆矩陣左乘密文即可。對于不同保密等級的信息，可以通過設定加密矩陣的階數來實現密碼復雜度的變化。而π作為一個取之不盡的“碼源”，保證了任意階矩陣構造的可能。

圓周率π自從誕生之日起，便與人類一起同行。它所包含數字的無窮性和均勻分布性為其增添了神秘色彩，它的精確表達公式展現出清晰深刻的一面，它的廣泛應用又拉近了與人們的距離。π就像一個精靈，自由地跳動在理想和現實兩個世界中，你是否會愛上這個神奇的精靈呢？