干摩擦對行星齒輪傳動系統分岔特性的影響分析

王靖岳，劉 寧，王浩天

(1. 沈陽理工大學汽車與交通學院,沈陽 110159；2.重慶大學機械傳動國家重點實驗室,重慶 400044；3.沈陽航空航天大學自動化學院,沈陽 110136)

齒輪系統在傳動過程中嚙合副之間不可避免存在摩擦,同時齒面摩擦的時變性也是系統振動的重要激勵源,而對于結構復雜的行星齒輪系統其非線性特性也更加復雜,吸引了中外大量學者對齒輪系統的非線性動力學特性進行研究。

Kahraman等[1]首先將間隙和剛度非線性因素耦合一起分析齒輪系統的動力學特性。在此基礎上,摩擦與其他非線性因素也被考慮到齒輪建模中,尹樁等[2]建立包含齒面沖擊和摩擦的單自由度齒輪模型,分析嚙合力的變化對系統運動狀態的影響。張笑等[3]在考慮摩擦因素的基礎上,又在齒輪建模時考慮了溫度效應,分析齒輪系統的非線性特性。劉志宇等[4]基于單對齒輪副的彎扭耦合模型,分析系統隨各種參數變化時,齒面摩擦對系統分岔特性的影響。劉曉潔等[5]以動力學分析軟件為途徑,研究不同摩擦系數下雙圓弧齒輪系統的動力學性能。

針對行星齒輪系統,朱恩涌等[6]通過庫倫摩擦力,推導出包含摩擦力的行星齒輪微分方程組,只是簡單得到不同摩擦系數下系統振動位移曲線,并進行了對比分析。郇立榮等[7]針對含故障的行星齒輪系統,以隨機風載為激勵源分析齒輪系統的動態特性。Zhao等[8]建立具有兩個行星齒輪級和一個平行齒輪級的風力機齒輪箱的扭轉振動模型,得出外部激勵對風力機齒輪箱扭轉振動的影響最大。Xiang等[9]建立了由行星齒輪和兩個平行齒輪組成的多級齒輪傳動系統的非線性扭轉模型,得出該系統具有豐富的非線性動力學特征,如周期運動、非周期運動和混沌狀態。Hou等[10]以發動機轉子系統為研究對象,建立行星齒輪-轉子非線性動力學模型,得出系統同樣具有豐富的非線性行為,但是以上行星齒輪建模并沒有考慮摩擦因素。

基于以上研究,齒面摩擦對行星齒輪分岔特性影響的研究很少。本文建立行星齒輪扭轉模型,建模時在考慮齒隙、剛度等基本非線性因素基礎上,也考慮了齒面摩擦,以不同摩擦系數為切入點,利用分岔圖和最大Lyapunov指數圖(largest Lyapunov exponent,LLE)分析系統分岔與混沌特性,用Poincaré截面圖、相圖、時間歷程圖和頻譜圖進一步說明摩擦對行星齒輪系統非線性動力學特性的影響。

1 系統動力學建模

如圖1所示,采用集中質量法建立行星齒輪扭轉動力學模型,各嚙合齒面間以彈簧-阻尼系統連接,同類型構件齒隙、綜合誤差相同。

c代表行星架；r代表齒圈；s代表太陽輪；pn代表第n個行星輪(n=1,2,…,N)；uc、ur、us、un分別表示行星架、齒圈、太陽輪、第n個行星輪的扭轉位移圖1 行星齒輪系統動力學模型Fig.1 Dynamic model of planetary gear system

采用牛頓定律建立行星齒輪系統動力學微分方程:

(1)

式(1)中：j=s、c、r、n,i=sn、rn,sn為外嚙合副,rn為內嚙合副；Ij為轉動慣量；rj為基圓半徑；Fi為動態嚙合力；fi為摩擦力；Li為摩擦力臂；T1為輸入扭矩；T2為輸出扭矩。

嚙合線上輪齒相對位移函數(圖2)可以表示為

(2)

式(2)中:δi為齒輪副嚙合點的相對位移；bi為齒側間隙的一半。

圖2 齒側間隙非線性函數Fig.2 Nonlinear function of backlash

齒面間摩擦力公式可以表示為

fi=λiμFi

(3)

式(3)中:μ為摩擦系數；Fi為輪齒間嚙合力；λi為摩擦力方向系數[12],其定義為

(4)

式(4)中:Lp為主動齒輪p的時變摩擦力臂；rp為主動齒輪p的基圓半徑；α為壓力角,x=Lp-rptanα。 以外嚙合齒輪副為例進行分析,圖3為齒輪外嚙合過程,隨著齒輪嚙入,到達理論嚙合點P,摩擦力方向改變,嚙合點到達B2,新的輪齒嚙入。N1N2為理論嚙合線長度,B1B2為實際嚙合線長度,rs、rn為太陽輪和行星輪基圓半徑,ras、ran為太陽輪和行星輪齒頂圓半徑,忽略齒輪接觸時的嚙入嚙出變形[12-13],則太陽輪與行星輪之間的摩擦力臂為

(5)

式(5)中:Lsn(t)為相對于太陽輪的力臂；Lns(t)為相對于行星輪的力臂；εsn為外嚙合副的齒輪重合度系數；Spb為基圓齒距。

同理,內齒圈和行星輪之間的摩擦力臂為

(6)

式(6)中:Lrn(t)相對于內齒圈的力臂；Lnr(t)相對于行星輪的力臂；εrn為內嚙合副的齒輪重合度系數；rar為內齒圈齒根圓半徑；rr為內齒圈基圓半徑。

圖3 齒輪副外嚙合示意圖Fig.3 Schematic diagram of external gear pair

為了消除剛體位移和使系統方程數目減少實現降維,引入內外嚙合副的相對位移δ,太陽輪、內齒圈分別相對于行星輪產生的相對位移為

(7)

(8)

2 齒面摩擦對系統分岔特性的影響分析

采用Runge-Kutta數值方法求解行星齒輪系統動力學方程,以太陽輪和行星輪的相對位移δsn為例進行分析。行星齒輪系統的基本參數如表1所示[14],選取系統的基準參數:剛度系數k=0.25,內嚙合副平均剛度ksnav=4.37×108N/m,外嚙合副平均剛度krnav=5.65×108N/m,剛度初始相位φi=0,誤差初始相位γi=0,誤差幅值Ei=3 μm,阻尼比ζ=0.088,扭矩T1=100 N·m,間隙bi=50 μm,行星輪個數n=3。

表1 行星齒輪系統基本參數

當μ分別為0、0.1和0.2時,以無量綱激勵頻率Ω為分岔參數,系統的分岔圖和LLE圖如圖4所示。

圖4 系統隨Ω變化的分岔圖和LLE圖Fig.4 Bifurcation diagram and LLE diagram of the system with Ω

從圖4(a)中可以看出,隨著Ω的增加,系統首先經歷周期運動,經Hopf分岔和激變進入混沌運動,之后經過逆倍化分岔再次進入周期運動。當Ω在[0, 1.14]區間時,系統主要為周期運動,伴有一段短暫的混沌運動,對應的LLE主要在負值區域；當Ω在[1.14, 1.52]區間時,系統為混沌運動狀態,LLE為正；當Ω在[1.52, 4]區間時,系統主要為周期運動,伴隨短暫的混沌運動,對應LLE圖為在正值區域有幾處尖峰。

對比圖4(a)、圖4(b)可以看出,當考慮齒面摩擦時,在低頻區域,系統的分岔行為基本沒有改變,說明摩擦對低頻區域影響較小；在高頻區域,系統運動狀態發生改變,分岔行為變得模糊,同時系統穩定的周期運動轉變為非穩定的混沌運動,導致混沌區域增加,這說明摩擦對高頻區域影響較大。

從圖4可以看出,隨著摩擦系數的增加,在低頻區域,系統混沌區域夾雜的周期窗口消失；在高頻區域,系統的多倍周期運動減少,混沌運動區域增加的更多,進入混沌運動的臨界頻率提前,對應LLE圖中正值區域增加,混沌運動區域增加。

這是由于系統轉速較低時,摩擦的遲滯效應表現不明顯,當轉速增大到一定臨界值時,摩擦遲滯效應明顯,增加了嚙合齒面間的嚙合力的波動,導致系統運動狀態不穩定(混沌運動)。同時系統退出混沌運動的臨界點沒有改變,進入混沌運動的臨界點提前,最終導致系統混沌運動區間增加。

結合Poincaré截面圖、相圖、時域圖和頻譜圖,進一步說明摩擦對系統隨Ω變化的影響,取無量綱激勵頻率Ω為2.32,當μ=0時,系統為8周期運動狀態,如圖5所示；當μ分別為0.1和0.2時,系統為混沌運動狀態,如圖6、圖7所示。

圖5 μ=0時,系統的8周期運動Fig.5 The 8-period motion of the system with μ=0

圖6 當μ=0.1時,系統的混沌運動Fig.6 Chaotic motion of the system with μ=0.1

圖7 當μ=0.2時,系統的混沌運動Fig.7 Chaotic motion of the system with μ=0.2

對比圖5，從圖6中可以看出,系統Poincaré截面圖上的8個離散點變為密集的離散點集；相圖顯示為相軌跡無規則循環纏繞；時間歷程圖呈現出系統響應為幅值跳躍的非周期運動,振動位移幅值減小；頻譜圖顯示為基頻和分頻處存在尖峰,伴隨明顯的噪聲背景。對比圖6、圖7可以看出,系統Poincaré截面圖上混沌吸引子更加發散；相軌跡在相空間的范圍稍有減少；系統振動位移幅度也減小；功率譜中基頻幅值功率降低。

3 結論

建立考慮齒面摩擦、綜合誤差和齒隙等非線性因素的行星齒輪扭轉振動動力學模型,采用Runge-Kutta數值方法,研究了系統隨激勵頻率變化時的運動狀態和分岔行為,同時分析齒面摩擦對系統分岔特性的影響,得出以下結論。

(1)行星齒輪系統的分岔特性復雜多變,同時存在Hopf分岔、跳躍激變、倍化分岔和逆倍化分岔行為。

(2)考慮齒面摩擦時,在低頻區域,摩擦對系統的分岔行為影響較小；在高頻區域,系統分岔行為變得模糊,混沌區域增加,摩擦對高頻區域影響較大。

(3)隨著摩擦系數的增加,系統在低頻區域的周期窗口消失和高頻區域的多倍周期運動區域減少,系統混沌運動區間增加。