多角度纖維纏繞復合材料圓筒張力設計①

郭凱特，文立華 ，校金友，張承雙，李正道

(1.西北工業大學 航天學院，西安 710072；2.中國航天科技集團有限公司四院四十三所，西安 710025)

0 引言

纖維增強復合材料圓筒因其高的比強度、比模量、輕量化和腐蝕阻抗等優越性能，被廣泛用于航空航天和石油化工等領域[1-2]。如何確定纖維纏繞復合材料圓筒的設計參數(纖維體積分數、纏繞角、鋪層順序和張力梯度等)，最大化其剛度強度，最小化其質量，一直是該領域內設計師不斷追求的目標。張力設計與控制對于纏繞殼體的成品質量和力學性能有很大的影響[2]。在纖維纏繞過程中，施加張力的主要目的是控制樹脂含量和使纖維在芯模上按照規定線型排列，適當和平穩的張力可以增強構件承受內壓的能力，提高其抗疲勞特性，張力太大有可能造成纖維磨損嚴重，內層含膠量偏低，進而影響纖維纏繞構件的承載能力[3]。

關于復合材料圓筒生產過程工藝參數對纏繞構件力學性能的影響機理方面，許多學者進行了探索研究。早期一些學者采用有限差分法和其他數值方法研究了固化過程中的張力誘導應力[5-7]。為更加準確確定復合材料圓筒殘余應力，一些學者考慮了纏繞張力和固化過程中的參數的耦合效應，以求獲得更加準確的殘余應力[8-11]。Cohen[3]采用實驗的方法研究了纏繞張力對于殼體力學性能的影響，發現纏繞張力是最重要的影響因素，適當地增加纏繞張力，會導致纏繞構件具有更高的纖維體積份數，進而提高纏繞結構件的承載能力。隨后，Cohen[4]又進一步研究了纖維體積分數與纖維纏繞壓力容器與失效強度的關系。Xia[12]基于各向異性彈性力學，提出了一種計算多層纖維纏繞管在內壓作用下應力應變位移的解析計算方法，為采用解析方法研究纏繞參數對復合材料圓筒力學性能影響奠定了基礎。Rousseau[13]研究了螺旋纏繞情況下纖維重疊程度對于纖維纏繞圓筒力學性能的影響規律，發現纖維重疊交織越嚴重，在內壓作用下，損傷就越容易產生，進而影響結構件的力學性能。Mertiny[14]采用實驗的方法研究了鋪層順序多層復合材料圓筒在雙軸載荷作用下力學性能的影響。Fernand[15]采用實驗的方法研究了復合材料圓筒在不同溫度下水分的吸收對于纏繞構件力學性能的影響，他們發現隨著結構水分的吸收，復合材料圓筒的強度和剛度均在下降。然而，上述研究主要采用實驗的方法取探究工藝參數對纏繞構件力學性能的影響規律，而且對于張力對復合材料圓筒力學性能的影響僅限于常張力情況。

針對純環向纏繞的厚壁復合材料圓筒，Kang[16]采用解析分析的方法，獲得環向纏繞下生產工藝參數對于復合材料圓筒殘余應力的影響，他們考慮了纏繞張力、固化過程中熱應力和固化收縮應力對于構件殘余應力的影響，并進行了實驗驗證，獲得了令人滿意的結果。Garret[17]采用實驗的方法獲得±60°復合材料玻璃纖維增強樹脂基圓管在雙軸載荷下的失效包線，他們測試了14組雙軸應力比下的失效應力應變，總結了5種典型失效模式，對于在雙軸載荷下復合材料圓筒的設計有一定指導意義。

丁寶庚等考慮了纖維束纏繞張力對已纏繞層的“放松效應”及纏繞張力引起的內襯彎曲變形，建立了具有薄壁金屬內襯的纏繞張力公式[18]。吳德會[19]采用神經網絡算法，提出了一種針對純環向纏繞的厚壁復合材料纏繞張力的設計方法，并通過實驗驗證了該方法的有效性。邢靜忠等[20-22]根據各向同性材料三維本構關系，考慮環向纏繞張力對已纏繞層張力產生的放松量，建立了環向纏繞張力與纏繞后剩余張力分布關系，提出了給定剩余張力分布計算纏繞張力變化規律的計算方法。蘇維國等[23]通過研究發現，對于純環向纏繞的復合材料圓筒，發現纖維張力纏繞中預應力的飽和現象，并確定了影響張力纏繞預應力場的兩個主要參數，纏繞層環徑向剛度比和張力大小，為復合材料環向纏繞成型工藝提供理論支撐。肖宏成等[24]基于生死單元及多步連續降溫，給出了纖維纏繞增強復合材料身管的預應力逐層模擬方法。李博等[25]基于正交各向異性材料的厚壁圓筒理論和彈性疊加理論，提出了考慮卸去芯模影響的多角度交替纏繞下剩余應力算法，并基于等應力假設，初步優化了適用于內壓管的張力。

雖然前人對于纖維增強樹脂基復合材料圓筒纏繞張力、纏繞角、鋪層順序和固化過程工藝對于其力學性能影響機理進行了相關研究，然而對于張力的研究主要集中在采用實驗方法研究其對于復合材料圓筒的力學性能，采用解析分析模型研究張力對于復合材料圓筒殘余應力的影響也僅僅考慮了純環向纏繞的情況。本文基于3維各向異性彈性力學，提出了一種針對任意纏繞形式的多層復合材料纖維增強樹脂基圓筒的張力設計方法。模型中采用疊加原理獲得任意纏繞張力梯度下圓筒的殘余應力，針對任意鋪層形式，采用Tsai-Wu失效準則獲得了使得爆破壓強最大的纏繞張力，對優化結果進行了分析討論，對纖維纏繞圓筒張力設計具有一定的實際指導意義。

1 考慮張力的多角度纖維纏繞復合材料圓筒解析分析模型

圖1為多層復合材料圓筒纏繞模型，CFRP纏繞層由螺旋纏繞和環向纏繞組成。復合材料圓筒內徑為R0，纖維纏繞了n層之后外徑為Rn，總厚度為tn，第j層的半徑為Rj=R0+j×t，其中t為復合材料單層厚度。材料坐標系1方向為纖維方向，2方向為層內垂直于纖維方向，3方向垂直于12平面指向圓筒外側。第j層纖維束纏繞張力為Fj，環向纏繞90°，螺旋纏繞±α。

圖1 多層復合材料纏繞圓筒模型Fig.1 Geometric model of multi-sequence composite cylinder

計算多層復合材料圓筒應力應變時基于以下假設：(1)由于復合材料破壞屬于準脆性材料，因此假設復合材料圓筒破壞前均處于彈性階段；(2)由于在纏繞過程中張力始終處于較小的水平，因此假設張力誘導的復合材料圓筒殘余應力均處于線彈性階段，滿足疊加原理；(3)由于纏繞張力較小，因此模型中忽略張力導致的復合材料層的半徑變化；(4)假設纏繞后復合材料層為標準的圓柱筒形，各層之間連接緊密。

1.1 復合材料纏繞層應力分析

針對圖1所示的多層復合材料纏繞圓筒模型，圓柱坐標系下,z、r和θ分別代表軸向、徑向和環向。內壓為qa，外壓為qb，軸向載荷為Tz。在這3種載荷作用下，圓筒內部僅會產生徑向位移和軸向位移。ur、uθ和uz分別代表圓筒的徑向位移、環向位移和軸向位移，對于第i個纖維層而言，幾何關系如下：

(1)

第i層平衡方程如下：

(2)

(3)

=[S]{σ}

(4)

式中E1、E2和E3分別為材料坐標系下的彈性模量；ν12、ν13和ν23分別為12平面、13平面和23平面泊松比；G12、G13和G23分別為12平面、13平面和23平面泊剪切模量。

材料坐標系應變與柱坐標系應變轉換矩陣[Tε]：

(5)

材料坐標系應力與柱坐標系應力轉換矩陣[Tσ]：

(6)

柱坐標系下的柔度矩陣：

(7)

柱坐標系下剛度矩陣：

(8)

第i個鋪層柱坐標系下的應力-應變關系：

(9)

結合式(1)，將式(9)代入式(2)，可得

(10)

該方程通解為

(11)

結合式(11)、式(10)和式(1)，可得

(12)

(13)

式(14)～式(16)結合式(11)，可得柱坐標系下的徑向位移場，當柱坐標系下位移計算出來后，根據式(5)和式(7)，可獲得材料坐標系下的應力和應變。

鋪層之間的位移與應力連續：

(14)

軸向平衡方程：

(15)

1.2 張力誘導多層復合材料圓筒殘余應力分析

纖維纏繞復合材料管由多層連續纖維束纏繞在芯模上固化而成。由于纏繞張力的存在，會引起復合材料芯模與當前纏繞層之間的相互作用，這種作用類似于薄套筒與芯模之間的過盈配合的作用。在纖維束纏繞過程中，每在最外層纏繞一層纖維構成一個復合材料的薄套筒，都會對已經存在的復合材料層產生徑向壓力，導致內部各層產生應力。如圖2所示，復合材料已經纏繞至第j層，此時復合芯模的半徑已經達到Rj。由于纖維纏繞張緊力Fj的作用，最外層纖維構成的薄套筒會對內部復合芯模表面形成一個均勻的外壓Pj，在外壓的作用下，復合芯模會產生徑向形變，從而會對內部各個纖維層產生松弛作用，進而影響內部各層的應力。由于在纖維纏繞過程中張力均控制在材料的線彈性范圍內，因此根據彈性力學疊加原理，最終由于纖維纏繞張力導致的復合材料纖維纏繞圓筒各個層的應力應變可以通過第j層到第n層的張力對內層產生的應力應變疊加得到。

圖2 纖維纏繞圓筒壓強作用示意圖Fig.2 Schematic diagram of compaction during filament winding process

1.1節給出了纖維纏繞圓筒在內壓、外壓和軸向載荷共同作用下的全局坐標系下的應力應變和鋪層坐標系下的應力應變分析模型。當纖維纏繞到第j層時，可將該層產生的外壓Pj當成第1層至第j-1層構成的圓筒的外壓，應用1.1節的分析模型，可計算出第j層對內層產生的應力應變，此時模型需要做相應的調整。

當纖維纏繞至第j層時，認為該層僅對該層纖維方向產生拉應力，該層由于張力產生的壓強作為第1層至第j-1層構成的復合材料套筒的外壓，該層纖維方向的應力為

(16)

式中b為紗片寬度；t為紗片厚度。

此時，內層纖維應力可寫成

(17)

同理，由于張力導致的變形處于線彈性范圍之內，第j層的應變可寫成

(18)

式中E1為纖維束纖維方向的彈性模量。

內層纖維各個方向的應變可寫成

(19)

采用第1.1節的方法求解第j層由于張力導致的壓強對內部各層的應力應變時，邊界條件如下：

(1)認為纏繞內層芯模是剛性模具，因此在芯模表面，可近似認為復合材料層徑向位移為0，即

(20)

(2)當纖維纏繞到第j層時，認為第j-1層外表面徑向應力大小與Pj相等，即

(21)

(3)由于軸線方向沒有作用力，因此有

(22)

(4)纖維層徑向應力連續，徑向位移連續，可得

(23)

將以上邊界條件組合成一個方程組，可寫成

[K]{δ}={q}

(24)

其中,{δ}為

{q}={0,-Pj,0,…,0}

(25)

其中，Pj為第j層的張力產生的壓強，其計算方法如下：

(26)

其中，Rn為纏繞到第j層時，纖維軌跡上某一點的法向曲率半徑，由微分幾何理論可知：

(27)

對于筒身段而言，r=Rj-1，r' =0,r"=0,結合式(27)，可得

(28)

將式(28)代入式(26)，可得由于第j層張力作用導致的壓強為

(29)

結合式(29)求解式(24)，可得每一層積分常數和纖維方向的應變。結合式(17)和式(19)，進而可得張力導致的殘余應力。將該張力導致的殘余應力作為初始應力，圓筒在內壓作用下的應力為純內壓作用下的應力與張力導致的殘余應力之和，進而可做相應的分析。

1.3 多層復合材料圓筒失效分析

采用宏觀失效準則Tsai-Wu來計算纖維纏繞圓筒的極限爆破內壓。Tsai-Wu失效準則表達式如下：

(30)

式中σ1、σ、τ12分別為面內纖維方向的應力、面內垂直于纖維方向的應力和面內剪切應力；Xs、Xc、Ys、Yc、S分別為沿纖維方向的拉伸強度、沿纖維方向的壓縮強度、垂直于纖維方向的拉伸強度、垂直于纖維方向的壓縮強度和面內剪切強度。

一般來說，在外載荷作用下，3個應力分量往往按照一定的比例增加。因此，可將它們表示成某一待定應力的函數，代入到失效準則后，就可以將失效準則轉化為一元二次方程，從而確定這個函數。定義的某一分量應力極限值與其對應的應力的比值為強度比，記為R，即

R=σi(a)/σi

(31)

由強度比的定義可知，當作用的應力為0時，R為無窮大；當作用應力小于極限值時，R>1；這時單向板不失效。因此，R代表了安全裕度，如R=2意味著作用應力需要增加1倍才會達到極限值；當作用應力等于極限值時，R=1，可認為材料發生了破壞；當R<1時，表明材料已經失效，沒有實際的意義。將式(31)代入式(30)，可得

(32)

其中，

(33)

式(33)中各個系數為

Fzz=1/(XtXc),Frr=1/(YtYc)

Frθ=1/(2YtYc),Fr=1/Yt+1/Yc

Fz=1/Xt+1/Xc

2 多層復合材料圓筒的失效計算流程

圖3為多層復合材料圓筒失效分析流程圖。

圖3 多層復合材料圓筒失效分析Fig.3 Failure analysis of multi-sequence composite cylinder

在給定復合材料圓筒的幾何參數以及力學性能參數的情況下，采用本文所提出的方法計算張力和內壓共同作用下纖維的應力，結合失效準則獲得爆破壓強。該分析過程未考慮復合材料圓筒的漸進損傷，因為即使復合材料某一層發生損傷之后，由于應力的重新分配，該復合材料圓筒還可繼續承載內壓，直到最終破壞，因此采用初始失效準則計算的爆破內壓比較保守，但采用初始失效準則計算爆破內壓對張力的優化分析結果影響并不大。

3 分析與討論

3.1 模型的對比驗證

圖4給出了不同單層厚度下纖維方向應力本文方法與Wu’s方法對比，圓筒內徑為50 mm，環向纏繞10層，恒張力40 N纏繞，紗片寬度為3 mm，材料性能參數如表1所示[22]。針對純環向纏繞，Wu[20]提出了一種計算厚壁纖維纏繞管張力的設計方法，其纖維方向的應力為

(34)

式中F為纖維張力；t為纖維束厚度；h為纖維束寬度；α為纏繞角；R為內徑；Rn為外徑；μ為平均泊松比。

由圖4(a)、(b)可見，當纖維厚度小于1 mm時，兩種方法吻合的很好，兩種方法誤差較大的地方在內徑處，這與該模型中芯模的剛性假設有關。對于Wu的方法來說，在各種單層厚度下，纖維應力隨著半徑的增加均單調增加。當單層厚度比較小的時候，采用本文的方法計算出的纖維應力隨著圓筒半徑的增加而增加，當單層厚度比較大的時候，纖維方向的應力隨著圓筒半徑的增加先增加后減小。

(a)t=0.2 mm (b)t=1 mm (c)t=5 mm圖4 不同單層厚度下纖維方向張力誘導殘余應力對比Fig.4 Comparative study of residual stress with different ply thickness

由圖4可知，當單層厚度為0.2 mm時，在圓筒內壁，本文方法計算的殘余應力為66 MPa，Wu的方法計算的殘余應力為64 MPa，本文方法所得殘余應力比Wu的方法所得的殘余應力大3%；當單層厚度為1 mm時，在圓筒內壁，本文方法計算的殘余應力為12.6 MPa，Wu的方法計算的殘余應力為11 MPa，本文方法所得殘余應力比Wu的方法所得的殘余應力大14.5%；當單層厚度為5 mm時，在圓筒內壁，本文方法計算的殘余應力為2.15 MPa，Wu的方法計算的殘余應力為0.81 MPa，本文方法所得殘余應力比Wu的方法所得的殘余應力大165%。隨著單層厚度的增加，在圓筒內壁處，兩種方法計算所得的結果誤差在增加，但當單層厚度比較小的時候，兩種方法計算的結果很接近。

本文主要分析單層厚度比較薄的時候的圓筒張力設計情況，因此采用本文提出的方法具有一定的可信度。

3.2 單層纖維纏繞復合材料圓筒張力設計

圖5給出了不同纏繞角度下圓筒爆破內壓與張力關系圖。圓筒內徑為50 mm，螺旋纏繞±α，紗片厚度0.2 mm，紗片寬度3 mm，復合材料性能如表1所示。在不同纏繞角下，圓筒爆破壓強均隨著纏繞張力的增加而表現為先增加后減小的趨勢，這與文獻[26-27]試驗結果趨勢一致，從而在一定程度上驗證了本文方法的正確性。當纏繞角為10°時，爆破壓強最大值相對于張力為0時的爆破壓強增加了5.3%，當纏繞角為55°時，爆破壓強最大值相對于張力為0時的爆破壓強增加了1.8%，當纏繞角為70°時，爆破壓強最大值相對于張力為0時的爆破壓強增加了2.5%，當纏繞角為85°時，爆破壓強最大值相對于張力為0時的爆破壓強增加了3.1%，因此爆破壓強的增幅隨著纏繞角的增加表現為先減小而后增加的趨勢。此外，不同纏繞角下對應的最佳張力值不同，當纏繞角是10°時，最佳張力為130 N，當纏繞角是55°時，最佳張力為75 N，當纏繞角是75°，最佳張力為95 N，當纏繞角為85°，最佳張力為100 N?？煽闯?，隨著纏繞角的增加，最佳張力值先減小后增加。

表1 復合材料力學性能Table 1 Mechanical properties of composite

(a)Winding angle∶10° (b)Winding angle∶55°

(c)Winding angle∶70° (d)Winding angle∶85°圖5 不同纏繞角下爆破壓強與張力的關系Fig.5 Relationship of burst pressure and tension under different winding angles

圖6給出了不同纏繞角下強度比沿著圓筒徑向分布規律。強度比表示某一應力分量的極限值與其對應的應力的比值，它可用來衡量結構在當前載荷下距離破壞的遠近程度，當強度比大于1時，強度比越大，說明結構在該載荷下距離破壞位置越遠，當強度比小于1時，此時結構已經破壞。由圖6可看出，在各種纏繞角度下，張力等于0對應的強度比曲線始終在最佳張力對應的強度比曲線上方，且兩者曲線均大于1。因此，隨著內壓載荷的繼續增加，必然是最有張力的圓筒比張力為0的圓筒后破壞，這也解釋了在最佳張力下，為什么圓筒的爆破內壓會比張力為0時的圓筒的爆破內壓大。

(a)Winding angle∶10° (b)Winding angle∶55°

(c)Winding angle∶70° (d)Winding angle∶85°圖6 不同纏繞角下強度比與半徑的關系Fig.6 Relationship of strength ratio and radius under different winding angles

圖7給出了不同纏繞角下爆破壓強增長率柱狀圖，圖8不同纏繞角下爆破壓強增長率折線圖。可看出，隨著纏繞角的增加，爆破壓強表現為先增加后減小的趨勢，當纏繞角為55°時，爆破壓強達到了最大值約為0.4 MPa。隨著纏繞角的增加，爆破壓強的增幅先減小后增加，當纏繞角為10°時，最佳張力對應的爆破壓強相對于張力為0的爆破壓強增加了5.3%，當纏繞角為55°時，最佳張力對應的爆破壓強相對于張力為0的爆破壓強增加了1.8%，說明當圓筒為±α螺旋纏繞時，優化張力對于爆破壓強的提升有效果，但提升幅度有限。

圖7 不同纏繞角下爆破壓強增長率Fig.7 Burst pressure growth rate at different winding angles

圖8 不同纏繞角下爆破壓強增長率折線圖Fig.8 Line chart of burst pressure growth rate at different winding angles

3.3 多層纖維纏繞復合材料圓筒張力設計

圖9給出了三種不同鋪層模式下復合材料圓筒爆破壓強與纏繞角及纏繞張力的關系。圓筒內徑為50 mm，紗片厚度0.2 mm，紗片寬度3 mm，復合材料性能如表格1所示。圖9(a)鋪層模式是±θ，圖9(b)鋪層模式是[±θ90±θ90]，圖9(c)鋪層模式是[±θ±θ±θ9090]，纏繞張力為恒張力纏繞，張力變化范圍是0～300 N。這里恒張力纏繞指的是每一層纏繞張力均相同，沒有張力遞減。一般來講，為了更好發揮復合材料力學性能，工程上都會用張力遞減的方法進行纏繞，然而本文研究的重點在于纏繞張力大小對殼體強度的影響規律，而且本文研究的纏繞殼體厚度與半徑最大值比小于0.032，屬于薄殼范疇，因此暫不考慮張力遞減規律。具體纏繞時張力如何遞減才能獲得更大的纖維強度發揮率需要進一步研究。

由圖9可看出，在不同鋪層模式和不同張力值下，爆破壓強均在55°左右達到最大值。鋪層模式一定張力一定的情況下，爆破壓強均隨著纏繞角的增加先增加后減小，當鋪層模式確定的情況下，爆破壓強隨著纏繞張力的增加先增加后減小。這也是不難理解的，當張力比較小時，隨著張力的適當增加，各種纖維之間緊密結合，有助于提升復合材料圓筒承受內壓的能力，隨著張力的進一步增加，纖維由于張力導致的殘余應力會迅速增加，因此在結構件還沒有承受內壓時，纖維就已經承受了比較大的預緊力，復合材料圓筒的爆破內壓反而還會下降。因此，對于給定鋪層模式，需要合理確定其纏繞張力，以保證最大限度地發揮纖維的承載能力。

(a)±θ (b)[±θ90±θ/90] (c)[±θ±θ±θ9090]圖9 多層復合材料爆破壓強與纏繞角及纏繞張力關系Fig.9 Relationship between burst pressure of multisequence composite cylinder and winding angle and winding tension

4 結論

(1)針對多層復合材料圓筒，基于厚壁復合材料圓筒3維解析應力應變分析方法，結合纏繞張力較小進而導致應力應變較小的特點，采用線性疊加原理，建立了多層纖維纏繞復合材料圓筒張力誘導殘余應力解析分析模型，通過與前人模型計算結果的對比，獲得了令人滿意的精度，驗證了模型的正確性。

(2)基于提出的張力誘導殘余應力模型，將張力誘導殘余應力作為復合材料纏繞層初始應力，在內壓作用下的應力為純內壓應力與張力誘導殘余應力之和，基于Tsai-Wu失效準則，建立了多層纖維纏繞復合材料圓筒張力優化方法。

(3) 對于單層螺旋纏繞，當纏繞角一定的情況下，隨著張力的增加，圓筒爆破內壓先增加后減小。不同纏繞角下對應的最佳張力值不同，隨著纏繞角從0°～90°的增加，最佳張力值先減小后增加。

(4) 對于多層螺旋纏繞，鋪層模式一定、張力一定的情況下，隨著纏繞角的增加，爆破壓強均先增加后減小，當鋪層模式確定的情況，隨著纏繞張力的增加，爆破壓強先增加后減小。因此，對于給定鋪層模式，需要合理確定其纏繞張力，以保證最大限度地發揮纖維的承載能力。